六周 圆周运动绳杆模型
专题训练（第六周）―――圆周运动中的两种模型
一. 两种模型:
(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动. 小球能到达最高点(刚
v 2好做圆周运动) 的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m ，这时的速度r
是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）.
类此模型：竖直平面内的内轨道
(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动) 的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力. ）
①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；
②当0
③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；
④当v >gr 时，杆对小球提供 力.
类此模型：竖直平面内的管轨道.
1、圆周运动中绳模型的应用
【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s，水对筒底的压力多大？
【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点 B
时恰好对轨道无压力。求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg，绳长l=60cm，求：
(1)最高点水不流出的最小速率。 (2)水在最高点速率v ＝3 m／s 时，水对桶底的压力．
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2、圆周运动中的杆模型的应用
【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v 1=3.0m／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大? 方向如何？
【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）
A. 小球到达最高点的速度必须大于gL
B . 小球到达最高点的速度可能为0 C. 小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D. 小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力
【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时
受到轨道给它的作用力为___________。若小球通过圆环轨道 最高点时速度恰为gL ，则小球在通过最高点时受到轨道给
它的作用力为___________。
【训练5】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )
A. 若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零
B. 若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零
C. 若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零
D. 若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力，
在Q 点受到细杆的作用力为推力
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1、圆周运动中绳模型的应用
【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s，水对筒底的压力多大？
解：(1）若水恰不流出，则有mg=.
所求最小速率v0=m/s= m/s=2.2 m/s.
(2）设桶对水的压力为FN ，则有mg+FN=.
FN=-0.5×9.8 N=4.1 N.
由牛顿第三定律得知，水对桶底的压力：FN′=FN=4.1 N.
答案：(1）2.2 m/s (2）4.1 N
【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点 B 时恰好对轨道无压力。求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
在最高点对轨道无压力，则重力提供向心力。mg=mv^2/r，则
即在B 点速度为sqrt(gr
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg，绳长l=60cm，求：
(1)最高点水不流出的最小速率。 (2)水在最高点速率v ＝3 m／s 时，水对桶底的压力．
1）最高点水恰好不流出时，向心力完全由重力提供
即：v²m/r=mg
v=根号（gr ）
=根6 m/s
2）F 向=v²m/r=3²×0.5/0.6=7.5N
F 向=G+N
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N=F向-G=7.5-5=2.5N
由牛顿第三定律得N’=N=2.5N
2、圆周运动中的杆模型的应用
【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v 1=3.0m／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大? 方向如何？
最高点时的最小速度 也就是重力正好提供向心力
mg=mv2/r 所以v=根号下gr 就是2.5
（2）需要的向心力是 mv2/r 重力是mg
所以拉力 就是 mv2/r-mg （2是平方的意思）
如果绳子突然断了 小球做平抛运动
【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）
A. 小球到达最高点的速度必须大于gL
B . 小球到达最高点的速度可能为0 C. 小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D. 小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力
【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时
受到轨道给它的作用力为___________。若小球通过圆环轨道 最高点时速度恰为gL ，则小球在通过最高点时受到轨道给
它的作用力为___________。
【训练5】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )
A. 若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零
B. 若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零
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C. 若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零
D. 若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力， 在Q 点受到细杆的作用力为推力
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