高一12月份月考数学试题

高一12月份月考数学试题

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．请将正确答案填涂在机读卡上）. 1．设集合A ={x |x ≤2},集合B ={x |

A ．{x |-

x -1

2x +1

B ．{x |-

1

C ．{x |-2

12

D ．{x |-1

12

2. 使不等式

11

B. a >b

C.

A. ab >0 b 0

3. 设等比数列的前n 项积为T n , 若T 5=1，则一定有 （ ） A. a 5=1

B. a 3=1 C. a 2=1

D. a 1=1.

4. 设a >0且a ≠1，M =log a (a3+1),N =log a (a2+1) ，则M 与N 的大小关系是（ ） A. M >N

B. M

C. M =N

D. 不能确定.

-x

5. 若函数y =a (a >0且a ≠1) 为增函数，则函数f (x ) =log a 的大致图象是（ ）

x +1

1

A.

x

B.

C.

x

D.

x

6

．已知向量a

=(sin55︒, sin 35︒), b =(sin25︒, sin 65︒), 则

a ⋅b = （ ）

A ．sin 10︒

B ．

3 2

C ．

1 2

D ．-

1. 2

7．设函数f (x ) =

x +a

，当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) 单调递增，则实数a 的范围是（ ） x +1

A ．a 0 C ．a 1.

⎧log 2(x -1) (x ≥2) ⎪

8. 设函数f (x ) =⎨1x , 若f (x 0) >1，则x 0的取值范围为 （ ）

() -1⎪(x

A. (-∞, 0) (2, +∞)

B. （0，2） C. (-∞, -1) (3, +∞)

D. (-1, 3) .

9．给定两个向量a =(3,4),b =(2,1),若(a +xb ) ⊥(a -b ), 则实数x 的值等于 （ ）

A. -3

B.

3 2

C.3 D. -

3. 2

10．将函数y =f (x ) 的图象按向量=(

π

4

, 2) 平移后图象的解析式为y =sin(x +

π

4

) +2，则函数

y =f (x ) 的解析式可以是（ ）

A. f (x ) =sin x B. f (x ) =cos x C. f (x ) =sin x +2 11．函数f (x ) =cos (

2

D. f (x ) =cos x +2 .

x πx π

-) +sin 2(+) -1是 （ ） 2424

B. 周期为π的偶函数 D. 周期为2π的偶函数.

A. 周期为π的奇函数 C. 周期为2π的奇函数

x 4-x 2+1

12．已知命题P ：关于x 的不等式>m 的解集为{x |x ≠0, 且x ∈R }；命题Q ：2

x

f (x ) =-(5-2m ) x 是减函数，若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数m 的取值范围是

( )

A. (1,2) B. [1,2) C. (-∞,1] D. (-∞,1) .

第II 卷 (非选择题，共90分)

二、填空题（本大题有4个小题，每小题4分，共16请把答案填在答题卷上相应的位置）.

13. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a n +a n +1=14. 函数f (x ) =() x +1(x >-2) 的反函数f

1

(n ∈N *) ，则S 21=____. 2

12

-1

(x ) =________.

1

-), b =(sinα,cos α) 且当α∈R 时，|2a -b |的最大、15.

已知向量a =最小值分别为m 、2

n ，则m -n =__________.

x 2+ax -2

≤0的解集16. 已知不等式x +ax -b ≥0的解集为{x |x ≤-2或x ≥3}，则不等式2

x -bx +5

2

为____________.

三、解答题（本大题有6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.

17. (本小题满分13分) 已知向量a 、b 满足：其中k >0. |a |=|b |=1, 且|ka +b |=a -kb |， （1） 用k 表示a ⋅b ；

（2） 当a ⋅b 最小时，求a 与b 的夹角θ的大小.

18. (本小题满分13分) 设函数y =f (x ) 的图象与函数y =g (x ) 的图象关于原点对称，且

f (x ) =x 2+2x .

（1） 求函数y =g (x ) 的解析式； （2） 解关于x 的不等式：g (x ) ≥

1

-f (x ) .

|x -1|

19. (本小题满分12分) 已知函数f (x ) =2cos 2x +3sin 2x +a (a ∈R ). （1） 若x ∈R , 求f (x ) 的单调递增区间； （2） 若x ∈[0,

20. (本小题满分12分) 设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且S n =

（1） 求a 1的值；

（2） 求数列{a n }的通项公式；

（3） 已知b n =2n , 求T n =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n 的值.

π

2

]时, f (x ) 的最大值为4，求a 的值，并求出这时x 的值.

1213a n +a n -. 424

21. (本小题满分12分) 在△ABC 中，已知角A 为锐角，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c

，

sin A =

. 2

（1） 求tan

B +C A

+sin 2的值； 22

（2）

若a =

S △ABC =

b 的值.

22. (本小题满分12分) 已知函数f (x ) 对任意的实数m 、n 都有：f (m +n ) =f (m ) +f (n ) -1，且当x >0时，有f (x ) >1.

（1）求证：f (x ) 在R 上为增函数；

2

（2）若f (4)=5，解关于x 的不等式f (x +x -4)

2

（3）若关于x 的不等式f (ax -2) +f (x -x )

一、选择题：1. B 2 .C 3.B 4.A 5.D 6.B 7 .C 8.C 9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：

13．

19

14．log 1(x -1)(x >5) 15．2 16．[-1,1) ⋃[2,5) 22

三、解答题：

2 2

17(本题满分13分)(1) 由已知有： (ka +b ) =3(a -kb )

k 2|a |2+2k a ⋅b +|b |2=3(|a |2-2k a ⋅b +k 2|b |2)

k 2+1

∴ a ⋅b =

4k k 2+1111

=(k +) ≥(k =1时取等号) （2）⋅=

4k 4k 21

此时a ⋅b ==|a |⋅|b |⋅cos θ

21π

∴ cos θ= ∴ θ=

23

18. (本题满分13分)(1) 在y =g (x ) 上任取一点(x , y ) ，它关于原点对称点为(-x , -y ) ， 则

(-x , -y ) 在y =f (x ) 上

∴-y =(-x ) +2(-x ) 即y =-x +2x ∴ g (x ) =-x +2x （2）不等式即：-x +2x ≥

2

22

2

1

-x 2-2x

|x -1|

∴4x ≥

1

即 4x |x -1≥| 1|x -1|

⎧4x (x -1) ≥1∴⎨ 或

x -1>0⎩

∴

x ≥

) 1⎧-4x (x -1≥

⎨

x -1

1或x =

2∴ 不等式解集为

{x |x ≥

11

或x =} 22

19. (本题满分12分)(

1) f (x ) =1+cos2x +x +a =2sin(2x +当2x +

π

6

) +(a +1)

π

6

∈[2k π-

π

2

, 2k π+

π

2

](k ∈Z ),

即x ∈[k π-

π

3

, k π+

π

6

](k ∈Z ) 时，f (x ) 为增函数

（2）当x ∈[0, ]时，2x +

ππ

2

π7π∈[, ] 666

∴sin(2x +

π

1

) ∈[-, 1]， 62

f (x ) ∈[a , a +3]

∴a +3=4,

∴a =1

当f (x ) =4时，2x +即x =k π+又 x ∈[0,

π

6

=2k π+

π

2

, k ∈Z

π

62

, k ∈Z ,

π

],

∴x =

π

6

20. (本题满分12分) ⑴ 当n ＝ 1时，a 1=s 1=

解出a 1 ＝ 3

⑵ 又4s n ＝ a n 2 ＋ 2a n －3

①

1213

a 1+a 1-, 424

2

4s n －1 ＝ a n -1 ＋ 2a n －3 (n≥2) ② 2 ①－② 4a n ＝ a n 2－a n -1 ＋ 2a n －2a n －1

22 即a n -a n -1-2(a n +a n -1) =0

∴ (a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0

a n +a n -1>0∴a n -a n -1=2（n ≥2） ∴数列{a n }是以3为首项，2为公差之等差数列 ∴a n =3+2(n -1) =2n +1

⑶ T n =3⨯21+5⨯22+ +(2n +1) ⋅2n +0

又2T n =0+3⨯22+ +(2n -1) ⋅2n +(2n +1) 2n +1

③ ④

④－③ T n =-3⨯21-2(22+23+ +2n ) +(2n +1) 2n +1 =-6+8-2⨯2n +1+(2n +1) ⋅2n +1 =(2n -1) 2n +1+2 ∴T n =(2n -1) ⋅2n +1+2

21. (本题满分12分) ⑴在△ABC 中，因为角A 为锐角且

sin A =

，

1

3

B +C A π-A A tan 2+sin 2=tan 2+sin 2

2222πA A sin 2(-) cos 2

+sin 2A =+sin 2A =

A 2sin 2A 2cos 2(-) 2221+cos A 1-cos A 7=+=

1-cos A 23

1

⑵由S

ABC =bc sin A =bc =3 ①

2

所以cos A =

由余弦定理，a =b +c -2bc cos A ，即b +c =10 ② 由①②解得b =1或b =3

2

2

2

2

2

22. (本题满分12分)

（1） 证：任取x 1, x 2∈R 且x 10，f (x 2-x 1) >1

∵f (x 2) =f [(x 2-x 1) +x 1]=f (x 2-x 1) +f (x 1) -1>1+f (x 1) -1=f (x 1) ∴f (x 2) >f (x 1) ∴f (x ) 在R 上为增函数 （2）∵f (4)=5=f (2)+f (2)-1

∴f (2)=3

∴f (x 2+x -4)

∵f (ax -2) +f (x -x 2) 0恒成立 ∴∆=(a +1) 2-4⨯2

∴-1

2

2