运筹学案例2

案例一 某建筑构配件厂生产计划的优化分析

一、问题的提出

主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示。近年来，产品销售情况很好，市场对这４种产品的需求量很大，而预测的结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，但有些客户希望能有更多的不同功能的新产品问世，至少对原产品在现有的基础上加以改进，以满足某些特殊需要。这就面临着进一步扩大再生产，努力开发适销对路新产品的问题。 已经做的一些基础工作是：对引进新的技术和生产线有关资料和信息的调查和整理，对目前生产计划情况的成本核算及分析等。但对如何调整当前的生产计划，是否下决心引进新技术和生产线，开发出来的新产品何时投入批量生产和正式投产最为有利等一系列问题，尚缺乏科学的定量的决策依据。厂里目前最关心的是资源问题，主要是各种加工设备的生产能力。在这样的背景下，提出了生产计划的优化和分析。

二、主要生产过程

生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过四个阶段。第一阶段是冲压：制造成技术所需要的零件；第二阶段是成形：在该车间里把零件制成符合规格的形状；第三阶段是装配：在装配车间，各种成形的零件按技术要求焊接在一起，成为完整的产品；第四阶段是喷漆：装配好的产品送到喷漆车间，被喷上防火的瓷漆装饰外表。

根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及各种生产工艺可供使用的总工时如下表所示：

该厂仅有一台冲压机，每天工作8小时，共计480分钟可供加工用；另有成形中心、装配中心、喷漆中心分属各车间，除承担着科研任务外，还承担着科研试验、新产品开发试制等项工作，因此，这些生产中心每天利用的总计时间分别不超过2400分钟、2000分钟、3000分钟。

三、模型建立和求解

现假设上述问题的决策变量如下：

分别表示A 、B 、C 、D 型产品的日产量，并且将目标函数取

为每天的产品总利润，关于产品计划的线性规划模型如下：

运用Lingo 软件求解：

max= 9*x1+6*x2+11*x3+8*x4;

x1+x2+x3+x4

4*x1+8*x2+2*x3+5*x4

4*x1+2*x2+5*x3+5*x4

6*x1+4*x2+8*x3+4*x4

End

求解输出结果：

计算结果的简单分析：

1. 为了使日产利润最大，每天的生产计划应安排如下：生产A 型产品400个，C 型产品70个，D 型产品10个，而不生产B 型产品，这样日产品总利润可达4450元。

2. 冲压、装配和喷漆三个工序可利用的加工机会都已全部用完，唯有成形工序还剩余610分钟时间闲置而未被利用。

3. 从求解结果DUAL PRICES可以看出，四种约束的影子价格分别为

2.5元、0元、0.5元和0.75元。其经济意义是上述三种时间资源每减少（或增加）1分钟，分别会使总利润下降（或增加）2.5元、0.5元、0.75元。而成形时间的影子价格为0，即无论时间增减对总利润均不产生影响。这与成形工序有闲置的610分钟而未被利用的事实是一致的。冲压时间的机会费用最高为2.5元，这意味着冲压工序是当前生产的关键所在，设法增加冲压可利用时间将使产品总利润得到较大程度的提高。

四、生产计划的优化后分析（灵敏度分析）

1. 评价新的生产过程

为了满足市场需求，不断开发新产品，该厂计划引进1种新型产品技术，生产E 型产品。根据设计计算得知，生产E 型产品需要1分钟冲压时间、2分钟成形时间、6分钟装配时间、12分钟喷漆时间，单位产品利润为13元。在试制及制定生产计划之前，需要研究其投产效果，以便作出是否投产这一决策。

这个问题讨论发生以上变化时对原生产计划有无影响？相应的产品总利润是否能得到提高？ 设为E 型产品的产量，若令为E 型产品生产过程所需要的各工序

加工时间向量，则有

这表明，E 型产品如果安排生产，每生产一件就会使总利润降低1.5元。因此，在作决策—E 型产品是否投产之前，就需要慎重考虑，至少在目前生产E 型产品对建筑构配件厂在经济效益上没有好处。

该情况还可以从另外一个角度加以研究，考虑原线性规划的对偶规划，设为对偶变量，则得：

准备生产一种新产品（E 型产品）所引起的变化相当于对偶问题增加一个约束条件：

将对偶最优解y*=(2.5,0,0.5,0.75)代入上述约束条件，结果为14.5>13，满足约束条件。这说明新的生产过程将不是有价值的补充，换言之，E 型产品的投产将无利可图，这就是与上述分析相一致的。

2.B 型产品投产的条件研究

在原先的最优生产计划中，不允许生产B 型产品（x2=0），但当前市场上B 型产品是有需求的，这就需要讨论在具备什么条件下，方可生产B 型产品而使该厂得益？

从灵敏度分析角度讨论该问题，途径无非两种：一是提高B 产品的价格（增大）, 二是压缩B 型产品生产耗用时间资源（降低成本）。 途径1 提高B 型产品的价格

从用LINGO 软件求解的输出结果中，最优解x2=0，对应的REDUCED COST 等于0.5，说明产品B 不利于生产，当其单位利润增加0.5以上时该产品才具有竞争实力，才有利于生产。

途径2 减少单位产品资源消耗以降低成本的分析设

分别为单位B 型产品对四种资源消耗的降低量，分别代入对偶约束条件

（2）中，可得：

将分别代入上述四式中，可得：

结果表明，B 型产品的单位加工时间如果能做到下面三个条件之一，就可使该产品的生产带来经济效益：

冲压时间由1分钟降低到（1-0.2）分钟=0.8分钟以下；

装配时间由2分钟降低到(2-1)分钟=1分钟以下；

喷漆时间由4分钟降低到(4-0.67)分钟=3.33分钟以下。

上述计算结果表明，对成形加工时间没有要求，这与成形加工可利用的总工时有闲置这一事实相符。这就是说，成形加工工序已造成资源浪费。因此应充分利用这部分闲置的资源，或考虑将原有的人力用于支援其他工序。

五、结论及意义

综合以上讨论和得出有关结论，据此提出相应的建议如下：

1. 原始最优生产计划是考虑到现有的工时约束，为追求利润最大的目标而设计的，倘若不考虑品种是否齐全及B 型产品的市场需求，则该生产计划是可行的，可使该厂的日产总利润最大，可达4450元。品种方面只安排生产A 型产品400个，C 型产品70个，D 型产品10个。

2. 考虑到市场需求及该厂现有产品品种，B 型产品必须生产的话，就要设法改进B 型产品的生产工艺及条件：一是努力开发其新的功能，对产品进行深加工，促使其利润增加，使单位产品利润达到6.5以上；二是尽量降低单位产品的加工时间，减少资源消耗以降低成本，起码做到冲压时间降低0.2分钟，或装配时间降低1分钟或者喷漆时间降低0.67分钟，甚至更多，此时生产B 型产品将是有利可图的。

3. 成形工序的资源闲置是需要认真解决的一个问题，建议进行合理调整，或者在开发新产品时注意选用需要成形时间相对较多的品种，或者将多余的成形设备装转让出去，节余下来的人力、物力和财力用于添置较为关键的冲压设备，支援冲压工序。

4. 新开发的E 型产品目前投产的条件尚不成熟，匆忙上马会导致全厂的总利润下降。故还应做深入的研究与实验，设法提高利润，降低成本，再考虑批量生产或者正式投产的问题。