高中数学必修四--平面向量(2014春季)..
高中数学必修四 平面向量
【本章内容介绍】
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念
之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具. 向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景. 在本章中,
学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容. 能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解. )
【知识点归纳】
一. 向量的基本概念与基本运算 1向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量向量一般用a , b , c „„来表示,或用有向线段的起点与终点
的大写字母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标表示法a =xi +yj =(x , y 向量的大
小即向量的模(长度),记作|AB |a
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行a =0⇔|
a |=由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的
问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量
向量a 0为单位向量
⇔|a 0|=
④平行向量(共线向量):
上a ∥b (即自由
向量)
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必
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须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为a =b 大小
相等,方向相同2向量加法
⎧x =x 2
(x 1, y 1) =(x 2, y 2) ⇔⎨1
⎩y 1=y 2
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设AB =a , BC =b ,则a +b =AB +BC =AC (1)0+a =a +0=a ;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB +BC +CD +3向量的减法
. +PQ +QR =AR ,但这时必须“首尾相连”
① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a
记作-a , 零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有: (i )-(-a ) =a ; (ii) a +(-a )=(-a )+a =0;
(iii)若a 、b 是互为相反向量,则a =-b , b =-a , a +b =0
②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,
记作:a -b =a +(-b )
a a ③作图法:a -b 可以表示为从b 的终点指向的终点的向量(、b 有共同起点)4实数与向量的积:
①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)λa =λ⋅a ;
(Ⅱ)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ
当λ=0时,λa =0,方向是任意的
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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理:
向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =λa
6平面向量的基本定理:
如果e 1, e 2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有
一对实数λ1, λ2使:a =λ1e 1+λ2e 2,其中不共线的向量e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
例1 给出下列命题: ① 若|a |=|b |,则a =b ;
② 若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB =DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;
③ 若a =b ,b =c ,则a =c , ④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ; ⑤ 若a //b ,b //c ,则a //c ,
例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点,试化简: ①AB +BC +CD ,②DB +AC +BD ③-OA -OC +OB -CO
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例3设非零向量a 、b 不共线,c =k a +b ,d =a +k b (k ∈R) ,若c ∥d ,试求k
二. 平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 作
为基底该平面内的任一向量a 可表示成a =xi +yj ,由于a 与数对
(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y),其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算:
(1) 若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2) (2) 若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1) (3) 若a =(x,y),则λa =(λx, λy)
(4) 若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a //b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0 (5) 若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a ⋅b =x 1⋅x 2+y 1⋅y 2 若a ⊥b ,则x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0
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和性质
例1 已知向量a =(1,2), b =(x ,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u //v ,求实数x 的值
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1两个向量的数量积:
已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·︱b ︱cos θ b =︱a ︱·叫做a 与b 的数量积(或内积) 规定0⋅a =0
2向量的投影:︱b ︱cos θ=
a ⋅b
∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影|a |
3数量积的几何意义: a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:a ⋅a =a 2=|a |5乘法公式成立:
(a +b )⋅(a -b )=a -b =a (a ±b )=a ±2a ⋅b +b =a
2
2
2
2
2
2
-b ; ±2a ⋅b +b
2
2
2
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:a ⋅b =b ⋅a
()()
③分配律成立:(a ±b )⋅c =a ⋅c ±b ⋅c =c ⋅(a ±b ) 特别注意:(1)结合律不成立:a ⋅(b ⋅c )≠(a ⋅b )⋅c ;
(2)消去律不成立a ⋅b =a ⋅c 不能得到
b =c ⋅ (3)a ⋅b =0不能得到a =0或b =0
②对实数的结合律成立:(λa )⋅b =λa ⋅b =a ⋅λb (λ∈R )
7两个向量的数量积的坐标运算:
b =x 1x 2+y 1y 2 已知两个向量a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ,则a ·
8向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b , 则∠AOB=θ (00≤θ≤1800)
叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos =
a ∙b a ∙
b
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题欢迎走进乐雅文化 6 咨询电话:26005210
9垂直:如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b
10两个非零向量垂直的充要条件:
a ⊥b ⇔a ·b =O ⇔x 1x 2+y 1y 2=
例1 判断下列各命题正确与否: (1)0⋅a =0;(2)0⋅a =0; (3)若a ≠0, a ⋅b =a ⋅c ,则b =c ;
⑷若a ⋅b =a ⋅c ,则b ≠c 当且仅当a =0时成立; (5)(a ⋅b ) ⋅c =a ⋅(b ⋅c ) 对任意a , b , c 向量都成立; (6)对任意向量a ,有a 2=a 2
例2已知两单位向量a 与b 的夹角为1200,若c =2a -b , d =3b -a ,试求c 与d
例3 已知a =(4,3),b =(-1,2),m =a -λb , n =2a +b ,按下列条件求实数λ的值 (1)m ⊥n ;(2)m //n ;(3)m =n
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