趣味智力题

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关于一笔画问题******Discovered by Euler

背景：我们见过很多图形问我们能否将其一笔画成且不能重复，其是这些都可以追溯到古老的“七桥问题”。下面我们来分析并给出能一笔画成的图形的充要条件。

分析：一个图形如果能不重复的一笔画成其必有一个起点与终点，起点与终点可能重合也可能不重合，如果起点与终点重合那么从这点出发的路线条数应该等于回来的路线条数（这是因为每从一条出发路线出发对应一条回来的路线,又因为路线有不能出重复，所以出发的路线条数等于回来的路线条数）我们定义从某点发出的线段为偶数条线段的点为偶点，否则称为奇点。对于除去起点与终点之外的点其必须都为偶点因为中间的点必须经历曲线的进与出，其进与出的路线也应该一样多，应此若某个图形能不重复的一笔画的充要条件为：奇点的个数为0（起点与终点重合）或2（起点与终点不重合）根据这个结论我们可以知道因为七桥问题中其一个有4个奇点故无解。

结论：一个图形能不重复的一笔画成的充要条件为该图形的奇点个数为0或2.

今有甲，乙两人欲从A地同时出发，目的地为距离A地100米的B地，甲乙两人共用一辆自行车，且自行车只能承受一人重量，自行车行驶时的速度为3m/s,甲乙两人步行的速度均为1m/s，请设计一个方案使得两人到达B地的时间最短。

思路总结：本题目的思路是探究时间最短时有哪些性质一步步得到重要的结论，相当与缩小范围然后构造出方案。

分析：当甲乙不停车时易计算出需耗时100s

当甲乙总共停车的次数不少于1次时要想时间最短则甲乙两人所用时间必须相等 论证：假设甲的时间小于乙的时间则有以下情况：

1， 甲快到目的地之时是行走的则乙必然是骑自行车的这时因甲比乙先到那么甲放自行车的位置离B的距离肯定比乙近，如果甲放自行车的位置离B再远一些显然会使甲乙到达B的时间减少；

2， 同理若甲快到目的地时是骑自行车的，那么乙放自行车的时候在甲前面（取A到B为正方向）倘若乙放自行车的时候离甲再远一些显然会缩短两人到达的时间；

同理可知乙的时间不会小于甲的时间，故此甲乙的时间也必须相等（这是可以做到的）。 我们记甲乙步行分别用了t1，y1骑车分别用了t2，y2

则有t1+3t2=100=y1+3y2

且t1+t2=y1+y2 联立方程我们有t1=t2,y1=y2,

再者若甲在某段距离内开车则乙必然在该段距离内步行，既是甲的骑车路程等于乙的步行路程，而又因为乙的步行时间与步行速度与甲完全一样，不难推出甲的步行路程与骑车路程均为50m,即是t1=3t2=50故若能做到的话200/3为最短时间。

下面我们来设计方案：

经分析我们停车一次即可

Step1,甲骑车出发，乙步行出发

Step2甲骑到50m时立即停下并把车放在此处（等乙来骑），甲在余下的一段路程内一直步行到目的地；

Step3乙走到50m时骑上自行车，一直骑到目的地。

此方案总共耗时200/3秒

问题的延伸

1,若有n人共用一辆自行车呢，该怎么设计方案呢？

猜想：根据第一问我们猜想的答案为：将100m分成n份，每个人在其中的一段骑自行车在余下的n-1段内步行，为此我们只需证明要想得到最短的时间这n个人必须同时达到

分析：按达到目的地的先后给他们排序,a1=

若第一个到达的人a1是骑自行车的，设甲取车的时候为b点那么余下的人此时此刻应该在b的右边（否则我们让最靠近起点人骑车肯定会降低总体的时间），最靠近b点的人显然就是an,如果a1

若第一个人a1是步行到达的设最后一次停车的人为ai其停在b点若ai=a1则显然最短的时候为a1=an 若停车的人不为a1更不可能是an,则最后an骑车到达目的地，要想时间最短显然an=ai,既是后n-i个人应该同时到达,现在我们来证明a1=ai,设ai取车的位置为c点，在c点放车的人肯定在a1到ai-1中，这是因为若在

2,若n人共用一辆自行车，且除去骑车者外还可以载m-1人，又该怎么设计方案呢？,

3，自行车换轮胎问题，一辆自行车一个新轮胎安装在前轮行驶5000km时报废，当安装在后轮行驶3000km时报废，今有一对新轮胎，请设计一个方案使得自行车的行程最长。

分析：为了定量的描述磨损程度我们定义当轮胎报废时的磨损程度为1，则轮胎每放在前轮行驶1km时磨损程度为1/5000,后轮为1/3000.

考虑车子报废时的情况，车子报废则至少有一个轮胎完全报废下面我们将论证一个重要结论：当两车胎都报废时车子行驶路程最长

根据以上讨论当行驶3x=

证明：象棋盘上的黑马如果跳n步又回到原位则n必定为偶数

思想：模型的建立，讨论的思想

分析：以原黑马所在的位置为坐标原点，以象棋格的边长为单位长度建立直角坐标系

黑马每走一步纵坐标y,横坐标则有以下情况（1,2）（1,-2），（2,1）（2，-1），记第i步变化的量为（xi,yi） 则x1+x2+x3+……xn=0（根据前面的讨论xi+yi=3,-1,3,1）

且y1+y2+y3+……yn=0

则有(x1+y1)+(x2+y2)+……+(xn+yn)=0根据奇数个偶数相加不可能为偶数的特征，可知n必为偶数，证毕。 证明：基数为c的集合A的所有非空子集合所构成的集合B（即集合里面的元素为集合）有B的基数大于A的基数

证明：

将A的每一个元素对应与一个单元素集合即a--->{a}记做C显然C是B的真子集即有B的基数大于等于A的基数，

倘若A的基数等于B的基数则有A对等与B，这是不可能的，证明如下：

对A中任意一元素a存在一一的映射f使得其对应与B中的一个元素，而B中的元素为集合，也即是 让a映射为一集合，我们让集合M吸收这样的满足这样条件的元素a

1，a是A里的元素2，a对应的集合里不含有a

集合M是否是空集呢？倘若是空集也就是a所对应的集合里必然含有a,而含有元素a的集合有{a}应此我们也就必须让a映射{a}也即是必须让a的集合那么其他的多元素集合的也就没有了原像这与假设对等是矛盾的，故M应该非空集合

因为M为一非空集合所以其对应与A中一个元素s，那么s在不在M中呢？

倘若s属于M由于M里面容纳的元素都是所对应的集合里不含有他，既然s为M里的元素，故s不属于M

倘若s不属于M也即是所对应的集合不含有这个元素那么而M又是吸收这样的元素的故应有s属于M

这是一个荒谬的结果，应此假设不成立故B的基数严格大于A的基数

******罗素悖论的应用

集合论

设A，B为两个集合，若存在一一的映射将A映射成B那么称作A对等与B，此时也称A的基数等于B的基数，倘若A不对等于B但A的某一真子集对等与B则称A的基数大于B的基数，下面将产生两个重要而困难的问题1，对于任意的两个集合他们的基数关系是否存在且唯一呢？

我们现在来分析一下唯一性问题：

我们先证明如下定理：

若果A，B为两个非空集合，且A对等于B的一个子集那么