上海市闵行区2016年高三数学一模(理科含答案)

上海市闵行区2015-2016学年第一学期高三一模

数 学 试 卷（理科） 2016.1

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数z

满足i z =i （i 为虚数单位），则|z |=2．若全集U =R ，函数y =x 的值域为集合A ，则ðU A =(-∞, 0) 3．方程4-2-6=0的解为x =log 23 4．函数f (x )=5．不等式

x

x

12

cos(π-x ) sin x

的最小正周期T = .π

sin(π+x ) cos x

4

>x 的解集为 .(0, 2) x

6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于15π

7．已知△ABC 中，AB =4i +3j ，AC =-3i +4j ，其中i 、j 是基本单位向量，则△ABC 的面积为 .

25 2

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试. 小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10 9．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且10．若函数f (x ) =2

x -a

S 8S 6S =+10，则lim n = 5 2n →∞86n

(a ∈R ) 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，且f (x ) 在[m , +∞) 上单调

递增，则实数m 的最小值等于 . 1

x 2y 2

=1(a >1) 上运动，F 1、F 2是椭圆Γ的左、右11．若点P 、Q 均在椭圆Γ:2+2

a a -1

焦点，则PF 1+PF 2-2PQ 的最大值为 .2a

⎧π

0≤x ≤4⎪cos 2x ，

12．已知函数f (x ) =⎨，若实数a 、b 、c 互不相等，且满足

x >4⎪log 1(x -3) +1，

⎩4

1

f (a ) =f (b ) =f (c ) ，则a +b +c 的取值范围是(8， 23)

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法, 其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为则

b d

和a , b , c , d ∈N *）, c a

b +d

是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值. 我们知道π=3.14159⋅⋅⋅，若令a +c 314916

22为 .

7

1n

14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，S n =(-1) a n +n +n -3且

2

⎛311⎫

(a n +1-p )(a n -p )

⎝44⎭

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案. 考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若a , b ∈R ，且ab >0，则“a =b ”是“

b a

+≥2等号成立”的（ A ）. a b

(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设f (x ) =2+5x +10x 2+10x 3+5x 4+x 5，则其反函数的解析式为（ C ）.

(A)

y =1

(B) y =1 (C)

y =-1

(D) y =-117．△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，满足

范围是（ B ）. (A) 0,

a -b +c c

≤，则角A 的b a +b -c

⎛

⎝π⎤

⎥ (B) 6⎦⎛π⎤⎡π

(C) 0, , ⎥⎢36⎝⎦⎣⎫⎡π

π⎪ (D) ⎢, ⎭⎣3⎫

π⎪ ⎭

18．函数f (x ) 的定义域为[-1,1]，图像如图1所示；函数g (x ) 的定义域为[-1,2]，图像如图2所示. A =x f (g (x )) =0, B =x g (f (x )) =0, 则A B 中元素的个数为（ C ）.

{}

{}

2

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）

1

如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，

A 1

π

，D 为棱AA 1中点，6

π

证明异面直线B 1C 1与CD 所成角为，并求三棱柱

2

B 1

AA 1=AB =2，BC =1, ∠BAC =

D

A

B

ABC -A 1B 1C 1的体积．

[证明] 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，

BC //B 1C 1，∴∠BCD 或它的补角即为异面直线B 1C 1与CD 所成

角，„„„„„„„„„„2分 由AB =2，BC =1, ∠BAC =

ππ

以及正弦定理得sin ∠ACB =1，∴∠ACB =即62

BC ⊥AC ，„„„„4分

又∴BC ⊥AA 1，∴BC ⊥面ACC 1A 1，„„„„6分

∴BC ⊥CD „„„„„„8分

π

．„„„„„„„„ 10分 2

1

三棱柱ABC -

A 1B 1C 1的体积为V =S △ABC ⋅AA 1=1⋅2= „„„„12分

2

所以异面直线B 1C 1与CD 所成角的为

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，0

π

（1）若α=π，cos (α-β)=，求sin 2β的值；

34

（2）证明：cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β．

2

[解]（1）方法一: cos (α-β)=，

3

1

∴cos(2α-2β) =2cos 2(α-β) -1=- „3分

9

3π13

-2β) =-， „„„„„„„„„„„„6分 α=π，即cos(

429

3

1

∴sin 2β=． „„„„„„„„„„„„8分

9

方法二: cos (α-β)=

23222，α=π，即-cos β+sin β=， „„„„3分

43223

∴sin β-cos β=

822

，两边平方得，1-sin 2β= „„„„„„„„„„„6分

93

1

∴sin 2β=． „„„„„„„„„„„„„8分

9

（2）[证明]由题意得，=(cosα, sin α) ，=(cosβ, sin β) ∴⋅=cos αcos β+sin αsin β 又因为OA 与OB 夹角为α-

β==1

∴

⋅α-β) =cos(α-β) „„„„„„„„„12分 综上cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β成立． „„„„„„„„„„„14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l 1、l 2，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段. 为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数y =

„„„„„„10分

a

图像的一段，点M 到l 1、点N l 2的距离分别为8千米和1千米，x

到l 2的距离为10千米，以l 1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p .

（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线

OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.

[解]（1）由题意得M (1,8) ，则a =8，故曲线段MPN 的函数关系式为y =

8

，4分 x 4

又得N (10,) ，所以定义域为[1,10]. „„„„„„„„„„„6分

5

4

已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点(1,) ，它的一个焦点与抛物线

2

E:y 2=4x 的焦点重合．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）斜率为k 的直线l 过点F (1, 0)，且与抛物线E交于A 、B 两点，设点P (-1, k ) ，

△PAB 的面积为k 的值；

（3）若直线l 过点M (0, m )（m ≠0），且与椭圆Γ交于C 、D 两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.

9⎧1

x 2y 2⎪2+2=1

[解]（1）设椭圆的方程为2+2=1(a >b >0)，由题设得⎨a ，„2分 4b

a b ⎪a 2=b 2+1

⎩

⎧a 2=4x 2y 2∴⎨2+=1 „„„„„„„„„„4分 ，∴椭圆Γ的方程是

43b =3⎩

（2）设直线l :y =k (x -1) ，由⎨

⎧y =k (x -1), 2222

得k x -2(k +2) x +k =0 2

⎩y =4x ,

l 与抛物线E有两个交点，k ≠0，∆=16(k 2+1) >0，

5

4(k 2+1) 则AB = „„„„„„„„„„6分 =

k 2

P (-1, k ) 到l

的距离d =

S △

PAB

14(k 2+1) = =, ∴⋅22k 4k 2=3k 2+

3，故k = „„„„„„„„„10分

（3） C (x 1, y 1), D (x 2, y 2)，点C 关于y 轴的对称点为Q (-x 1, y 1) ， 则直线CD :y -y 1=直线QD :y -y 1=

y 2-y 1x (y -y ) x y -x y

(x -x 1) ，设x =0得m =y 1-121=2112

x 2-x 1x 2-x 1x 2-x 1

y 2-y 1x (y -y 1) x 2y 1+x 1y 2

设x =0得n =y 1+1214分 (x +x 1) ，=

x 2+x 1x 2+x 1x 2+x 1

22222

33x 12y 12x 2y 2x 2y 1-x 12y 22222

∴y =(4-x ) y =(4-x ) +=1+=1，又，∴mn =112222

444343x 2-x 1

3232

x 2⋅(4-x 12) -x 12⋅(4-x 2)

x y -x y ∴mn ===3．„„„„„„„„„16分 22

x -x x 2-x 1

2221

22

2121

22

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知数列{a n }的各项均为整数，其前n 项和为S n ．规定：若数列{a n }满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第r -1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列

{a n }为“r 关联数列”．

（1）若数列{a n }为“6关联数列”，求数列{a n }的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出S n ，并证明：对任意n ∈N ，a n S n ≥a 6S 6；

（3）已知数列{a n }为“r 关联数列”，且a 1=-10，是否存在正整数k , m (m >k ) ，使得a 1+a 2+ +a k -1+a k =a 1+a 2+ +a m -1+a m ? 若存在，求出所有的k , m 值；若不存在，请说明理由．

[解]（1） {a n }为“6关联数列”，∴{a n }前6项为等差数列，从第5项起为等比数列

*

∴a 6=a 1+5, a 5=a 1+4, 且

a 6a +5=2， 即1=2，解得a 1=-3 „„„„2分 a 5a 1+4

6

⎧n -4, n ≤5⎧n -4, n ≤6⎧n -4, n ≤4

（或a n =⎨n -5）． „„„„„„„„4分 ∴a n =⎨n -5=⎨n -5

2, n ≥52, n ≥62, n ≥7⎩⎩⎩⎧127⎧127⎧127

n -n , n ≤4n -n , n ≤5⎪⎪⎪n -n , n ≤6

（2）由（1）得S n =⎨2（或S n =⎨2） =222⎨2

n -4⎪⎪2n -4-7, n ≥6⎩⎪2n -4-7, n ≥7⎩2-7, n ≥5⎩

„„„„„„„„„„„„„6分

{a n }:-3, -2, -1,0,1,2,22,23,24,25, ，{S n }:-3, -5, -6, -6, -5, -3,1,9,25, {a n S n }:9,10,6,0,-5, -6,4,72,400, ，可见数列{a n S n }的最小项为a 6S 6=-6，

⎧1

⎪n (n -4)(n -7), n ≤5

证明：a n S n =⎨2，

n -5n -4⎪⎩2(2-7), n ≥6

列举法知当n ≤5时，(a n S n ) min =a 5S 5=-5； „„„„„„„„„„„„„„„8分 当n ≥6时，a n S n =2⋅(2n -5) 2-7⋅2n -5(n ≥6) ，设2

n -5

=t ，则t ∈{2,22, ,2m , }，

749

a n S n =2t 2-7t =2(t -) 2-≥2⋅22-7⋅2=-6． „„„„„„„„10分

48

（3） {a n }为“r 关联数列”，且a 1=-10, d =1, q =2

∴a r -1=a 1+(r -2) d =r -12, a r =r -11，

a r

=2∴r =13 a r -1

⎧⎧1221n -11, n ≤12⎪⎪n -n , n ≤12

„„„„„„„„„„12分 ∴a n =⎨n -12, S n =⎨22

n -11⎪2, n ≥13⎪⎩2-56, n ≥13⎩

①当k

1221121

k -k =m 2-m 得(k+m )(k-m ) =21(k-m ) 2222

⎧m =12⎧m =11

k +m =21, k , m ≤12, m >k ，∴⎨或⎨．

k =9k =10⎩⎩

k -11

-56=2m -11-56得m =k ，不存在 „„„„„„14分 ②当m >k >12时，由2

③当k ≤12, m >12时，由

1221

k -k =2m -11-56，2m -10=k 2-21k +112 22

7

当k =1时，2m -10=92, m ∉N *；当k =2时，2m -10=74, m ∉N *； 当k =3时，2m -10=58, m ∉N *；当k =4时，2m -10=44, m ∉N *； 当k =5时，2m -10=25, m =15∈N *；当k =6时，2m -10=22, m ∉N *； 当k =7时，2m -10=14, m ∉N *；当k =8时，2m -10=23, m =13∈N *； 当k =9时，2m -10=22, m =12舍去；当k =10时，2m -10=2, m =11舍去

当k =11时，2m -10=2, m =11舍去；当k =12时，2m -10=22, m =12舍去„„16分 综上所述，∴存在⎨

⎧m =15⎧m =13⎧m =12⎧m =11

或⎨或⎨或⎨． „„„„„„„18分 k =5k =8k =9k =10⎩⎩⎩⎩

8