精品反比例函数培优讲解(含答案)
反比例函数专题综合讲解(解答题)
1．（2010 四川成都）如图，已知反比例函数y =
k
与一次函数y =x +b 的图象在第一象限相交于点x
A (1,-k +4) ．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．
【答案】解：（1）∵已知反比例函数y = ∴-k +4=
k
经过点A (1,-k +4) ， x
k
，即-k +4=k ∴k =2 ∴A(1，2) 1
∵一次函数y =x +b 的图象经过点A(1，2) ， ∴2=1+b ∴b =1 ∴反比例函数的表达式为y =
2， x
一次函数的表达式为y =x +1。
⎧y =x +1⎪2
（2）由⎨2消去y ，得x +x -2=0。即(x +2)(x -1) =0, ∴x =-2或x =1。
y =⎪x ⎩
∴y =-1或y =2。 ∴⎨
⎧x =-2⎧x =1
或⎨ ∵点B 在第三象限，∴点B 的坐标为(-2，-1) 。
⎩y =-1⎩y =2
m
的图象的x
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是x
(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC的面积； (3)求不等式kx+b-【答案】
m
3．（2010 浙江义乌）如图，一次函数y =kx +2的图象与反比例函数y =
m
的图象交于点P ，点P 在第一象x
限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ， 且S △PBD =4，OC =1．
OA
2
（1）求点D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x >0时，一次函数的值大于反比例 函数的值的x 的取值范围.
【答案】解：（1）在y =kx +2中，令x =0得y =2 ∴点D 的坐标为（0，2） （2）∵ AP ∥OD ∴Rt △P AC ∽ Rt △DOC
OC 1OD OC 1∵ = ∴== ∴AP =6
OA 2AP AC 3
又∵BD =6-2=4 ∴由S △PBD =4可得BP =2 ∴P (2，6) 把P (2，6) 分别代入y =kx +2与y =
m
可得 x
一次函数解析式为：y =2x +2
12
反比例函数解析式为：y =
x
（3）由图可得x ＞2 4．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润
为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
【答案】⑴①当1≤x ≤5时，设y =得k =200，即y =
k
，把（1，200）代入，x
200
；②当x =5时，y =40，所以当x
x ＞5时，y =40+20(x -5) =20x -60；
⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于y =
5．（2010 山东）如图, 已知直线y =
（1）求k 的值；
200
，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月． x
1k
x 与双曲线y =(k >0) 交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4. 2x
（2）若双曲线y =
k
(k >0) 上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； x
k
(k >0) 于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线y =
x
Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
【答案】(1）∵点A 横坐标为4 ， ∴当 x = 4时，y = 2
∴ 点A 的坐标为（4，2 ） …………2’ ∵点A 是直线y =
12x 与双曲线y =8
x
（k>0）的交点， ∴ k = 4×2 = 8 ………….3’ (2)解法一：∵ 点C 在双曲线上，
y = 8时，x = 1 ∴ 点C 的坐标为（1，8）………..4’ 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 S △AOC = S矩形ONDM －S △ONC －S △CDA －S △OAM = 32－4－9－4 =
15 ………..6’
解法二：
过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线y =
8
x
上，当y = 8时，x = 1。 ∴ 点C 的坐标为（1，8） ∵ 点C 、A 都在双曲线y =
8
x
上， ∴ S △COE = S△AOF = 4 ∴ S △COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF . ∴ S △COA = S梯形CEFA ∵ S 梯形CEFA =
1
2
×（2+8）×3 = 15， ∴ S △COA = 15
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形 ， ∴ OP =OQ ，OA =OB
∴ 四边形APBQ 是平行四边形 ∴ S 1△4S 1
POA =
平行四边形APBQ =4
×24 = 6 设点P 的横坐标为m （m > 0且m ≠4）， 得P （m ，
8
m
） …………..7’
过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S△AOF = 4 若0＜m ＜4，
∵ S △POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF ， ∴ S 梯形PEFA = S△POA = 6 ∴
18
(2+) ⋅(4-m ) =62m
解得m = 2，m = － 8（舍去） ∴ P （2，4） 若 m ＞ 4，
∵ S △AOF + S梯形AFEP = S△AOP + S△POE ，∴ S 梯形PEFA = S△POA = 6 ∴
18
(2+) ⋅(m -4) =6，解得m = 8，m =－2 （舍去）∴ P （8，1） 2m
∴ 点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）………….9’
6．（2010 河北）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．
（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；
（2）若反比例函数y =
m
（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是x
m
（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接写出m 的取值范围． ．．x
否在该函数的图象上； （3）若反比例函数y =
【答案】解：（1）设直线DE 的解析式为y =kx +b ，
⎧3=b ,
∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ⎨
0=6k +b . ⎩
1⎧
⎪k =-, 1解得 ⎨ ∴ y =-x +3 22⎪⎩b =3.
∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴ 点M 的纵
11
坐标为2．又 ∵ 点M 在直线y =-x +3上，∴ 2 = -x +3．∴ x = 2．∴ M （2，2）．
22
m 4
（2）∵y =（x ＞0）经过点M （2，2），∴ m =4．∴y =.
x x
又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4． 1
∵ 点N 在直线y =-x +3上， ∴ y =1．∴ N （4，1）．
2
∵ 当x =4时，y =
44
= 1，∴点N 在函数 y = 的图象上．
x x
（3
）4≤ m ≤8． 7．（2010 山东省德州） ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为
E ，F ． ①若A (-1，0) ， B (3，0) ，则E 点坐标为__________；
第22题图1 ②若C (-2，2) ， D (-2，-1) ，则F 点坐标为__________；
(2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d ) ，求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示），并给出求解过程．
●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d ) ， AB 中点为D (x ，y ) 时，x =_________，y =___________．（不必证明）
●运用 在图2中，一次函数y =x -2与反比例函数y =①求出交点A ，B 的坐标；
②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P 的坐标．
【答案】解： (1)①(1，0) ；②(-2，
A
y =
x -2
第22题图3
3
的图象交点为A ，B ． x
y = y x
B
1
) ； 2
(2)过点A ，D ，B 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为A '，D '，B ' ，则
A A '∥B B '∥C C '．
∵D 为AB 中点，由平行线分线段成比例定理得A 'D '=D 'B '．
c -a a +c a +c
=．即D 点的横坐标是 222
b +d a +c b +d
同理可得D 点的纵坐标是．∴AB 中点D 的坐标为(，) ．
222
a +c b +d 归纳：，．
22
∴O D '=a +
⎧y =x -2，
⎧x =3，⎧x =-1，⎪
运用：①由题意得⎨解得⎨或⎨．∴即交点的坐标为A (-1，-3) ，3. . . y =⎩y =1⎩y =-3⎪x ⎩
B (3，1) ．
②以AB 为对角线时，由上面的结论知AB 中点M 的坐标为(1，-1) ．∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM =OP ，即M 为OP 的中点．∴P 点坐标为(2，-2) ．同理可得分别以OA ，OB 为对角线时，点P 坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．∴满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．
8．（2010湖北荆州）已知：关于x 的一元二次方程x +(2k -1)x +k =0的两根x 1, x 2满足x 1-x 2=0，
2
2
2
2
双曲线y =
4k
(x＞0) 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C （如x
图），求S △OBC ．
【答案】解： x +(2k -1)x +k =0有两根 ∴ ∆=(2k -1)-4k 2≥0 即
2
2
2
k ≤
1
4
由x 1-x 2=0得：(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0
2
2
1
，不合题意，舍去 2
12
当x 1-x 2=0时，x 1=x 2，∆=(2k -1)-4k 2=0 解得：k =
4
1
符合题意 ∴双曲线的解析式为：y =
x 11
过D 作DE ⊥OA 于E ， 则S ∆ODE =S ∆OCA =⨯1= ∵DE ⊥OA ，BA ⊥OA
22
当x 1+x 2=0时，-(2k -1)=0 解得 k =
S 1⎛OB ⎫
∴DE ∥AB ∴△ODE ∽△OBA ∴∆OBA = ⎪=4 ∴S ∆OBA =4⨯=2
2S ∆ODE ⎝OD ⎭
13
= 22
k
9．（2010北京）已知反比例函数y = 的图像经过点A
1）
x
∴S ∆OBC =S ∆OBA -S ∆OCA =2-
（1）试确定此反比例函数的解析式．
（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在反比例函数的图
像上，并说明理由．
（3）已知点P （m
+6）也在此反比例函数的图像上（其中m ＜0），过p 点作x 轴的的垂线，交x
轴于点M ，若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是的值．
【答案】解：（1）由题意德
2
12
，设Q 点的纵坐标为n ，求n －
+92
解得 k =
∴ 反比例函数的解析式为y
= （2）过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，在Rt△AOC 中，OC
AC =1
可得OA
，∠AOC =30° 由题意，∠AOC =30°，OB =OA =2， ∴∠BOC =60°
过点B 做x 轴的垂线交x 轴于点D ，在Rt△BOD 中，可得， BD
OD =1
∴ 点B 坐标（－1
将x =－1代入y
= y
B （－1
y
= （3）由y
= 得xy =
∵ 点P （m
+6）在反比例函数的y
= m ＜0 2
∴ m
+6 ）=
∴m ++1=0 ∵PQ ⊥x轴 ∴Q 点的坐标（m ，n ）
∵ △OQM 的面积为
2
111
∴OM . QM = ∵ m ＜0 ∴ m . n =－1
∴m 2n 2+2+n 2=0
222
2
∴n -=-1
∴n ++9=8． 10．（2010河南）如图，直线y=k 1x +b与反比例函数y=（1）求k 1、k 2的值； (2)直接写出k 1x +6一
k 2
等(x >0)的图象交于A(1,6)，B(a,3)两点. x
k 2
>0时的取值范围； x
(3)如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD,OB=CD，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于E ，CE 和反比例函数的图象交于点P. 当梯形OBCD 的面积为l2时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）由题意知 k 2 = 1×6 = 6 ∴反比例函数的解析式为 y = 又B （a ，3）在y =
6
. x
6
的图象上，∴a = 2 ∴B （2,3）. x
∵ 直线y = k 1x + b 过A （1,6），B （2,3）两点，
⎧k 1+b =6, ⎧k 1=-3, ∴⎨ ∴⎨
2k +b =3. b =9. ⎩⎩1
（2）x 的取值范围为1
（3）当S 梯形OBCD = 12时，PC = PE 设点P 的坐标为（m ，n ），∵BC ∥OD ，CE ⊥OD ，BO = CD ，B （2,3）.
∴C （m ，3），CE = 3，BC = m – 2，OD = m +2.
BC +OD m -2+m +2
⨯CE , 即12 =⨯3 22
31
∴m = 4 .又mn = 6 ，∴n = . 即PE = CE . ∴PC = PE.
22
∴当S 梯形OBCD =
11. （2010年福建省泉州））我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形. 你 可以利用这一结论解决问题. 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α度角后的图形. 若它与反比例函数y =
3
的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点A (-m , 0) 、x
C (m , 0) .
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD 的形状一定是 ;（2）①当点B 为(p , 1) 时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α、和m 有值；
②观察猜想：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有几个？(不必说理) （3）试探究：四边形ABCD 能不能是菱形？若能, 直接写出B 点的坐标, 若不能, 说明理由
.
【答案】解：（1）平行四边形 （2）①∵点B (p , 1) 在y =
„„„„（3分）
33
的图象上，∴1= x p
∴p =„„„„„„„„„„„„（4分） 过B 作BE ⊥x 轴于E ，则OE =，BE=1
在Rt ∆BOE 中，tan α=α=30°
BE 13
==
OE 3„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分） ∴OB =2
又∵点B 、D 是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点
B 、D
关于原点
O
成中心对称
„„„„„„„„„„„„„„„（6分） ∴OB=OD=2
∵四边形ABCD 为矩形，且A (-m , 0) C (m , 0)
∴OA =OB =OC =OD =2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7分） ∴m =2；
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（8分）
②能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有2个； „„„„„„„„„„„„（9分） （3）四边形ABCD 不能是菱形.
„„„„„„„„„„„„„„„„„（10分）
法一：∵点A 、C 的坐标分别为(-m , 0) 、(m , 0) ∴四边形ABCD 的对角线AC 在x 轴上. 又∵点B 、D 分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC 与BD 不可能垂直. ∴四边形ABCD 不能是菱形 法二：若四边形ABCD 为菱形，则对角线AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分，
因为点A 、C 的坐标分别为（-m ，0）、（m ，0）所以点A 、C 关于原点O 对称，且AC 在x 轴上. „„（11分） 所以BD 应在y 轴上，这与“点B 、D 分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD 不可能为菱形. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）
12．（2010湖北十堰）（本小题满分8分）如图所示，直线AB 与反比例函数图像相交于A ，B 两点，已知A （1，4）.
（1）求反比例函数的解析式； 15
（2）连结OA ，OB ，当△AOB 的面积为 时，求直线AB 的解析式
.
2
k
y= ，
x ∵点A （
1，4）在反比例函数的图象上 ∴4=∴反比例函数的解析式为y =
k
1
4. x
（2）设直线AB 的解析式为y =ax +b （a >0，b >0），则当x =1时，a +b =4即b =4－a .
4⎧
⎪y =22
联立⎨x ，得ax +bx －4=0，即ax +（4－a ）x －4=0，
⎪⎩y =ax +b
方法1：（x －1）（ax +4）= 0，解得x 1=1或x =－
4
， a
设直线AB 交y 轴于点C ，则C （0，b ），即C （0，4－a ）
(4-a ) ⨯1+ (4-a ) ⨯由S △AOB =S△AOC +S△BOC =
1
212415=， a 2
整理得a 2+15a －16=0，∴a =1或a =－16（舍去） ∴b =4－1=3 ∴ 直线AB 的解析式为y =x +3
115
方法2：由S △AOB = |OC |·|x 2－x 1
22而|x 2－x 1|=可得
a +4a +4
|=(a >0) ，|OC |=b =4－a ， |a a 1a +415
(4-a )() =，解得a =1或a =－16（舍去）. 2a 2
13. （2010广东湛江）病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到最大值
为4毫克。已知服药后，2小时前每毫升血液中的含量y （毫克）与时间x （小时）成正比例；2小时后y 与x 成反比例（如图所示）。根据以上信息解答下列问题： (1).求当0≤x ≤2时，y 与x 的函数关系式； (2).求当x >2时，y 与x 的函数关系式；
(3).若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
【答案】. 解：(1)当0≤x ≤2时，设函数解析式为y =k 1x ，由题意得………………1分
4=2k 1，解得k 1=2………………………………………3分
∴当0≤x ≤2时，函数解析式为y =2x ………………4分
(2)当x >2时，设函数解析式为y =
k 2
，由题意得………………5分 x
4=
k 2
，解得k 2=8………………………………………7分 2
8
……………………………8分 x
∴当x >2时，函数解析式为y =
(3)把y=2代入y=2x中，得x=1……………………………9分 把y=2代入y =
8
中, 得x=4……………………………10分 x
∴4－1＝3……………………………11分
答：服药一次，治疗疾病的有效时间是3小时…………………………12分 14（2010内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y ＝
m
（x ＞0，m 是常数）的图像经过点A （1，4）、点x
B （a ，b ），其中a ＞1. 过点A 作x 中的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB . （1）求m 的值；
（2）求证：DC ∥AB ；
（3）当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式.
m
【答案】解：（1）∵点A （1，4）在函数y ＝的图像上，
x
m
∴4＝，得m ＝4. „„„„„„„„„„„2分
1
m
（2）∵点B （a ，b ）在函数y ＝的图像上，∴ab ＝4.
x
又∵AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D 交AC 于M ，∴AC ⊥BD 于M ∴M （1，b ），D （0，b ），C （1，0）
BM a -1a -11DM 1
∴tan ∠BAC ＝＝＝＝，tan ∠DCM ＝＝
ab -b b MC b „„„„„4分AM 4-b
∴tan ∠BAC ＝tan ∠DCM ，
所以锐角∠BAC ＝∠DCM ，DC ∥AB „„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
说明：利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，易证△ABM ∽△CDM ，易得∠BAC ＝∠DCM . 评分标准为证出相似得到4分，证出平行得到6分.
（3）设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形.
① 四边形ABCD 是平行四边形时，AC 与BD 互相平分，
又∵AC ⊥BD ，∴B （2，2）
⎧k +b =4⎧k =-2∴⎨，解得⎨ b =62k +b =2⎩⎩
∴直线AB 的解析式为：y ＝－2x ＋6. „„„„„„8分
②当四边形ABCD 是等腰梯形时，
BD 与AC 相等且垂直，∵AC ＝BD ＝4，
∴B （4，1）
∴同理可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5. „„„„„„„10分
15. 如图，直线AB 过点A （m,0），B(0，n)(m>0，n >0). 反比例函数y =
交于C ，D 两点.P 为双曲线y =m 的图象与AB x m 上任一点，过P 作PQ ⊥x 轴于QPR ⊥y 轴于R. 请分别按（1）（2）（3）x
各自的要求解答问题.
（1）若m+n=10，n 为值时ΔAOB 面积最大？最大值是多少？
（2）若S △AOC =S△COD =S△DOB ，求n 的值.
（3）在（2）的条件下，过O ，D ，C 三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ 的面积是多少？
1mn , m +n =10, 得 2
11125S ∆AOB =n (10-n ) =-n 2+5n =-(n -5) 2+. 2222
25当n=5时，S △AOB 的最大值为. 230. 解：（1）由S ∆AOB =
（2）∵AB 过（m ，0），（0，n ）两点，求得AB 的方程为y =-n x +n . m
当S △AOC =S△COD =S△DOB 时，有AC=DC=DB，过C ，D 作x 轴的垂线，可知D ，C 的横坐标分 m 2m m m n , m . 将x =代入y =，得y=3. 将y=3，x =代入直线方程y =-x +n 333x 3m
n 9得-+n =3. ∴n =. 32
923m （3）当n =时，可求得C (m , ), D (, 3) . 2323别为
8122⎧⎧42a =-, m a +m b =, 2⎪⎪⎪⎪9334m 2设过O ，C ，D y =ax +bx ，可得⎨解得⎨ 1m 63⎪m 2a +b =3. ⎪b =. ⎪⎪34m ⎩9⎩
b 7718m =m . ∴m =1，∴m =. ∵P （x ，y ）在y =上， 2a 18187x
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∴S 四边形PROQ =xy=m=. 7∴对称轴为x =-
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