2015年山东大学网络教育专升本高等数学模拟题(带答案)

山东大学网络教育专升本数学模拟题1

一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.

2

A．f(x)=lnx 和 g(x)=2lnx B．f(x)=|x| 和 g(

x)=

C．f(x)=x 和 g(

x)=

D．f(x)=

2

|x|

和 g(x)=1 x

2．若极限limf(x)=A存在，下列说法正确的是（ D ）

x→0

f(x)不存在 A．左极限lim-

x→0

f(x)不存在 B．右极限lim+

x→0

f(x)和右极限lim+f(x)存在，但不相等 C．左极限lim-

x→0

x→0

f(x)=limf(x)=limf(x)=A D. lim+-

x→0

x→0

x→0

3．

⎰

⎛1⎫1

f' ⎪2dx的结果是（ D ）. ⎝x⎭x

⎛1⎫

⎪+C B．-fx⎝⎭

⎛1⎫

-⎪+C C．⎝x⎭

⎛1⎫

f ⎪+C D．-f⎝x⎭

⎛1⎫

⎪+C ⎝x⎭

A．f -

x2+ax+6

=5,则a的值是（ B ） 4．已知lim

x→11-x

A．7 B．-7 C． 2 D．3 5．线y=2(x-1)在(1,0)点处的切线方程是（ D ）

A．y=-x+1 B．y=-x-1 C．y=x+1 D．y=x-1

二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。 6

．函数y=

_________（-3，3）_______________.

⎧e-2x-1

x≠0⎪

7．设函数f(x)=⎨x 在x=0处连续，则a=

⎪ax=0⎩

-2

.

8． 曲线y=2x2在点(1,2)处的切线方程为___ y-4x+2=0 ______.

9．函数y=

13

x-x的单调减少区间为____【-1,1】3

10． 若f'(0)=1，则lim

x→0

f(x)-f(-x)

=

x

11．求不定积分

⎰

arcsin3x-x2

=

14

arcsinxC4

12．设f(x)在[0,1]上有连续的导数且f(1)=2，则

⎰

1

f(x)dx=3，

⎰

1

xf'(x)dx= -1

13．微分方程 y''+4y'+4y=0 的通解是(c1+c2x)e-2x .

三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。 14． 求lim解：lim

sinmx

，其中m,n为自然数.（10分）

x→πsinnx

msinmxmx

=lim=

x→πsinnxx→∏nx

15．求不定积分xln(1+x)dx.（15分）

⎰

⎰xln(1+x)dx

12

ln(1+x)dx2⎰解：

12x2=(xln(1+x)-⎰dx)21+x12=[x2ln(1+x)-1(x-1)-ln(1+x)]+C2

=

16．求曲线⎨

⎧x=tπ

在t=处的切线与法线方程. （15分）

2⎩y=1-cost

y'=sitn't==1k=解：

πππ

当t=时，x=,y=1所以切线方程为,y-x-1+= 0

222

π

法线方程为y+x-1-=0

2

四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。

2

17．设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R，总成本函数为（x)=100x-x2

，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的C(x)=200+50x+x

情况下，总税额最大？

解：设每件商品征收货物税为a,

企业获得利润L(x)=R(x)-C(x)-ax=100x-x2-（200+50x+x2）-ax=-2x2+(50-a)x-200

L'(x)=-4x+50-a

令L'(x)=-4x+50-a=0，则x=税收T=ax=

50-a

,此时L'(x)取得最大值 4

a（50-a）

4

1

(50-2a) 4

令T'=0,得：a=25 T'=

当a=25时，总税额最大。

2

18．证明：当1x+2x-3.

f(x)=4xlnx-(x2+2x-3)f'(x)=4lnx-2x+2

证：令f''(x)=

2(2-x)

x

因为f''(1)>0,所以在x=1处,f(x)取得最小值，即f(x)>f(1)所以f(x)>0成立，即4xlnx>x2+2x-3

山东大学网络教育专升本数学模拟题2

一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数f(x)=

19-x

2

的定义域是（ A ）

A．（-3，3） B．[-3，3 ] C．（-,） D．（0，3） 3，

ax3+b

2．已知lim=1，则（ B ）

x→0xtan2x

A．a=2,b=0 B．a=1,b=0 C．a=6,b=0 D．a=1,b=1 3．如果

⎰df(x)=⎰dg(x),则下述结论中不正确的是（ A ）.

d⎰f'(x)=d⎰g'(x)

''A．f(x)=g(x) B．f(x)=g(x)

C．df(x)=dg(x) D．

4． 曲线 y=x3+x-2 在点(1,0)处的切线方程是（ B ）

A．y=2(x-1) B．y=4(x-1) C．y=4x-1 D．y=3(x-1) 5．sinxcosxdx=（ A ） A．-

二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。

⎰

1111

cos2x+c B．cos2x+c C．-sin2x+c D．cos2x+c

4242

1x3-2x2+1

6．lim__________. =2x→∞4(x-1)(2x+1)

7．已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为π，则f'(

2)=8．设函数y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)确定，则y'

5

6. x=0

=1

2

9．设f(x)可导, y=f(ex), 则y'=_____exf(ex)_______.

10．已知x→0时，a(1-cosx)与xsinx是等级无穷小，则a= 11．不定积分⎰xcosxdx= xsinx+cosx+c .

）e . 12．设函数y=xe，则 y''= （2+x

3

13．y''+y'-y=0是___2____阶微分方程.

xx

三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。

14．求函数

f(x,y)=x2+xy+y2-3x-6y的极值（10分）

⎧x=0

⎨y=3⎩

⎧fx'(x,y)=2x+y-3=0

解：⎨

⎩fy'(x,y)=x+2y-6=0

''(x,y)=2,fxy''(x,y)=1,fyy''(x,y)=2，∆=3>0，所以在（0,3）处取得极小值f(0,3)=-9 fxx

15．求不定积分解：令：t=

⎰1dx

x

（15分）

x=t2,dx=2tdt，

⎰⎰

2t

dt=2[t-ln(1+t)]+C

1+t

2

⎧xe-x,x≥0⎪

16．设函数f(x)=⎨，计算 1

,-1

⎩1+cosx

解：令t=x-2,则x=t+2，dx=dt

2

2

⎰

4

1

f(x-2)dx.（15分）

⎰

4

1

2111

+⎰te-tdt=tan+(1-e-4) f(x-2)dx⎰f(t)dt=⎰=-11+cost22-10

四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。

17．求曲线y=

14

x-x3+1的凹凸区间和拐点. 2

解：解(1)y'=2x3-3x2 y''=6x2-6x (2)令y''=0 x=0, x=1

0）(3) x=0, x=1将定义域分成三个区间（-∞，，（0,1），（1，+∞）

在以上三个区间内讨论y''的符号变化及y的拐点情况，如表：

18．证明

1+xln（x++x2)>+x2 (x>0)

f(x)=1+xln（x+f'(x)=ln（x+证：令：

f''(x)=

>0

在x=0处取得极小值，即f(x)>f(0) 所以1+xln（x+

+x2)>+x2成立

山东大学网络教育专升本数学模拟题3

一、选择题：本大题5个小题，每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1．函数

f(x)=

5-x+lg(x-1)的定义域是（B ）

A．（0，5） B．（1，5］ C．（1，5） D．（1，+∞） 2． limA．

sinmx

(m,n为正整数）等于（ A ）

x→0sinnx

mnm-nmn-mn B． C．(-1) D．(-1)

nmnm

3．设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则f'(0)等于（ B ） A．0 B．-6 C．1 D．3

⎧2

,x≤1⎪

f(x)=⎨x2+1

⎪⎩ax+b,x>1在x=1处可导，则有（A ） 4．设函数

A．a=-1,b=2 B．a=1,b=0 C．a=-1,b=0 D．a=-1,b=-2 5．sin2xdx等于（ B ） A．

二、填空题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。把答案填在题中横线上。

⎰

11

sin2x+c B．sin2x+c C．-2cos2x+c D．cos2x+c

22

6．设

⎰

a

x2dx=9，则a= 3

x

为等价无穷小，则a=___4____. 2

7．当x→0时, 1-cos2x与asin2

22n2+n-1

8．lim 2n→∞

33n+n

9．

dx

⎰x1+ln2x=

arctanlnx+C

.

10．设f'(lnx)=1+x，则f(x)=11．

x+ex⎰

π

xcosxdx= -2

12．若直线y=5x+m是曲线y=x2+3x+2的一条切线，则常数m= 13．微分方程 y''-3y'+2y=0 的通解是

三、计算题：本大题分为3个小题，共40分。

y=c1ex+c2e2x .

nn

lim()14．求极限n→∞

n+2（10分）

n11nn

lim()=lim()=2=e-2

n→∞解：n→∞n+2 2e1+

n

15．计算不定积分

2

x-xdx（15分）

⎰

解：

⎰

1

=

2

⎰

12

=-1-x+C

3

2π

16．设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，若f(π)=2，[f(x)+f''(x)]sinxdx=5，求

⎰

f(0).（15分）

ππ

⎰f(x)sinxdx=-⎰f(x)dcosx

=-f(x)cosx

π

π

+⎰cosxdf(x）

π

解：=f（π）+f(0)+f'(x)cosxdx

⎰

=2+f(0)+f'(x)sinx

π

π

π

-⎰sinxdf'(x）

=2+f(0)-⎰f''(x)sinxdx

π

则0

=5⎰[f(x)+f''(x)]sinxdx=2+f(0）

所以f(0)=3

四、综合题与证明题：本大题共2个小题，每题 20分，共40分。 17．讨论函数

y=1-(x-2)

23

的单调性并求其极值。

1-2

令y'=-(x-2)3

解： 3

在x=0处导数不存在，

18．设f(x)在闭区间[1,2]连续,在开区间(1,2)可导,且f(2)=8f(1),证明在(1,2)内必存在一点ξ,使得3f(ξ)=ξf'(ξ) 证：设F(x)=xf(x)

因为f(x)在【0，1】上连续，在（0，1）内可导,故F（x）在【0，1】上连续，在（0，1）内可导

F(1)=f(1) F(2)=又因

-3

1

f(2) 8

f(2)=8f(1)

故F（1）=F（2）

由罗尔定理知，因此至少存在一点ξ，使得F'(ξ)=0 成立 即-3（fξ）+ξf'(ξ)=0 所以3f(ξ)=ξf'(ξ)