经济学分析与应用 习题2
经济学分析与应用 习题2 1．已知间接效用函数v (p 1, p 2, y ) =
y p 2
， -
p 1p 1
1）请求出马歇尔需求函数x 1(p 1, p 2, y ) 和x 2(p 1, p 2, y ) ； 2）你能写出直接效用函数u (x 1, x 2) 的形式吗？ 解答：1）
y -p 2
∂v (p 1, p 2, y ) /∂p 1p 12y -p 2
x 1(p 1, p 2, y ) =-==
∂v (p 1, p 2, y ) /∂y p 1p 11
∂v (p 1, p 2, y ) /∂p 2p 1
x 2(p 1, p 2, y ) =-==1
∂v (p 1, p 2, y ) /∂y
p 1
2）根据马歇尔需求函数，可以写出直接效用函数：
u (x 1, x 2) =x 1x 2 (x 2≡1)
效用函数形式不唯一
2．设消费者对某商品的需求函数D (p ) 为线性。该商品的价格原来为p ，现由于对该商品征消费税（单位商品的税额为t ），而使得价格上升至p 。
（1）请作图并证明：开征消费税造成的无谓损失（Dead-weight Loss）t D '(p ) 。（这里，D '(p ) 为需求函数在p 处对价格的导数）
（2）以（1）为基础，请回答：为什么中国的消费税要选择以汽车、高档化妆品、金银首饰、香烟、酒等为对象？
证明：如下图所示：
1
1
1
1
2
21
S D =
11
p -p 0)(x 0-x 1) (2
p 1=p 0+t
p 1-p 01
'=p (x ) =
x 0-x 1D '(p 1)
∴x 0-x 1=D '(p 1) t S D =
1112001
p -p (x -x ) =t D '(p 1) ()22
如图所示，dead weight loss为阴影三角形的面积
(2) 题中所述商品为奢侈品，商品的价格弹性较低。这类商品提价后，消费量的减少量
1
很小，即D '(p ) 很小，所以，这样在征消费税时dead-weight loss较少。
2
3. 设某消费者的效用函数为U (x 1, x 2) =x 1x 2。p 1=1，p 2=1。收入y =24。
现假设p 1从1上升到2，p 2不变。请计算∆CS 、CV 与EV 。
解：由消费者最优解的条件：
∂U /∂x 1∂U /∂x 22x x x
=⇒12=1 p
1p 2p 1p 2
由于p 2不变，将p 2=1代入上式，得到：2x 2=p 1x 1。又由于p 1x 1+x 2=24，可以得到：
2
x 1=16/p 1，x 2=8。
从而：∆CS =-⎰0D (p 1) dp 1=-⎰
p 1
1p 1
2
1
216
1=-16ln p 1=-16ln 2=-11.09。
1p 1
当p 1=1时，x 1=16，x 2=8。所以v (P 0, y ) =16⨯16⨯8=2048。 当p 1=2时，x 1=8，x 2=8。所以v (P 1, y ) =83=512。
为了得到e (P 1, v (P 0, y )) 和e (P 0, v (P 1, y )) 需要解出支出函数e (P , u ) ：
min p 1x 1+p 2x 2
s.t x 1x 2=u
2
27p 1p 2u
解之得：e (P , u ) =
4
所以，当P 1=(2, 1) 时，e (P , v (P , y )) =1
2
27⋅4⋅2048
=38. 1 4
当P 0=(1, 1) 时，e (P , v (P , y )) =1
01
27⋅512
=15.12 4
从而CV =e (P , v (P , y )) -y =38. 1-24=14. 1
EV =y -e (P 0, v (P 1, y )) =24-15.12=8. 88
4. 2000年前，北京市居民用水的价格是1元/吨。2000年起，北京市的水价上
t >0。升到(1+t ) 元/吨，设一个代表性的消费者在水价调整前的用水量为x 1，1
在水价调整后的用水量为x 1。请在(x 1, x 2) 的二维空间里讨论：
1如果x 2的价格不变，政府将水价调高后得到的收费量（tx 1）全部返还给消
费者。若该 消费者在水价变化前后的选择是一致的，那么，该消费者在水价调高后的生活水平是 提高了还是降低了？
解：为了表述方便，我们将其他物品x 2的价格记为1。
在水价上涨之前，消费者的预算约束为：x 1+x 2=y [1]
而水价上涨后，消费者得到退税，他面临的预算约束为：(1+t ) x 1' +x 2' =y +T [2]
注意，在预算约束[2]中，代表性消费者选择的是等号左边的变量，他只能决定自己的选择x 1' 和x 2' 。等号右边为他的收入加上政府退税T ，对于消费者来说是给定的——这取决于所有消费者的平均消费量。我们假设代表性消费者在约束[2]下的最优选择是：(x 1, x 2) ，那么
*所有消费者对水的平均消费量也必然是x 1。所以在均衡的时候，政府退税T =tx 1，代表性
**
*
消费者面临的预算约束为：
***'
(1+t ) x 1+x 2=y +t ⋅x 1 [3]
消去约束方程[3]左右两边的tx 1*，得到x 1*+x 2*=y 。这说明（x 1*，x 2*）在原
来的预算约束[1]下也是可行的，但是却没有被选择。因此，消费者对（x 1，x 2）的偏好一定强于（x 1*，x 2*）。换句话说，虽然政府最终退税了，但政府还是让消费者的效用降低了。
[注意] x 1*一定小于x 1，否则，无差异曲线相交。
5. 假定小玩具市场是完全竞争市场。设小玩具的市场需求为Q D =250-5PD ，市场供给为Q S =50+15PS 。
（1）小玩具的市场均衡价格和均衡数量是多少？
（2）考虑政府对消费者征税。假定政府对每个小玩具征收4元的税收。消费者会支付的价
格与生产者会收到的价格各是多少？税收是怎样由买者和卖者分担的？ （3）此时的税收收入是多少？税收给小玩具市场带来的效率损失是多少？
（4）如果供给曲线变为：Q S =180+2PS ，第（1）和第（2）问的答案会发生怎样的变化？）
（5）通过第（1）、（2）和（4）问，你能得出什么结论？
Answer
1）Q=200 P=10
2）Q=185 PD=13 Ps=9 每一单位税收消费者分担0.75，生产者分担0.25. （或者每个小玩具，消费者分担税收3元，生产者分担1元）
3）此时的税收收入为740元。税收带来的效率损失为：1/2*4*（200-185）=30.
4）每单位税收消费者分担2/7,生产者分担5/7（或者每个小玩具，消费者分担8/7元, 生产者分担20/7元）
5）通过第（1），（2），（4）问可以知道，消费者和生产者的税收分担取决于两者的相对弹性大小， ，在第一种情况下，供给弹性大于需求弹性，所以消费者分担的税收更多，而在第二种情况下，供给弹性小于需求弹性，所以供给者分担的税收更多。 6．日本大米的生产成本极高，这主要归因于土地的高额机会成本及不能取得规模经济效益。试分析两种维持日本大米生产的政策： (a)发放补贴；(b)征收进口关税。运用供求图表描绘均衡价格和数量、国内大米产 量、政府收入或赤字、政策带来的无谓损失。日本政府偏
7．1983年里根执政时，推行“实物支付计划”。我们以小麦市场为例，考察该计划如何奏效。
P s
(a)假设需求函数为Q =28—2P ，供给函数为Q =4+4P。试求出自由市场均衡价格和产量。 (b)假设政府向农民支付小麦，鼓励农民将部分土地退耕，使供给减少市场均衡量的1／4。用于支付的小麦来源于政府储备，数量等于退耕土地的收获量。农民可在市场上自由出售这些小麦。问农民的产量为多少? 政府间接供应市场多少小麦? 新的市场价格是多少? 农民获益多少? 消费者得益还是受损?
(c)如果政府不把小麦返送给农民，小麦将积压或变质。纳税人从该计划中受益吗? 该计划存在什么潜在问题?
8. 一个人只消费粮食，第一期他得到1000斤，第二期得到150斤，第一期的粮食存到第二期将有25%的损耗。他的效用函数为：u (c 1, c 2) =c 1⋅c 2
1） 如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费c 1=?, c 2=?
2） 如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是p=1，利息率r=10%，问最佳消费
**c 1=?, c 2=?
*
*
答案
max u =c 1c 2
1)
s .. t c 1+
c 2m
=m 1+2
1+r 1+r
L =c 1c 2+λ(m 1+
m 2c
-c 1-2) 1+r 1+r
f . o . c . c 2=λ, c 1=
λ
1+r
c 1*=1454.5, c 2*=1600, s *=m 1-c 1*=2000-1454.5=545.5,
(2)Similarly, we can get
c 1*=1416.7, c 2*=1700