关于小学生数学素养评价的思考

关于小学生数学素养评价的思考

李晓梅

（辽宁省基础教育教研培训中心，辽宁 沈阳 110032）

摘要：借鉴PISA项目及TMSS项目这些国际数学测试的经验，依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本理念，通过课堂观察、作业考察、数学日记、口试、笔试、调查与操作等多种方式，综合评价小学生在知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等方面的基本数学素养。

关键词：小学生；数学素养；学习评价

关于什么是数学素养，到目前为止仍有不同的定义。“国际学生评价项目”（简称PISA），对数学素养的界定是：数学素养是个体作为一个有创新精神、关心他人及具有反思性公民所应具有的数学能力。 [1] 《数学教育评价》一书中对数学素养是这样定义的：数学素养是指在当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。[2] 第三次国际数学与科学研究即TMSS项目，针对数学素养的评价涉及三大内容：数学知识技能（包括数与数感、测量与单位、几何、比例、函数、方程、概率、统计、数据分析、证明等），数学行为与社会技能（包括日常方法的掌握、应用性问题的解决、数学思想、数学交流等），数学教学目标（包括传授合理的数学知识、传授基本的并服务于职业的知识、唤醒对数学的兴趣、传授适当的数学观念等）。

[3]尽管目前对数学素养的定义各不相同，评价的内容也各有所侧重，但均力求考察学生对数学知识与技能的掌握，数学思考及问题解决能力，对数学在现实生活中的作用的理解，运用数学做出决策的能力，在个人生活和未来社会中使用和渗透数学的能力等。无论是PISA项目，还是TMSS项目这些国际数学测试，均为我们依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称数学课程标准）的基本理念，对小学生的数学素养进行比较科学的评价给予了诸多启示。数学课程标准中明确指出：“评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生的学习结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立自信。” [4]为了按照课程标准的基本理念，比较全面地评价小学生的数学素养，借鉴国际数学测试的经验，经过探索与实践，发现可以通过课堂观察、作业考察、数学日记、口试、笔试、调查与操作等多种方式，综合评价小学生在知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等方面的基本数学素养。

一、通过课堂观察、作业考察评价小学生数学学习的情感与态度

心理学研究表明，个体的动机、情感、意志等对学生的数学学习有着很大的影响。同时有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生数学学习时产生的情感因素密切相关。因此，评价小学生在数学学习时的情感与态度显得尤为重要。那么，小学生对数学学习的情感与态度体现在哪些方面呢？具体而言主要包括以下八个方面：

（1）具有运用数学知识解决问题、交流观点和推理的信心。

（2）具有探索数学观念的灵活性，愿意尝试各种解决问题的方法。

（3）面对富有挑战的数学任务时有坚持不懈的愿望。

（4）对从事数学活动具有好奇心、探索欲望，并富有一定的创造性。

（5）具有调节和反思自己思维过程和行为的意识，对于不懂的地方或不同观点敢于提出质疑。

（6）形成实事求是的态度和独立思考的习惯。

（7）体会到数学在解决来自其他领域和日常生活中的问题的应用价值。

（8）欣赏数学在促进社会进步和文化中的作用以及作为工具和语言的价值。

[5]

对以上八方面的内容可以通过课堂观察及学生的数学作业考察加以评价。

1、课堂观察评价

课堂观察是一种科学的观察方法，作为一种研究方法，它不同于一般意义上的观察。它是指研究者或观察者带着明确的目的，凭借自身感官（如眼、耳等）及有关辅助工具（观察表、录音录像设备等），直接或间接（主要是直接）从课堂情境中收集资料，并依据资料作相应研究的一种科学研究方法。 [6] 通过课堂观察，教师在真实自然的课堂情境中，可以随时捕捉学生的学习态度、爱好、兴趣、参与数学学习活动的程度等。在课堂观察过程中，可以通过7个项目及19个因素比较全面地评价小学生对数学学习的情感、态度与价值观等方面的情况。具体可以通过课堂观察评价表进行评价。详见下表：

课堂观察评价表

课堂观察评价主要依据课堂观察评价表中的具体内容，可以采用定量评价的方式进行。

2、作业评价

作业是指教师给学生布置的功课。[7] 但在实施新课程的今天，作业不应该只是“教师给学生布置的功课” ，它应当肩负更多的“使命”。数学作业对于学生的数学学习有着十分重要的意义，其实学生做数学作业的过程是一个促进对学习内容“理解——内化”的过程；是一个“巩固——掌握”的过程，也是一个“拓展——应用”的过程，它能够及时反馈学生的数学学习信息，体现学生自主学习的意愿。从而通过小学生的数学作业能够了解学生在学习习惯、学习态度、学习状态等方面的情况。从教师的角度而言，数学作业可以划分为：准备类作业、训练类作业、应用类作业、拓展类作业等。从学生的角度而言，数学作业可划分为：自主型作业、探究型作业、合作型作业等。无论是哪种类型的数学作业都会直接影响学生学习数学的效果，因此在评价学生的数学作业时不能只是一句评语、一个等级、一个分数，而应努力挖掘隐藏在评价结果后面的改进学生学习、推动学习过程的真正意义。通过学生完成数学作业的情况，主要评价学生完成作业的态度是否认真，是否养成按时完成作业的习惯，是否正确地理解了学习内容，在学习的过程中是否体验到成功与快乐等。对小学生的数学作业评价应以激励为主，

可以采用定量评价与定性描述相结合的方式并以定性描述为主的方式进行。

二、通过口试、笔试评价小学生的数学知识与技能、数学思考、解决问题能力

在新一轮基础教育课程改革进行八年后的今天，我们已经深刻地认识到在评价小学生的数学学习时应科学地处理好知识与技能、数学思考、解决问题之间的关系。那么，应该如何处理三者之间的关系呢？那就是科学地进行口试与笔试，并克服传统纸笔测试的弊端。

1、口试评价

通过口试主要了解小学生在数学交流、数学思考及解决问题等方面的水平。了解小学生是否能够有条理地、清晰地阐述自己的观点；是否能够根据具体的情境从数学的角度提出问题、理解问题，并运用所学的知识与技能解决问题，同时表达与交流自己的思维过程，进而检验小学生数学交流、数学思考及解决问题的能力。

如有这样一道口试题目：有两个相同形状的蜂蜜盒，并装满了相同品牌的蜂蜜。第一盒装有蜂蜜450克，请你试着说一说应该怎样求第二盒装有多少克蜂蜜？蜂蜜盒的形状如下图所示：

12.5厘米

16厘米

通过上面的这道口试题，可以检验学生是怎样解决第二盒装有多少克蜂蜜这个问题的，是先求出每立方厘米能装多少克蜂蜜，还是先求出第二盒的体积是第一盒的几倍，再解决问题，或者是两种方法都能够掌握，从而考查学生解决问题的策略水平。同时，在学生叙述解决问题的思路的过程中考查了学生思考问题是否条理清楚、语言表达是否完整。这样的口试题相当于TMSS项目中的能力等级三的题目，需要把各种不同的运算结合起来。口试评价可以采用定性描述为主的方式进行。

2、笔试评价

关于纸笔测试中国已经积累了十分丰富的经验，仅“开科取士”“分科举人”的科举制度就已经有一千三百年的历史。但传统的纸笔测试尽管有其可取之处但也有诸多弊端。为克服我国目前在小学数学纸笔测试中偏重知识与技能及计算技能内容过多的弊端，应充分借鉴PISA项目与TMSS项目的经验。

PISA项目从认知的角度将数学素养分为三个层次：再现；联系；反思。再现水平要求学生利用已经学习过的知识再现标准的定义，进行一些常规的计算，按照常规的运算程序，解决常规的问题。联系水平要求学生能够建立数学模型，将常规的数学问题进行转化和解释，能利用多种方法解决问题。反思水平要求学生能够提出和解决比较复杂的数学问题，能对问题进行深层次的理解和反思，能用独特的数学方法去解决。在解决问题中能够使用多种复杂的方法，能对问题进行概括、一般化。 [8]

TMSS项目根据下图所示的框架性方案设计试题： 数学知识领域数学预期的数学行为

——日常方法的掌握

——应用性问题的解决

——数学思想

——数学交流——数与数感——测量与单位——几何——比例

——函数、关系与方程

——数据分析、概率与统计

——证明

基本教学目标

——传授合理的数学知识

——传授基本的、服务于职业的知识

——唤醒对数学的兴趣

——传授适当的数学观念

在TMSS项目测试中，学生的数学素养将通过不同难度的数学试题加以评判，在评判过程中学生数学能力被分为4个等级。[9]

受PISA项目与TMSS项目的启发，为了通过纸笔测试比较全面地评价小学生的数学素养，对小学1——6年级学生的测试，可以按照表1和表2所示的数学素养分布以及各种类型问题所占的比例进行题目设计。

表1

按照上表所示的数学素养分布以及各种类型的问题所占的比例进行题目设计，既考虑了各个领域内容的分布情况，又考虑了知识与技能、数学思考、解决问题的均衡性。这样就有效地避免了在过去纸笔测试中的过度重视知识与技能及数与代数内容考核的现象。另外，在进行题目设计时，要注意其趣味性、情境性、探索性、开放性及应用性。

（1）趣味性指题目要符合小学生的年龄特征，使小学生在完成题目的过程中感到愉快、有意思，并且题目要具有吸引力。如下面这道题：

像这样的题目图文并茂、活泼有趣，它给枯燥、单调的数学赋予了生机与活力，同时能够激起小学生解决问题的欲望。

（2）情境性指题目要为学生创设一个问题情境，问题情境既可以是现实生活中的情境，也可以是数学自身的情境。解答这类问题不能仅仅依靠模仿与记忆，它需要学生对问题情境进行观察、理解、分析，并且做出正确的判断。

如：欢欢在玩滑梯，她先后滑了3次，而且一次比一次选择的滑梯坡度大（滑梯与地面夹角大的则坡度大）。下图中哪个能正确地表示她在玩滑梯的过程中离地面的高度与时间之间的关系？

时间

时间

时间

上面的这道题要评价的是学生对“看图找关系”这部分内容的掌握情况。题中“玩滑梯”这个主题来自于学生真实的生活情境，题目的目的不只是考查学生已经掌握多少解决此题要用到的知识，而是考查学生在具体的情境中如何运用知识解决问题，能够较好地考查学生解决问题的能力。设计“以实际生活的情境为问题的主题”的题目也是PISA项目的主要特点之一。

（3）探索性是指题目要能给予学生猜想、尝试、寻找规律或模式的思考空间。学生需要依据已有的知识和经验多方寻找答案，解决问题。这类问题类似于TMSS项目中的能力等级三的题目，需要普通水平上的数学建模。

如：各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下面图与数的关系，画出54上面对应的图形。

（35） （45） （53） （54）

上面的这个问题，学生首先需要根据前三幅图的特点找出规律，再根据规律画出第四幅图。像这样的问题主要考查的是学生的数学思考能力。

（4）开放性指题目具有比较广阔的思维空间，思考角度多元、答案不唯一。题目不仅需要学生从不同的角度去探索，而且需要学生结合生活实际并运用已有的经验解决问题。不同的学生可以从不同的角度思考问题，获得各种水平的答案，有利于测试和评价学生不同的思维层次。设计适度且适量的具有开放性的问题，不仅符合课程标准的基本理念，同时也是国际乃至国内试题改革的基本趋势。

如：明明走一步的平均距离是0.64米。照这样的步子，他从家走到学校走了550步。已知明明家、学校和少年宫在同一条笔直的马路上，他从家到学校与从学校到少年宫相差250步。明明从家直接去少年宫要走多少米？

这是一个开放性较强的问题。虽然明明家、学校和少年宫在同一条笔直的马路上，但由于没有说明这三处的具体位置，所以可以有学校在家与少年宫之间、家在学校与少年宫之间和少年宫在家与学校之间三种情况。另外，他从家到学校与从学校到少年宫相差250步，也可以理解为两种情况，从学校到少年宫比从家走到学校多走了250步和从学校到少年宫比从家走到学校少走了250步。像这样的开放性问题，不仅可以激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生的创新能力和有序、系统思考问题的能力。在PISA项目中有25﹪～35﹪的测试时间用于开放式建构性题型，这一题型更适合于考察学生反思层次的能力。

（5）应用性指突出数学在现实生活中的作用，通过让学生解决实际生活中的相关问题，培养学生学会从数学的角度提出问题、

分析问题和解决问题的能力，

从而考察学生解决问题的能力。这类问题类似于PISA项目中的“联系”“反思”层次的题目。

如：《经典红歌》唱响了大江南北。在今年我校举办

的红歌会中，师生演员阵容强大。右下图是低、中、

高年段1～6年级学生参加红歌会表演的演员人数统

计图，根据信息回答：

① 图中一个单位长度表示（ ）人。

②请算出各年级平均有多少名学生演员。

③请提出一个自己感兴趣的问题并解答。 36 46 62 上面这道题需要综合运用统计与求平均数的知识才能有效地解决问题，并且需要学生根据已有的知识与经验自主提出问题、分析问题并解决问题。像这样的题目，能够较好地评价学生是否具有了运用已有的知识与经验解决数学问题的能力。

三、通过数学日记、调查操作评价小学生的数学交流、数学思考以及解决问题能力

1、数学日记评价

[10]日记是每天所遇到的和所做的事情的记录，有的兼记对这些事情的感受。

通过数学日记，学生不仅可以对所学的数学内容进行总结，写出自己的情感、态度、困难之处或感兴趣之处，也可以描述如何运用已有的数学知识和经验解决生活中的实际问题，还可以评价自己的能力或反思自己问题解决的策略等。

如一名小学生写了一篇“豆子能‘喝’多少水”的数学日记：

妈妈每天早上都给我做美味的豆浆喝，所以她要在前一天把豆子泡在水里，这样，豆子在第二天就膨大起来。我一直很好奇，豆子泡在水里一夜后，“喝”了多少水呢？在学了“求不规则物体的体积”后，我决定算一算。我用老师教给我的办法，求得平均一粒干豆子的体积约为0.25立方厘米。我把豆子泡了一天，水少了，豆子大了。我算出平均一粒“喝”过水的豆子的体积约为1立方厘米。两者相减，可知道一粒豆子大约“喝”了0.75立方厘米的水。想不到豆子有如此大的能耐，能“喝”这么多水！

除此之外有无别的方法吗？我整日苦苦思索着，喝豆浆的日子持续着。一天晚上，我把100粒豆子倒进一个装有水的杯子里，刚好装满。我灵机一动，想出了一个好办法。我连忙把豆子取出，计算出水的体积，大约是135立方厘米。然后我又把豆子放进去。第二天，我把剩下的水倒出，求得水的体积为35立方厘米。因为昨天我放进去的刚好是100粒豆子，所以我用原来水的体积135立方厘米减去剩下的水的体积35立方厘米再减去100粒干豆子的体积25立方厘米，刚好为75立方厘米。那么，平均每粒豆子“喝”的水为75÷100=0.75（立方厘米）。

嘿嘿，真高兴！我又掌握了一种能算出豆子“喝”了多少水的方法。

这篇数学日记，不仅记叙了如何运用 “求不规则物体的体积”的方法计算一粒豆子“能喝”多少水的过程，还创造性地运用另一种方法有效地解决了问题。由此可见，通过对小学生数学日记的评价，不仅能够考察小学生的数学交流能力，还能够考察其数学思考能力及解决问题的能力。对数学日记的评价主要关注三个方面：数学日记的内容是否得当、数学语言是否规范；数学思考是否有一定的深度；是否联系实际解决生活中的问题等。

2、调查操作评价

调查操作评价有助于实现数学课程标准中“使学生具有初步的创新精神和实践能力”的目标，有助于加强学生对数学内部的整体把握以及促进学生加强与外部世界的联系。

（1）调查评价

调查是指为了了解情况进行考察（多指到现场）。[11] 通过小学生开展的与数学密切相关的调查活动，让学生经历提出问题、收集和处理信息（数据）、做出决策和推断的过程，进而提高小学生的实践能力。调查活动一般以小组活动的方式进行，一个学期开展1——2次即可，第一学段的学生可以开展相应的实践活动，第二学段的学生可以开展相应的综合应用活动。

如：在《乘车的学问》调查活动中学生制订出如下的调查方案并很好地实施了方案：

１、在学校附近找到相应公共汽车站站牌若干个；

２、分组记录站牌的内容；

３、分析、比较、归纳站牌特点；

４、研究，看懂站牌；

５、访问指导人员以确定研究结论的正确性；

６、和家长乘不同线路的公共汽车验证结论；

7、和全班同学玩“乘车”游戏，找到其中的数学问题（乘车方向、乘车的站数等）；

8、推广数学结论。

上面的这个调查活动，学生首先选择了一个具有可行性的能够开展调查活动的主题——乘车的学问，并且根据实际情况在全班讨论与教师指导的基础上，设计出比较合理的调查方案，在实施方案的过程中，不仅运用了已有的关于“位置与方向”“数量”等的相关知识，还有效地锻炼了学生的交流能力、表达能力及概括能力等。由此可见，调查评价能够评价小学生是否选择了合适的主题，调查方案设计是否合理，得出的结论是否符合实际等，总之，能够较好地评价小学生的实践能力。

（2）操作评价

操作是指按照一定的程序和技术要求进行活动。[12] 小学生进行的数学操作活动，主要是紧密结合小学数学教材的内容，通过操作考察学生对数学基本概念、公式、法则的理解与掌握情况。

如：“请小朋友用自己喜欢的方法（既可以画图也可以摆图片）表示出3的2倍是多少？12是4的几倍？” 这个操作活动考察的是学生对“倍”这个概念的理解，既考查学生对一个数的几倍是多少的理解，又考查学生对求一个数是另一个数的几倍是多少的理解。再如：“请用画图的方法表示应怎样计算4/5×1/3，同时说明计算4/5×1/3的方法。”“请演示圆的面积公式的推导过程。”这两个操作活动考察的是学生对分数乘分数的计算方法及圆的面积公式的推导过程的掌握程度，也正是数学课程标准中所倡导的对学习过程的评价。

通过以上多种方式的评价，不仅能够恰当地评价小学生的数学基础知识和基本技能，又注重了小学生数学学习的过程，还重视了小学生发现问题、分析问题、解决问题的能力的评价。总之，通过定性描述与定量分析相结合的方式，能够比较全面地评价小学生在知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等方面的基本数学素养，同时，这种评价方式具有较强的可操作性，但由于实际运用的时间比较短，此评价方式还有待于在实践的过程中不断加以完善。

注释：

[1]綦春霞.人民教育.北京:中国教育报刊社.2009年第12期.37，38.

[2]马云鹏，张春莉.数学教育评价.北京: 高等教育出版社.2003. 199.

[3]徐斌艳.数学课程与教学论.杭州: 浙江教育出版社.2003. 190.

[4]中华人民共和国教育部.北京:北京师范大学出版社.2001.2.

[5] 马云鹏，张春莉.数学教育评价.北京: 高等教育出版社.2003.

[6]陈瑶.课堂观察指导.北京:教育科学出版社.2002.2.

[7] 中国社会科学研究院语言研究所.现代汉语词典.北京: 商务印书馆.1989.1554.

[8] 綦春霞.人民教育.北京:中国教育报刊社.2009年第12期. 38-40.

[9]徐斌艳.数学课程与教学论.杭州: 浙江教育出版社.2003. 190，191.

[10]中国社会科学研究院语言研究所.现代汉语词典.北京: 商务印书馆.1989.966.

[11]中国社会科学研究院语言研究所.现代汉语词典.北京: 商务印书馆.1989.248.

[12]中国社会科学研究院语言研究所.现代汉语词典.北京: 商务印书馆.1989.106.