有关数列极限求法的探究.......
对形如" x n =∑a i " 数列极限求法的探究
i =1n
摘要:数列极限是数学分析中最重要的概念之一,数列极限可用ε-N 语言进行准确定义,本文主要探讨了n 项和形式的数列极限的几种不同的求法,如:定积分定义法、夹逼准则求法等等。同时在运用这些方法的时候我也予以相应的归纳总结、深化推广等。 关键词:εN 定义;夹逼准则; 定积分定义法.
一、定积分定义法
对形如x n =∑
i =1n i i -11n a i ,并且可以表示为x n =∑b i ,而b i =f () 或f () 的形式,此时n n n i =1
一般用定积分求极限.
例3求极限lim (n →∞1n +12+1n +222+⋅⋅⋅+1n +n 22) =J
分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定义求解,然而我们可以把这个极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算定积分。为此作如下变形:
J =lim ∑n →∞i =1n 1i +() 2
n 11不难看出,其中的和式是函数f (x ) =在区间[0, 1]上的一个积⋅2n +x
1i i -1i , ξi =∈[, ],i =1, 2, ⋅⋅⋅, n . n n n n 分和. 这里所取的是等分分割,∆x i =
所以: J =⎰11
+x 2o d x =ln(x ++x 2) 11+2) . 0=ln(
本例小结:从该例的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而利用定积分定义将要求极限迎刃而解. 于是,我们可以总结用定积分求极限的一般步骤: ① 将和式极限lim ∑g (i ) 经过变形,使其成为积分形式lim ∑f (ξi ) ∆x i ,这里常取n →∞i =1n →∞i =1n n
∆x i =1i i -1i , ξi =∈[, ],i =1, 2, ⋅⋅⋅, n . n n n n
n →∞
b ② 确定积分函数的上、下限:a =lim ξi (i 取第一个值) b =lim ξi (i 取最后一个值) . n →∞③ 用x 代换ξi ,写出定积分表达式⎰f (x ) dx ,并求出原极限的值. a
如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续,将区间[a , b ]进行n 等分ξi ∈[
1 i -1i (b -a ), (b -a )],n n
b b -a b -a n
∆x i =,那么,lim ∑f (ξi ) =⎰a f (x ) dx . 事实上,连续函数一定可积,而将区间[a , b ]n →∞n n i =1
进行n 等分也是分割的一种特殊情况. 由定积分的定义,上述结论成立. 我们现在要将结论进行适当的推广,以得到更多形式的极限的求法.
深化推广:如果函数f (x ) ,g (x ) ,f (x ) ⋅g (x ) 均在[a , b ]上可积,a =x 0
证明:因为f (x ) ,g (x ) ,f (x ) ⋅g (x ) 均在[a , b ]上可积. 又由于ξi ,ηi ∈[i -1i , ] n n
∆x i →0(当n →∞) ,所以,lim ξi =lim ηi n →∞n →∞
因此,lim ∑f (ξi ) g (ηi ) ∆x i =lim ∑f (ξi ) g (ξi ) ∆x i =⎰f (x ) g (x ) d x . λ→0i =1n n b λ→0i =1a
1πππ2π2ππn πn ππcos(-) +⋅⋅⋅+sin cos(-)] 例5求极限lim [sincos(-) +sin n →∞n n n 2n n n 2n n n 2n
解:由推论可知,f (x ) =sin πx ,g (x ) =cos πx 皆在[0, 1]上可积,且
i ππ(i -1) πi π-∈[, ],i =0, 1, 2⋅⋅⋅(n -1) n 2n n n
i πi ππ=lim (-), i =1, 2⋅⋅⋅n . 于是 所以,有lim n →∞n n →∞n 2n
111=原极限式⎰sin πx cos πxdx =⋅⋅sin 2πx 1
0=0. 0π2i π,n
通过对用定积分求极限的推广,我们不仅可以用定积分求由一个函数构成的和式的极限,而且可以求由多个函数组成的和式的极限.
二、夹逼准则求法
1n a i ,并且可以表示为 x n =∑b i ,而 b i 不是f (i ) 或f (i -1) 的形式,此时一般对形如 x n =n n n i =1i =1∑n
用夹逼定理求极限.
112n lim (++⋅⋅⋅+) 例7求极限 222n →∞n n +1+n n +2+n n +n +n
分析:这个题目是一个求n 项和极限的问题,通常我们想到的是用定积分的定义来求,但 2
i i -1f () 或f () 的形式,此时我们可以考虑用夹逼定理来求解. 这个题目不能化成n n
解:记 x n =11(+2n n +1+n 2n +2+n 2+⋅⋅⋅+n n +n +n 2)
11+2+⋅⋅⋅+n 11+2+⋅⋅⋅+n ⨯≤x ≤⨯则 n 22n n n +n +n n +1+n
1n (n +1) 11+2+⋅⋅⋅+n 11i m ⨯=l i m ⨯=, 而 l n →∞n n 2+n +n n →∞n n 2+n +n 4
1n (n +1) 11+2+⋅⋅⋅+n 11lim ⨯=lim ⨯= n →∞n n →∞n n 2+1+n n 2+1+n 4
112n 1lim (++⋅⋅⋅+) =所以,由夹逼准则n →∞ 22n n 2+1+n 4n +2+n n +n +n
三、Stoltz 公式法
对形如x n =∑a
i =1n i ,却不能用定积分的定义、夹逼准则来解决的题型,有时运用 Stoltz 公
式来求解会非常的简便,比如:
例10求极限lim n →∞1+2++⋅⋅⋅+n n
解:由Stoltz 可得
lim 1+2++⋅⋅⋅+n (1+2+⋅⋅⋅+n ) -(1+2+⋅⋅⋅+=lim n →∞n →∞n n -(n -1) n 1n -1)
=lim n →∞n =lim n n =1. n -(n -1) n →∞本例小结:当我们遇到这种n 项和数列求极限的问题时,除了想到用夹逼准则、定积分定义来求解之外,有时运用Stoltz 公式求解会更方便. 主要方法是:将分子、分母的前n 项与它们各自的前n -1项作差转化为我们所熟悉的数列极限来求解.
我们可以对通项是n 项和的数列求极限进行小结:
设x n =∑a i ,求lim x n 常用下列方法:
i =1n n →∞
⑴ 根据数列的特点先求出数列的和再求极限.
3
⑵ 利用定积分的定义求解(求解的步骤和针对的题型特点在前面已总结了) ⑶ 利用夹逼定理求极限,一般步骤有:
① 将原n 项和放大、缩小:(一般是通过放大、缩小分母来实现的) . ② 将放大、缩小后的通项进行整理、化简.
③ 求出它们的极限.
④ 取极限.
(4)利用Stoltz 公式求解.
参考文献
[1] 钱吉林. 数学分析题解精粹(第二版)[M].湖北:长江出版集团崇文书局.2009.
[2] 李素峰. 求数列极限的几种方法.[N].邢台学院学报,2007-6-10(2).
[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法.[M].北京:高等教育出版社.1993.
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