3.2洛必达法则

1．用洛必达法则求下列极限：

sinax

；

x0sinbx

【解】这是“”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解：

0sinaxacosax

---- 应用洛必达法则 limlim

x0sinbxx0bcosbx

acos0a1a

。 ---- 代值计算 

bcos0b1b

xsinx⑵lim； 3x0x

【解】这是“”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解：

0xsinx1cosx

---- 应用洛必达法则 limlim

x0x0x33x2

sinx

---- 对未定型商式再应用洛必达法则 lim

x06x

⑴lim

sinfx()1

 11 ---- 套用极限公式 lim

f(x)0f(x)6



1

6

x33x2

⑶lim3； x1xx2x1

【解】这是“

”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解： 0

x33x23x23lim3lim2 ---- 应用洛必达法则 x1xx2x1x13x2x1

lim

6x

---- 对未定型商式再应用洛必达法则

x16x263 ---- 代值计算 622

⑷lim

x



2

tanx

； tan3x

【解】这是“



”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解： 

1

tanx2 ---- 应用洛必达法则 limlimxtan3xx22

cos23x

cos23xlim ---- 整理繁分式

3cos2xx

2

lim

x



2

2cos3x(sin3x)3

---- 对未定型商式再应用洛必达法则

32cosx(sinx)

sin6x

---- 化简复杂分式 sin2x

6cos6x

---- 对未定型商式再应用洛必达法则

2cos2x

lim

x



2

lim

x



2



3cos3

---- 代值计算

cos

3

2

⑸lim； x【解】这是“



”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解：



12lnx2

---- 应用洛必达法则

limlimxx

lim

---- 化简繁分式

x1

lim ---- 对未定型商式再应用洛必达法则

x4lim

x ---- 化简繁分式 0

ln(x)

； ⑹lim

tanxx

2



【解】这是“



”未定型商式极限，可以应用洛必达法则求解： 

1

ln(x)x

---- 应用洛必达法则 limlim

tanxxx22

cos2x

lim

x

cos2xx



2

---- 化简繁分式

2

lim

x



2

2cosx(sinx)

---- 对未定型商式再应用洛必达法则

1

2cos

⑺limxe

x0

12x2



2

sin



2

0 ---- 代入计算

；

【解】这是“0”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

1

1

limxe

x0

2x2

ex

---- 化为商式后，成为“”未定型商式极限 limx01

2x

2

1)'2

---- 应用洛必达法则 lim

x0(2)'x

ex(

2

1

1

limex ---- 化简繁分式

1x2

2

 ---- 代入计算

⑻limxcotx；

x0

【解】这是“0”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

limxcotxlim

x0

x

---- 化为商式后，成为“”未定型商式极限

x0tanx

1

---- 应用洛必达法则 lim

x0cos2xlimcos2x ---- 化简繁分式

x0

cos201 ---- 代入计算

⑼lim(secxtanx)；

x



2

【解】这是“”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

lim(secxtanx)lim(

x



2

x

2

1sinx

) ---- 为通分化为商式作准备 cosxcosx

lim

2

1sinx0

---- 成为“”未定型商式极限

cosx0x

cosx

---- 应用洛必达法则

sinx

lim

x



2

cossin

⑽lim(

x1

0 ---- 代入计算

2

x1)； x1lnx

【解】这是“”未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解：

lim(

x1

xlnx(x1)0x1

---- 通分化为商式，成为“”未定型 )lim

x1(x1)lnx0x1lnx

lnx11

---- 应用洛必达法则

x1x1lnx

x

0xlnx

---- 化简繁分式，成为“”未定型 lim

x1xlnxx10

lnx1

---- 应用洛必达法则 lim

x1lnx11011 ---- 代入计算 022lim

tanxx⑾lim； 

x0

【解】这是“0”幂指函数未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解： 【解法一】应用对数法，令yx

tanx

，则lnylnx

tanx

tanxlnx

lnx

， cotx

于是，limlnylim

x0

lnx

---- 成为“”未定型

x0cotx

1 ---- 应用洛必达法则 lim

x02sinx

sin2x0

---- 化简繁分式，成为“”未定型 lim

x0x0

lim

x0

2sinxcosx

---- 应用洛必达法则

1

2sin0cos00 ---- 代入计算

lyn得到 lim

x0

x0

0lnlimy0， ，亦即

x0x0

ye0，亦即1limxtanx1。 从而有 lim

【解法二】应用指数法，利用公式Na

lnx

limxtanxlime

x0

1

sinx

tanx

logaN

，得

lnxcotx

x0

limetanxlnxlime

x0

x0

e

lnx

x0cotxlim

e

x0

lim

---- 应用洛必达法则

e

sin2xx0xlim

---- 化简繁分式，成为“

”未定型 0

e

2sinxcosx

1x0lim

---- 应用洛必达法则

e01 ---- 代入计算

⑿limx；

x

1

x

【解】这是“”幂指函数未定型极限，应化为商式极限后应用洛必达法则求解： 【解法一】应用对数法，令yx，则lnylnx

于是，limlnylim

x

1x1x

lnx

， x

lnx

---- 成为“”未定型

xx

1

lim ---- 应用洛必达法则 x1

0 ---- 代入计算

n，亦即0lnlimy0，于是得limye01， 得到 limly

x

x

x

亦即limx1。

x

1x

【解法二】应用指数法，利用公式Na

logaN

，得

1x

1

x

limxlime

x

lnxx

lime

x

lnxx

e

x

lim

lnxx

---- 成为“



”未定型 

e

1limx1

---- 应用洛必达法则

e01 ---- 代入计算

⒀lim(1sinx)；

x0



1f(x)

1x

【解法一】这是“1”幂指函数未定型极限，可考虑套用公式lim[1f(x)]

f(x)0

e求解：

lim(1sinx)lim(1sinx)

x0

x0

1

x1sinxsinxx

lim[(1sinx)

x0

1sinxsinxx

]

e1e。

【解法二】应用对数法，化为商式极限后应用洛必达法则求解：

令y(1sinx)，则lnyln(1sinx)于是，limlnylim

x0

1

x1x

ln(1sinx)

，

x

0ln(1sinx)

---- 成为“”未定型

x00x

cosx

lim ---- 应用洛必达法则 x01cos01 ---- 代入计算 1sin0

x0

x0

n，亦即1lnlimy1，于是得limye1e， 得到 limly

x0

亦即lim(1sinx)e。

x0

1

x

【解法三】应用指数法，利用公式Na

logaN

，得

ln(1sinx)

x

lim(1sinx)lime

x0

x0

1x

1

ln(1sinx)x

lime

x0

e

x0

lim

ln(1sinx)

x

---- 成为“

”未定型 0

e

cosxlim1sinxx01

---- 应用洛必达法则

e

cos01sin0

e1e ---- 代入计算

x1x

⒁limx

x1



1f(x)

【解法一】这是“1”幂指函数未定型极限，可考虑套用公式lim[1f(x)]

f(x)0

e求解：

limx

x1

x

1x

lim[1(x1)]

x10

1

(x)x1

lim{[1(x1)]}e1。

x10

1

x1x

【解法二】应用对数法，化为商式极限后应用洛必达法则求解：

令yx

x1x

，则lnylnx

x1x



xlnx

， 1x

于是，limlnylim

x1

0xlnx

---- 成为“”未定型

x11x0

lnx1

---- 应用洛必达法则 lim

x11

1 ---- 代入计算

n，亦即1lnlimy1，于是得limye1， 得到 limly

x1

x1

x1

亦即limx

x1

x

1x

e1。

logaN

【解法三】应用指数法，利用公式Na

，得

limxlnxx11x

limx

x1

x1x

lime

x1

x1lnxx

lime

x1lnx1

1

xlnx1x

e

---- 成为“

”未定型 0

e

lim

x1

---- 应用洛必达法则

e

1；

011

e1 ---- 代入计算

2．验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出：

x2sin

⑴lim

x0

sinx

【解】应用古典极限方法，将极限函数分解为：

1

limx(xsin1)， lim

x0sinxx0sinxxx

其中，lim1，

x0sinx

x2sin

而当x0时，x是无穷小，sin

11

是有界函数，从而limxsin0，

x0xx

1

limx(xsin1)100， 使得lim

x0sinxx0sinxx1x2sin

极限存在。 可知lim

x0sinx

但是，虽然极限属于“”型未定极限，却不能用洛必达法则求出结果。原因是应

1

用洛必达法则后，分子中出现当x0时极限不存在的函数cos：

x

1111x2sin2xsinx2cos2

应用洛必达法则 lim lim

x0sinxx0cosx

112xsincos

极限不存在。 化简整理 lim

x0cosx

xsinx⑵lim。 xx

x2sin

【解】应用古典极限方法，将极限函数变形为：

xsinx11

lim(1sinx)1limsinx，

xxxxxx

1

当x时，是无穷小，sinx是有界函数，

xxsinx1

从而lim1limsinx101，

xxxx

xsinx

可知lim极限存在。

xx



但是，虽然极限属于“”型未定极限，却不能用洛必达法则求出结果。原因是应

lim

用洛必达法则后，分子中出现当x时极限不存在的函数cosx：

lim

xsinx1cosx

应用洛必达法则 lim极限不存在。

xxx1

3．设f(x)在x0处二阶可导，且f(0)0，试确定a的值使g(x)在x0处可导，并求

f(x)

, x0

g'(0)，其中g(x)x。

a, x0

【解】题设f(x)在x0处二阶可导，当然f'(0)存在，

于是由于f(0)0得到f'(0)lim

x0

f(x)f(0)f(x)

，----① lim

x0x0x

要使g(x)在x0处可导，必须使g(x)在x0处连续，

亦即使limg(x)g(0)，而已知g(0)a，

x0

即应有limg(x)lim

x0

x0

f(x)

a， x

于是由①式知，有af'(0)。

f(x)

f'(0)

g(x)g(0)f(x)xf'(0)

这时，g'(0)lim， limlim2x0x0x0x0xx0

f(x)xf'(0)0

由于g'(0)存在，知lim为“”未定型极限，应用洛必达法则，得 2x00x

f(x)xf'(0)f'(x)f'(0)

， limlim2x0x0x2x

f'(x)f'(0)0

仍由于g'(0)存在，知lim为“”未定型极限，再次应用洛必达法则，

x002xf'(x)f'(0)f''(x)f''(0)

得 lim， lim

x0x022x2f''(0)

即得 g'(0。 )

2