9.4直线与平面垂直的判定与性质
9.4直线和平面垂直(共4课时)
第一课时:直线和平面垂直的判定定理
第二课时:直线和平面垂直的性质定理
第三课时:直线与平面所成角
第四课时:三垂线定理
1、直线和平面垂直的定义
教学目的:(1)能准确叙述直线和平面垂直的定义,并能画图予以表示;(2)能准确说出直线与平面垂直的判定定理的条件和结论,并用图形、符号语言予以表示,会用判定定理解决有关问题;(3)通过判定定理的证明,初步掌握将空间问题转化维平面问题的方法。
内容分析:
1、 直线与平面垂直是直线与直线垂直的延伸,是今后研究三垂线定
理、平面与平面垂直以及有关距离、空间角、多面体、旋转体的基础。本节的学习可完善知识结构,并对进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力,起着十分重要的作用。
2、 本课的重点是:直线与平面垂直的定义及判定定理。由于本节的
判定定理的证明有一定的难度:定理的论证层次多,构图复杂,辅助线多,运用平面几何知识多,所以本节的难点是判定定理的证明。突破难点的方法是充分运用实物模型演示,以具体形象支持逻辑思维。判定定理的证明深刻地体现了空间问题向平面问题的转化。学生对定理的理解要突出“两条”、“相交”、“垂直”这三个关键词。
3、 例1 安排在判定定理之前讲述是恰当的,既是对定义的应用,又
是对判定定理证明的铺垫。例2的设置是突出定义和判定定理的重要作用,再次说明直线与平面垂直和直线与直线垂直是可以互相转化的。
2006高考题:
1、(2006重庆)若P 是平面α外一点,则下列命题正确的是
(A )过P 只能作一条直线与平面α相交 (B )过P 可作无数条直线与平面α垂直
(C )过P 只能作一条直线与平面α平行 (D )过P 可作无数条直线与平面α平行
2、(2006上海理)如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .
3、(2006广东)给出以下四个命题:
1如果一条直线和一个平面平行,○经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,○那么这条直线垂直于这个平面。
3如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行。 ○
4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,○那么这两个平面互相垂直。
其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
问1:如果把直立的人当直线,与地面上所有直线有什么关系? 问2:如果把直立的人当直线,直立的人与地面上有什么关系?
问3:如何定义直线与平面垂直?如何用符号表示直线与平面垂直?
定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直。其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a ⊥α。
问4:如何画直线与平面垂直?
画法:画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行问5:直线与平面垂直定义中“任何”表示所有吗?“任何”改为“无数条”可以吗?改为“一条”、“两条”呢?
问6: a⊥α等价于对任意的直线m ⊂α,都有a ⊥m 吗?
利用定义,我们得到了判定线面垂直的最基本方法,同时也得到2、直线与平面垂直的判定定理
2006高考题:
1、(2006福建)
如图,四面体ABCD 中,O
、E 分别是BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =
(I )求证:AO ⊥平面BCD ; (II )求异面直线AB 与CD 所成角的大小; (III )求点E 到平面ACD 的距离。
2、(2006重庆)如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD , ∠DAB 为直角,AB ‖CD,AD =CD =24B,E 、F 分别为PC 、CD 的中点. (Ⅰ)试证:CD ⊥平面BEF;
(Ⅱ)设P A =k ·AB , 且二面角E -BD -C
的平面角大于30︒, 求k 的取值范围.
3、(2006浙江)如图,在四棱锥
P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥
BC, ∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA =
AD=AB=2BC,M、N 分别为PC 、PB 的中点.
(Ⅰ) 求证:PB ⊥DM;
(Ⅱ) 求BD 与平面ADMN 所成的角。
(Ⅱ) 求CD 与平面ADMN 所成的角
4、(2006江苏) 在正三角形ABC 中,E
、
F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点,满足AE:EB
=CF:FA
=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF 沿EF 折起到∆A 1EF 的位置,使二面角A
1-EF -
B 成直二面角,连结A
1B 、A 1P (如图2) (Ⅰ)求证:A 1E ⊥平面BEP ;
(Ⅱ)求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角B -A 1P -F 的大小(用反三角函数表示)
E F E
F
B C A A 1
B C 5、(2006北京四边形的四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥AC ,
PA ⊥平面ABCD ,A A =B 且P ,点E 是PD
的中点.
(Ⅰ)求证:AC ⊥PB ;
P
直线与平面垂直的判定定理的引入:
问1:若a ∥b ,a ⊥c ,则b ⊥c 吗?将c 改为平面α,结论还成立吗?即:若a ∥b ,a ⊥α,则b ⊥α吗?
例1 已知:a ∥b,a ⊥α 求证:b ⊥α证明:设m 是αa ⊥α⎫⎬⇒a ⊥m ⎫⇒ ⎬m ⊂α⎭b ⊥m ⎫a //b ⎭⎬⇒b ⊥αm ⊂α⎭本题的作用:要证b ⊥α,没有办法?而已知a ∥b ,只需证a ⊥α即可,在证题时起转移作用,但具体要证a ⊥α问2:如果一条直线和一个平面内的所有直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面吗?
问3:如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面吗?
问4:如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面吗?
问5:如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面吗?
问6:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面吗?
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条即 若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ,m ⊂α,n ⊂α,则l ⊥α 已知:m 、n 是平面α内的两条相交直线,直线l 与α的交点为B ,且l ⊥m ,l ⊥n
求证:l ⊥α分析:在α内平移m ,n ,使它们都通过点B ,这时m ,n 仍保持和l B 作任一条不与m ,n 重合的直线g ,如果我们能根据l ⊥m 且l ⊥n 推出l ⊥g ,那么就证明了直线l 和过点B 的所有直线都垂直,即l 垂直α为此,我们在l 上自点B 起于平面α的两侧分别截取BA=BA′,于是m ,n 都是线段AA ′的垂直平分线,它们上面的点到A 、A ′的距
如果我们能证明g 上的点到A 、A ′的距离也相等,那么g 也是AA ′的垂直平分线,于是g 就垂直于l 在g 上任取一点E ,过点E 在α内作不通过点B 的直线,分别与m ,
D ,容易证明△ACD ≌A ′CD ,进而又可证明△ACE ≌△A ′n 相交于点C 、
于是EA=EA′,g ⊥l 一般地:
证明:如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直已知:m ', n '是平面α内的两条相交直线,直线l 与α的交点为B ,且l ⊥m ', l ⊥n ',
求证:l ⊥α
证明:过点B 作m //m ', n //n '
∵l ⊥m ', l ⊥n ' ∴l ⊥m , l ⊥n ,
过B 任作直线a ,在l 上于α平面两侧分别截取BA =BA ',
∴m , n 都是AA '的垂直平分线,
∴AD =A 'D , AC =A 'C ,
在a 上任取点E ,过E 在平面α内作不通过B 的直线
分别
与m , n 相交于点C , D ,
∴∆ACD ≅∆A 'CD ,
∴∠ACD =∠A 'CD ,又AC =A 'C ,
∴∆ACE ≅∆A 'CE ,∴AE =A 'E
∴a ⊥l ,∴l ⊥α.
问7:竖立旗杆时,只需什么条件,就能保证旗杆垂直于地面?(只需让旗杆与地面内的两条相交直线都垂直)
讲解范例:
例2 已知:平面α和一点求证:过点P 与α证明:不论P 在平面α内或外,设直线PA ⊥α,垂足为A (或P )
若另一直线PB ⊥α,设PA , PB
且αβ=a ∴PA ⊥a , PB ⊥a
又∵PA , PB 在平面β内,盾
所以过点P 与α例3 有一根旗杆AB 高8m ,它的顶端A 挂一条长10m 的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上)C , D ,如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ,那么旗杆就和地面垂直,为什么?
解:在∆ABC 和∆ABD 中,
∵AB =8m , BC =BD =6m , AC =AD =10m
∴AB 2+BC 2=62+82=102=AC 2
AB 2+BD 2=62+82=102=AD 2 ∴∠ABC =∠ABD =90 即AB ⊥BC , AB ⊥BD
又∵B , C , D 不共线
∴AB ⊥平面BCD ,即旗杆和地面垂直;
例4 已知直线l ⊥平面α,垂足为A ,直线AP ⊥l 求证:AP 在α证明:设AP 与l 确定的平面为βAP 不在α内,
则可设α与β相交于直线∵l ⊥α,∴l ⊥又AP ⊥l ,于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l ,这是不可能的所以AP 一定在α例5 求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行
已知:P ∉α
求证:过点P 有且只有一个平面β∥α
证明:过平面α外一点P 作直线l ⊥α, 再过点P 作平面β, 使l ⊥β, 则α∥β.
因为过点P 且与α平行的平面必与α的垂线l 也垂直, 而过点P 与l 垂直的平面是唯一的, 所以过点P 且与α平行的平面只有一个. 指出:由例2可得α∥β, α∥γ⇒β∥γ.
例6 已知:空间四边形ABCD ,AB =AC ,DB =DC ,
求证:BC ⊥AD
证明:取BC 中点E ,连结AE , DE ,
∵AB =AC , DB =DC ,
∴AE ⊥BC , DE ⊥BC ,
∴BC ⊥平面AED ,
又∵AD ⊂平面AED ,
∴BC ⊥AD .
例7.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E , F 分别是BB 1, CD 的中点, 求证D 1F ⊥平面ADE .
结论:正方体中,(1)什么线与各外面垂直?
(2)什么线与各对角面垂直?
(3)什么线与各锐角三角形所在平面垂直?
3 、直线和平面垂直的性质定理
教学目的:(1)掌握直线与平面垂直的性质定理,它是判断空间直线和直线平行的重要方法之一;(2)掌握证明直线与平面垂直的性质定理的证明方法;(3)认识和理解什么是点到平面的距离,什么是直线到平面的距离。
内容分析:
1、 在直线和平面的位置关系中,垂直关系和平性关系一样,不仅应
用较多、较广,而且是学习平面与平面位置关系的基础。
B
E
2、 本课重点是直线和平面垂直的性质定理;难点是引导学生把直线
与直线的关系问题有针对性的、有目的性的转化为直线与平面的关系问题。
3、 为了证明直线与平面垂直的性质定理,教师可用多媒体演示实
例。同时归纳小结出在解决立体几何问题时“作 — 证 — 算”。`
4、 课本例2的证明,实际上是指立体几何中直线上的点到平面距离
问题转化为平面几何中两平行直线的距离问题。
2006高考题:
1、(2006天津)平行四边形的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是:①1; ②2; ③3; ④4;
以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号..)
2、(2006安徽)多面体上,位于同一条棱
两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的
一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的
同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点
到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体
的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α
的距离可能是:
①3; ②4; ③5; ④
6; ⑤7
以上结论正确的为
________________________。(写出所有正确结论的编号)
3、(2006江西)如图,在三棱锥A -BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜
边,且AD BD =CD =1,另一个侧面是正三角形
(1) 求证:AD ⊥BC
(2) 求二面角B -AC -D 的大小
(3) 在直线AC 上是否存在一点E ,
使ED 与面BCD 成30︒角?若
存在,确定E 的位置;若不存
在,说明理由。
4、(2006全国)如图,l 1、l 2是互相垂直的异面直线,MN 是它们的
公垂线段。点A 、B 在l 1上,C 在l 2上,AM =MB =MN 。
(Ⅰ)证明AB ⊥NB ;
(Ⅱ)若∠ACB =60O ,求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。
直线和平面垂直的性质定理的引入:
问1:垂直于同一条直线的两条直线是否平行?为什么?
问2:平行于同一条直线的两条直线是否平行?为什么?
问3:平行于同一平面的两条直线是否平行?为什么?
问4:垂直于同一平面的两条直线是否平行?为什么?
问5:若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥b 吗?
问6:若a ∥b ,a ⊥α,则b ⊥α吗?
问7:问5的逆命题成立吗?即 a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b 吗? 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直
于一个平面, 那麽这两条直线平行。
已知:如图,a ⊥α, b ⊥α 求证:a //b
证明:(反证法)假定b 不平行于a ,则b 与a 相交或
异面;
(1)若a 与b 相交,设a b =A ,
∵a ⊥α, b ⊥α
∴过点A 有两条直线与平面α垂直,
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾,
∴a 与b 不相交;
(2)若a 与b 异面,设b α=O ,过O 作b '//a ,
∵a ⊥α ∴b '⊥α 又∵b ⊥α且b b '=O ,
∴过点O 有直线b '和b 垂直于α与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾,
∴b 与a 不异面,综上假设不成立,
∴a //b .
二、讲解范例:
例1 已知直线l ⊥平面α,垂足为A ,直线AP ⊥l ,求证:AP 在平面α证明:设AP 与l 确定的平面为β,
β
如果AP 不在α内,则可设αβ=AM ,
l
P M ∵l ⊥α,∴l ⊥AM ,又∵AP ⊥l , 于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l , A α
这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾,
所以AP 一定在平面α例2 已知一条直线l 和一个平面α平行,求证直线l 上各点到平面α证明:过直线l 上任意两点A 、B 分别引平面α的
垂线A A ', B B ', 垂足分别为A ', B ∵A A '⊥α, B B '⊥α ∴A A '//B B 设经过直线A A ', B B '的平面为β,β α=A 'B ∵l //α ∴ l //A 'B ' ∴四边形AA 'B 'B 为平行四边形
∴A A '=B B 由A 、B 是直线l 上任意的两点,可知直线l 上各点到这个平面距离相问8:如何定义点到平面的距离?直线和平面的距离?
点到平面的距离的定义:从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
直线和平面的距离的定义:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离.
例3.已知:a ,b 是两条异面直线,a ⊥α,b ⊥β,α∩β=l ,AB 是a ,b 公垂线,交a 于A ,交b 于B
求证:AB ∥l
证明方法一:(利用线面垂直的性质定理)
过A 作b '∥b ,则a ,b
'
可确定一平面γ
∵AB 是异面垂线的公垂线,
即AB ⊥a ,AB ⊥b
∴AB ⊥ b '
∴AB ⊥γ
∵a ⊥α,b ⊥β,α∩β=l
∴l ⊥a ,l ⊥b ∴l ⊥b '
∴l ⊥γ ∴AB ∥l
证明方法二:(利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行)∵AB 是异面直线a ,b 的公垂线,过AB 与a 作平面γ,γ∩α=m ∵a ⊥α ∴a ⊥m
l 又a ⊥AB ,AB ⊂γ
∴m ∥AB γ又过AB 作平面g ,g ∩β=n m n 同理:n ∥AB
∴m ∥n ,于是有m ∥β
又α∩β=l ∴m ∥l
∴AB ∥l 例4.在棱长为a 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1
中,求点A 到下列平面的距离:
(1)平面A 1B 1C 1D 1 (2)平面A 1BCD 1 (3)平面A 1BD (4)平面B 1CD 1 结论与规律:若a ∥α,则a 上各点到α的距离等于a 到α的距离。
1、与空间四边形四顶点距离相等的平面有
与正方体八顶点距离相等的平面有 个。
4、斜线在平面内的射影
教学目的:(1)能区分垂线段、斜线段、斜线等概念,明确点在平面内的射影,斜线及斜线段在平面内的射影的概念,并掌握本节定理;
(2)掌握并会作直线与平面所成角,并会进行计算。
内容分析:
1、 本节课的特点是概念多,但除直线与平面所成角外,大都比较浅
显。可按垂线和斜线两个序列把它们串起来并进行比较。
2、 本节重点是斜线定理,直线与平面所成角。难点是对“斜线和平
面所成角是这条斜线和这个平面内直线所成一切角中最小的角”的理解和证明。
3、 转化思想是一种重要的思想方法,立体几何中的降维就是这种思
想的具体体现。直线与平面所成的角⇒直线与直线所成的角,就是将立体角转化为平面角来算。
4、 用正方体作为载体,来说明垂线、斜线有关概念、定理及直线与
平面所成角,比较直观,易于得出结论,有利于学生主动学习能力的培养。
2006高考题:
1、(2006四川理)在三棱锥O-ABC 中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且OA =OB =OC,M 是AB 的中点,则OM 与平面ABC 所成角的大小是______________(用反三角函数表示)。
2、(2006浙江)如图,正四面体
ABCD 的棱长为1,平面α过棱
AB ,且CD ∥α,则正四面体上的
所有点在平面α内的射影构成的
图形面积是 .
3、(2006福建)已知正方形
A B C D . E 、F 分别是AB 、CD 的中点, 将ADE 沿DE 折起, 如图所示, 记二面角A -DE -C 的大小为θ(0
. C F C
E
D
教学难点:直线和平面所成角的概念及cos θ=cos θ1⋅cos θ2知识:
问1:(1)平面几何中,点、线段在直线上射影的概念及性质?(2)
在平面内,从直线外一点向这个直线所引的垂线段和斜线段中。 ⑴射影相等两条斜线段 ;射影较长的斜线段也较 。
⑵相等的斜线段射影 ,较长的斜线段射影较
⑶垂线段比任何一条斜线段都 。
问2段?什么叫平面的斜线、影?什么叫斜线段在平面内的射影?如何画呢?⑴垂线 自一点向平面引垂线, 平面上的射影.
到这个平面的垂线段.
⑵斜线 叫斜足;的斜线段。
⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
直线与平面平行,直线在平面由射影是一条直线。直线与平面垂直射影是点。斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 问3:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中
⑴射影相交两条斜线 ⑵相等的斜线段射影 ⑶垂线段比任何一条斜线段 。
⑴OB=OC⇒AB=AC OB>OC ⇒AB >AC
⑵AB=AC⇒OB=OC AB>AC ⇒OB >OC ⑶OA
这就是“射影长相等定理”
问4:在问3中,去掉“从平面外一点向这个平面所引”,结论还成立吗?
典型例题:
例1、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,指出:
(1) 点D 1在平面AC 上的射影;
(2) 点D 1到面AC 上的垂线段;
(3)直线D 1A 、D 1B 、D 1C 是平面AC 的斜线吗?指出斜足及相应的斜线段,并指出斜线及斜线段在这个平面内的射影;
(4)观察:斜线段D 1A 、D 1B 、D 1C 及相应的射影,谁长? 例2、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,
(1) 线段AA 1在面AC 、面B 1C 及面DC 1的射影分别
为 、 、 ;
(2)线段AD 1在面AC 、面B 1C 及面DC 1的射影分别为 、 、 ;
(3)线段AC 1在面AC 、面B 1C 及面DC 1的射影分别为 、 、 .
例3 两条异面直线在同一平面内的射影可能是什么?
结论:
1、 若SO ⊥面ABC ,O 为垂足,则SA =SB =SC ⇐⇒O 为三角形ABC
的外心。
5、直线和平面所成角
2006高考题:
1、(2006福建)对于平面α和共面的直线m 、n , 下列命题中真命题是
(A )若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥α (B )若m ∥α,n ∥α, 则m ∥n
(C )若m ⊂α, n ∥α, 则m ∥n
(D )若m 、n 与α所成的角相等,则m ∥n
2、(2006福建)给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线l 1, l 2与同一平面所成的角相等, 则l 1, l 2互相平行.
④若直线l 1, l 2是异面直线, 则与l 1, l 2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是 .
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4(2006福建) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α, 则cos α=______
5、(2006上海文)在直三棱柱ABC -ABC 中,
. B =C ∠A B C =90, A =B
(2)若AC 1与平面ABC S 所成角为45,求三棱锥A 1-ABC 的体积。
6、(2006浙江)如图,在四棱锥P-ABCD 中,
底面为直角梯形,AD ∥BC, ∠BAD=90°,PA ⊥底
面ABCD ,且PA =AD=AB=2BC,M、N 分别为
PC 、PB 的中点.
(Ⅰ) 求证:PB ⊥DM;
(Ⅱ) 求BD 与平面ADMN 所成的角。
(Ⅱ) 求CD 与平面ADMN 所成的角
问1:我们以前所讨论的角都是直线间的角。由于实际需要,人们还要研究直线与平面所成的角。例如,发射炮弹时,要考虑泡筒和地平面所成的角。那么直线与平面所成的角如何定义?夹角又是如何来求呢?
问2:什么是异面直线所成的角?这个角是否具备惟一性和确定性?如何求异面直线所成的角?直线与平面所成的角能否也可转化为两条相交直线所成的平面角来求?
问3:斜线在平面内的射影有几条?经过斜足且在平面内的直线有多少条?为使斜线与平面所成的角有惟一性和确定性,应如何定义斜线与平面所成的角?
定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
问4:当直线垂直于平面,直线与平面所成的角如何定义?
当直线平行于平面或在平面内时呢? 一直线平行于平面或在平面内,所成角为0︒角
问5:直线和平面所成角范围是是么?( [0,
π]))
2
问6:若a b ,则a 、b 与平面α所成角相等吗?
问7:斜线与平面所成角与斜线和平面内经过斜足的其它直线所成的角,有什么关系?
定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的证明:设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l ',角θ是l 与l '所成的直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线,过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ,垂足为AB AC 问8:斜线和平面内经过斜足的所有直线重,所成角最大值是多少?最小值呢?
问9:已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角,且a 与α相交成 ϕ1角,a 在α上的射影c 与b 相交成 ϕ2角,则一定有cos ϕ1cos ϕ2=cos θ?
用几何法研究:
在平面α的斜线a 上取一点P ,过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ,垂足为O 、连接OB ,则OB ⊥b. AO 在直角△AOP 中,cos ϕ1=. AP
AB 在直角△ABC 中,cos ϕ2=. AO AB 在直角△ABP 中,cos θ=. AP
所以
AO AB AB cos ϕ1cos ϕ2=⋅==cos θ AP AO AP
所以cos ϕ1cos ϕ2=cos θ则同样可以得到:平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角;
典型例题
例1、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,
(1)12条棱所在直线与平面ABCD 所成角的大小可能是 ;
(2)各面的对角线所在直线与平面ABCD 所成角的大小可能是 ;
(3)直线AC 1与平面ABCD 所成角的大小是
;
(4)12条棱所在直线与平面ABC 1D 1所成角的大小可能是 ;
(5)12条面对角线所在直线与平面ABC 1D 1所成角的大小可能是 。
例2、一直线与正方体ABCD -A 1BC 11D 1的十二条棱所在直线成等角
α,则sin α=;一平面与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的十二条棱
所在直线成等角β,则sin β= 。
结论:1、由一点出发的三条射线中,如果有两个锐角所在平面互相垂直,则这两个锐角的余弦积等于第三个角的余弦,且第三个角大于这两个锐角。
2、什么直线与正方体的十二条棱所在直线所成角都相等?什么平面与正方体的十二条棱所在直线所成角都相等?
3、若P 为⊿ABC 所在平面外一点,且P A =PB =PC ⇐⇒点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心.
或:若P 为⊿ABC 所在平面外一点,且PA 、PB 、PC 与平面ABC 所成角相等⇐⇒点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心. 补充:应用cos ϕ1cos ϕ2=cos θ求角
例1 AB 是平面α的一条斜线,B 为斜足,AO ⊥α, O 为垂足,BC 为α内的一条直线,∠ABC =60, ∠OBC =45,
求斜线AB 和平面α解:∵AO ⊥α,由斜线和平面所成角的定义可知,
∠ABO 为AB 和α所成角, A B C O 又∵cos θ=cos θ1⋅cos θ2,
∴cos ∠ABO =αcos ∠ABC cos601==÷=, cos ∠CBO cos 45222
∴∠BAO =45,即斜线AB 和平面α所成角为45.
例2.如图,在正方体AC 1中,求面对角线A 1B 与对角面BB 1D 1D 所成O ,连结OB , 解法一:连结AC 11与B 1D 1交于
∵DD 1⊥AC ⊥平面BB 1D 1D ,1D 1⊥AC 11,∴AO 11,B 1
∴∠A 1BO 是A 1B 与对角面BB 1D 1D 所成的角,
在Rt ∆
A 1BO 中,A 1O =1A B ,∴∠A 1BO =30. 211A 解法二:由法一得∠A 1
BO 是A 1B 与对角面BB 1D 1D 所成的角, 又∵cos ∠A 1BB
1
=cos 45=
B B ,cos ∠B 1BO =1=, 2BO 3
cos ∠A BB ==∴cos ∠A 1BO =,∴∠A 1BO =30. cos ∠B 1BO 说明:求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影,cos θ=cos θ1⋅cos θ2例3.已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等,求AC 与平面BCD
解:过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ,连接CO , BO , DO ,
∵AB =AC =AD ,∴O 是正三角形BCD 的外心,
设四面体的边长为a ,则CO =, C A
O
D B ∵∠AOC =90,∴∠ACO 即为AC 与平面BCD 所成角,
∴cos ∠ACO =
,所以,AC 与平面BCD 所成角的余弦值为. 3例4 如图,已知AP ⊥BP ,P A ⊥PC ,∠ABP =∠ACP =60º,PB =PC =2BC ,D 是BC 中点,求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.
解:∵AP ⊥BP ,P A ⊥PC ,∴AP ⊥PBC
连PD ,则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影
∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º,PB =PC =2BC ,D 是BC 中点,
∴PD=31BC , PA=6BC ∴AD=22C
PD 217∴cos ∠PDA = =AD 31A
∴AD 与平面PBC 小结:求角度问题解题的一般步骤是:(1)找出这个角;(2)证明该角符合题意;(3)作出这个角所在的三角形,解三角形,求出角;求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题,即在线线成角
5、三垂线定理
教学目的:(1)了解三垂线定理及其逆定理的内容,会用这个定理及其逆定理解决问题;(2)培养学生观察、猜想和论证能力。 内容分析:
1、“三垂线定理”是判断空间两直线垂直的一种方法,它在直线与直线、直线与平面垂直中起着纽带作用。通常立体几何问题的处理,大都是将立体问题转化为平面问题来解决,唯有三垂线定理可在不同平面的情况下判断直线与直线垂直。它为今后研究二面角的平面角、多面体、旋转体等奠定了基础,在本章教科书的逻辑结构体系中,起着承上启下的作用。
2、 教学重点:准确了解三垂线定理及其拟定立的内容和本质;教学
难点:准确把握“空间三线”垂直关系实质及在非水平放置的平面上运用三垂线定理。例1的设置做到了循序渐进,有利于突破难点。
3、 定理的教学采用实验和引导发现的方法,通过“引申设疑,实验猜想,论证推广”等环节,培养学生逻辑思维、直觉思维能力和探究意识。
4、 本节定理的证明和例题的证明,符号化的程度都较高。教学中应积极使用符号语言,养成学生使用数学符号的良好习惯。
2006高考题:
1、(2006重庆)对于任意的直线l 与平同a , 在平面a 内必有直线m , 使m 与l
(A)平行 (B )相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
2、(2006湖北)如图,在棱长为1的正方体
P ABCD -A 1BC 11D 1中,是侧棱CC 1上的一点,D 1
A 1CP =m 。 C 1 1(Ⅰ)、试确定m ,使直线AP 与平面BDD 1B
1
所成角的正切值为
D (Ⅱ)、在线段AC 11上是否存在一个定点Q ,
使得对任意的m ,D 1Q 在平面APD 1上的射影A B 垂直于AP ,并证明尼的结论。
问1:斜线与平面内经过斜足的所有直线中,所成角最大是多少? 问2:平面的一条斜线在平面内是否一定有垂线?如果有,有几条?如何确定呢?
问3:平面内的一条直线满足什么条件一定和斜线垂直呢?
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的问4:如何用符号表示三垂线定理?
问5:如何证明三垂线定理?
P O ⊥α, O ∈α⎫⎪P A α=A ⎬⇒a ⊥⎪a ⊂α, a ⊥O A ⎭P A
证明:(略)
问6:定理的实质是什么?
判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系
问7:(1)如何利用三垂线定理证明平面外的一条直线与平面内的一条直线垂直?(2)如何利用三垂线定理证明两条异面直线垂直?即应用三垂线定理的一般思路是什么?
应用定理的一般思路:确定平面,抓住垂线,找到射影,证明垂直。 例题:例1、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,直线AC 1与直线BD 垂直,为什么?
例2、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,P 为平面A 1B 1C 1D 1内一点,怎么过P 画一条直线和直线CE 垂直。
例3、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,求证:
(1)A 1C ⊥BD ;(2)A 1C ⊥BC 1;(3)A 1C ⊥平面BDC 1.
问8:(1)若P ∉α,a ⊂α,试在a 上找一点E ,使PE ⊥a 。(2)若∠BAC 在平面α内,点P ∉α,PE ⊥AB ,PF ⊥AC ,PO ⊥α,垂足分别为E 、F 、O ,PE =PF ,试问∠BAO =∠CAO 吗?(学生自做) 例4 求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上。
(证明详见课本)
问9:若∠BAC 在平面α内,点P ∉α,∠PAB =∠PAC ,PO ⊥α,垂足为O ,试问∠BAO =∠CAO 吗?
问10:三垂线定理的逆命题是什么?
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条PO ⊥α, O ∈α⎫⎪推理模式: PA α=A ⎬⇒a ⊥AO .
a ⊂α, a ⊥AP ⎪⎭
问11:三垂线指那三条线?其实质是什么?
三垂线指PA ,PO ,AO 都垂直α内的直线a 。 其实质是:斜线和平面问12:三垂线定理及其逆定理有何应用?当平面不是水平放置时,结论是否仍然成立?
定理证明异面直线垂直,逆定理证明同一平面内两直线垂直。
当平面不是水平放置时,结论仍然成立。
讲解范例:
例1 如图,道路两旁有一条河,河对岸有电塔AB ,高15m ,只有量角器和皮尺作测量工具,能否测出电塔顶与道路的距离?
解:在道路边取点C ,使BC 与道路边所成的水平角等于90, 再在道路边取一点D ,使水平角∠CDB =45,
测得C , D 的距离等于20m ,
∵BC 是AC 在平面上的射影,且CD ⊥BC
∴CD ⊥AC (三垂线定理)
因此斜线段AC 的长度就是塔顶与道路的距离,
∵∠CDB =45, CD ⊥BC , CD =20m ,
∴BC =20m ,
在Rt ∆
ABC 中得|AC |===25(m ) ,
答:电塔顶与道路距离是25m .
例2.点A 为∆BCD 所在平面外的一点,点O 为点A 在平面BCD 内的射影,若AC ⊥BD , AD ⊥BC ,求证:AB ⊥CD .
证明:连结OB , OC , OD ,
∵AO ⊥平面BCD ,且AC ⊥BD
∴BD ⊥OC (三垂线定理逆定理)
同理OD ⊥BC ,
∴O 为∆ABC 的垂心,∴OB ⊥CD ,
又∵AO ⊥平面BCD ,
∴AB ⊥CD (三垂线定理)
引申:
例3.已知:四面体S -ABC 中,SA ⊥平面ABC , ∆ABC 是锐角三角形,H 是点A 在面SBC 上的射影,求证:H 不可能是∆
SBC 证明:假设H 是∆SBC 的垂心,连结BH ,则BH ⊥SC ,
H
S A B O C D
∵BH ⊥平面SBC
∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影,
∴SC ⊥AB (三垂线定理)
又∵SA ⊥平面ABC ,AC 是SC 在平面ABC 内的射影
∴ AB ⊥AC (三垂线定理的逆定理)
∴∆ABC 是直角三角形,此与“∆ABC 是锐角三角形”矛盾
∴假设不成立,
所以,H 不可能是∆SBC 例4.已知:如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是CC 1的中点, F 是AC , BD 的交点,求证:A 1F ⊥平面BED .
证明:AA 1⊥平面ABCD ,AF 是A 1F 在面ABCD 上的射影
又∵AC ⊥BD ,∴A 1F ⊥BD
取BC 中点G ,连结FG , B 1G ,
∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1, FG ⊥平面BCC 1B 1,
D A 1D 1B 1E C 1
∴B , G 为A 1F 在面BCC 1B 1上的射影,
A C F B G
又∵正方形BCC 1B 1中,E , G 分别为CC 1, BC 的中点,
∴BE ⊥B 1G ,
∴A 1F ⊥BE (三垂线定理)又∵EB
∴A 1F ⊥平面BED .
规律与结论:射影及其应用
命题一:斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上。 命题二:如果一条线段所在平面外一点到线段的两端点距离相等,那么这一点在平面上的射影在这条线段的垂直平分线上。
推论:若线段AB 在平面α内,点P 在平面α外,且PA =PB (或BD =B ,
∠PAB =∠PBA ),则点P 在平面α内的射影O 落在线段AB 的垂直平分线上。
命题三:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
推论:经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线。
命题四:如果两个平面互相垂直,则第一个平面内的点或直线在第二个平面内的射影一定在这两个平面的交线上。
命题五:在三棱锥中,若三条侧棱的长相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
推论1:在三棱锥中,若侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。
推论2:在三棱锥中,若顶点在底面上的射影为底面三角形的外心,则三棱锥的三条侧棱长相等,或三条侧棱与底面所成的角都相等。 命题六:在三棱锥中,若各个侧面与底面所成的角都相等,且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
推论1:在三棱锥中,若顶点到底面三边的距离相等,且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。
推论2:在三棱锥中,若顶点在底面上的射影为底面三角形的内心,则顶点到底面三边的距离相等,或三棱锥的各个侧面与底面所成的角都相等,且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部。
命题七:在三棱锥中,若三对相对的棱中有两对互相垂直,则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。
推论1:在三棱锥中,若三条侧棱两两互相垂直,则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。
推论2:在三棱锥中,若三对相对的棱中有两对互相垂直,则第三对棱也互相垂直,且任一顶点在相对底面上的射影为该底面三角形的垂心。
命题八:正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。