第二章 直线与圆锥曲线专题[

直线与圆锥曲线专题

考点1 直线与圆锥曲线的位置关系

研究直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切．一般通过它们的方程来研究位置关系．转化为一元二次方程根的分布进行讨论，但要注意如下两点： ①二次项系数是否为0；②根是否有限制条件．

1. 设直线l ：Ax +By +C =0，圆锥曲线：f (x , y ) =0

⎧Ax +By +c =02由⎨ 得：ax +bx +c =0 ⎩f (x , y ) =0

(1)若a ≠0，Δ＝b －4ac ，则

①Δ>0，直线l 与圆锥曲线有 两个不同 交点． ②Δ＝0，直线l 与圆锥曲线有 一个 的公共点． ③Δ

(2)若a ＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l 与双曲线的渐近线 平行或重合 ； 当圆锥曲线为抛物线时，l 与抛物线的对称轴 平行或重合 ． 【思考感悟】直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？

22

例：已知双曲线x +y =4与直线l :y =k (x -1) ，讨论直线与双曲线公共点的个数。

2

练习：

1．若不论k 为何值，直线y ＝k(x－2) ＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )

A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－2,2) D ．[－2,2]

2. 设抛物线y =8x的准线与 x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 （ ） A[－

2

11

,] B [－2,2] C[－1,1] D[－4,4] 22

2

3．(全国) 已知直线y ＝k(x＋2)(k＞0) 与抛物线C ：y =8x相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点． 若|FA|＝2|FB|，则k ＝( )

1222

A. B. D. 3333

考点2：弦的有关问题 1. 圆锥曲线的弦长公式：

直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆锥曲线C ：F(x，y) ＝0交于A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) 两点．则： AB =(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=+k 2x 1-x 2=(1+k 2) [x (1+x 2) 2-4x 1x 2] 例：椭圆ax +bx=1与直线x +y =1相交于A ，B 两点，若，AB =22，且AB 的中点C

2

2

与椭圆中心连线的斜率为

2

, 求椭圆的方程 2

x y x 2y 2

=1被椭圆C 截得的弦长为22，过椭练习：已知椭圆C ：2+2=1，直线l 1:+

a b a b

圆的右焦点且斜率为3的直线l 2被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的

2. 有关弦的中点问题：

若问题涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑点差法(即把两点坐标代入圆锥曲线方程，两式作差。点差法可将弦中点与弦所在直线的斜率相互转化) ．要注意：若用到韦达定理，则首先保证Δ≥0；用到点差法时，要回头验证中点是否存在，否则容易出错．

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；

过定点的弦中点轨迹．

（2）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．

2

，求椭圆C 的方程。 5

x 211⎫+y 2=1， （1）求过点P ⎛例1. 已知椭圆 ⎪且被P 平分的弦所在直线的方程； 2⎝22⎭

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A (2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点M 的轨迹方程；

练习：

x 2y 2

+=1内的一点P(2，－1) 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程 1．过椭圆65

是( )

A ．5x －3y －13＝0 B．5x ＋3y －13＝0 C．5x －3y ＋13＝0 D．5x ＋3y ＋13＝0 2．若直线y =kx -2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．

考点3：最值与范围问题

圆锥曲线中求最值与范围问题是高考中的常考问题，解决此类问题一般有两种思路： (1)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解； (2)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来求解．

特别提醒：在解决此类问题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零、x 或y 的有界性等．

x 2

+y 2=1的左右焦点分别为F 1, F 2，例1：已知椭圆P 为椭圆上任意一点，求(1)PF 1⋅PF 2的4

最大值（最小值），(2)PF 1+PF 2的最小值，(3) ∠F 1PF 2的最大值，(4)PF1的最大值和最小值。

2

2

例2：如图，已知抛物线y 2＝4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5,0)，倾斜角为

的直线l 与线4

段OA 相交(不经过点O 或点A) ，且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 的面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积．

练习：(四川) 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) 1137

A ．2 B ．3 C. D. 516考点4：对称问题：

圆锥曲线上对称点的存在性的讨论是常考的一类问题，这类问题的通法是： ① 若是关于点对称，即用中点坐标公式；

②若是关于直线对称，则转化为与对称轴垂直的直线与圆锥曲线有两交点，且两交点为端点的线段中点在对称轴上．

对称问题要注意“垂直”与“平分”两个条件的运用．

例：使抛物线C ：y ＝ax 2－1(a≠0) 上总有不同的两点关于直线l ：x ＋y ＝0对称，试求实数a 的取值范围．

练习：

1．已知抛物线y ＝－x ＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于( )

A ．3 B ．4 C ．2 D ．42

2

x 2y 2

+=1，2. 已知椭圆A ，B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于P(x 0,0) ，169

求x 0的取值范围．

考点5：圆锥曲线与向量的综合问题

x 2y 2

1．设F1、F2分别是椭圆2+2=1 (a>b>0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆交于A 、

a b

→→→→

B 两点，且AB ·AF2＝0，|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率为( ) 23

B. C. 6－3 D. 6－2 22

2．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03) 、(0，3) 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点． →→

(1)写出C 的方程； (2)若OA ⊥OB ，求k 的值．

3. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左焦点为F ，左准线与x 轴的交点为M ，（1）求椭圆的离心率e 。 =4，

（2）过左焦点F 且斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若⋅=－2，求椭圆方程。

4．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：

x y +=1(a＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2. 22a b

22

5

F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF2|＝.

3(1)求C 1的方程；

→→→

(2)平面上的点N 满足MN ＝MF1＋MF2，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点， →→若OA ·OB ＝0，求直线l 的方程．

5．如图所示，已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y 2＝2mx(m>0)于A ，B 两点，若A ，B

两点满足∠AQP ＝∠BQP ，其中Q(－4,0) ，原点O 为PQ 的中点． 求证：A ，P ，B 三点共线．

直线与圆锥曲线专题（师）

考点1 直线与圆锥曲线的位置关系

研究直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切．一般通过它们的方程来研究位置关系．转化为一元二次方程根的分布进行讨论，但要注意如下两点： ①二次项系数是否为0；②根是否有限制条件．

1. 设直线l ：Ax +By +C =0，圆锥曲线：f (x , y ) =0

⎧Ax +By +c =02由⎨ 得：ax +bx +c =0 ⎩f (x , y ) =0

(1)若a ≠0，Δ＝b －4ac ，则

①Δ>0，直线l 与圆锥曲线有 两个不同 交点． ②Δ＝0，直线l 与圆锥曲线有 一个 的公共点． ③Δ

(2)若a ＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l 与双曲线的渐近线 平行或重合 ； 当圆锥曲线为抛物线时，l 与抛物线的对称轴 平行或重合 ． 【思考感悟】直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？ 答：不是，直线与椭圆，只有相切一种情况，若直线与双曲线、抛物线，除相切的情况外还有相交的情况．

22

例：已知双曲线x -y =4与直线l :y =k (x -1) ，讨论直线与双曲线公共点的个数。

2

解：两方程联立得：（1－k ）x +2kx -k -4＝0 （*）

2

（1）当1－k ＝0，即k =±1时上式化为2x ＝5，方程（*）有一解，即直线与双曲线有

222

一个公共点，此时直线与渐近线平行。

2

（2）当1－k ≠0，即k ≠±1时：

①由∆＝（44－3k ) ＞0得-

2

223

＜k ＜，且k ≠±1 时，方程（*）有两解， 33

故直线与双曲线有两个交交点。

② 由∆＝（44－3k 2) ＝0得k ＝±

23

时，方程（*）有一解，故直线与双曲线只有一3

个公共点，此时直线与双曲线相切。 ③ 由∆＝（44－3k 2) ＜0得k ＜-故直线与双曲线无交点。

1．若不论k 为何值，直线y ＝k(x－2) ＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围

是( B )

A ．(－3， B ．[－，3] C ．(－2,2) D ．[－2,2] 解：直线过(2，b) 点， ∵x ＝2时， y 2＝x 2－1＝3，∴y ＝3，b ∈[33] 2. 设抛物线y =8x的准线与 x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则 直线l 的斜率的取值范围是 （ C ） A[－

2

223

或k ＞时，方程（*）有无解， 33

11

,] B [－2,2] C[－1,1] D[－4,4] 22

2

3．(全国) 已知直线y ＝k(x＋2)(k＞0) 与抛物线C ：y =8x相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k ＝( D )

1222A. 3333解：将y ＝k(x＋2) 代入y 2＝8x ，得 k 2x 2＋(4k2－8)x ＋4k 2＝0.

8

设交点的横坐标分别为x A ，x B ，则x A +xB ＝－4，① x A ·x B ＝4.

k2又|FA|＝x A ＋2，|FB|＝x B ＋2， ∴x A ＝2 xB ＋2. ② ∴将①②得x B ＝

81616

－2，x A ＝－4＋2＝2. 代入x A ·x B ＝4. 3k23k23k2

816822

故x A ·x B ＝(－2) ＝4. 解之得k 2＝k ＞0，∴k ＝，满足Δ＞0.

3k23k293考点2：弦的有关问题 1. 圆锥曲线的弦长公式：

直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆锥曲线C ：F(x，y) ＝0交于A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) 两点．则： AB =(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=+k 2x 1-x 2=(1+k 2) [x (1+x 2) 2-4x 1x 2]

例：椭圆ax +by=1与直线x +y =1相交于A ，B 两点，若，AB =22，且AB 的中点C

22

与椭圆中心连线的斜率为

2

, 求椭圆的方程 2

解：设椭圆与直线交于A(x1,y 1 ),B(x2,y 2) 两点,

⎧ax 2+bx 2=1则由⎨可得: （a +b ) x 2-2bx +b -1=0

⎩x +y =1

∴x 1+x 2=|AB|=2⋅

2b b -1

, x 1x 2=. a +b a +b

2a +b -ab

=22 ∴(a +b ) 2=a +b -ab ①

a +b

y 1+y 2

y +y 2(1-x 1) +(1-x 2) 22又k oc = =1==-1=

x 1+x 2x 1+x 2x 1+x 2x 1+x 222

∴a = 练习：

221b ②； 由①②得 b =, a = ∴ 椭圆方程：x 2+2y 2=3 233

x y x 2y 2

=1被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆C 已知椭圆C ：2+2=1，直线l 1:+

a b a b

的右焦点且斜率为3的直线l 2被椭圆C 截得的弦长是椭圆长轴长的

2

，求椭圆C 的方程。 5

x 2y 2

+=1 答案：62

2. 有关弦的中点问题：

若问题涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑点差法(即把两点坐标代入圆锥曲线方程，两式作差。点差法可将弦中点与弦所在直线的斜率相互转化) ．要注意：若用到韦达定理，则首先保证Δ≥0；用到点差法时，要回头验证中点是否存在，否则容易出错．

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；

过定点的弦中点轨迹．

（2）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．

x 2⎛11⎫

+y 2=1， （1）求过点P ⎪且被P 平分的弦所在直线的方程； 例1. 已知椭圆2⎝22⎭

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A (2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点M 的轨迹方程； 解：（1）解法一：设所求直线的斜率为k ， 则直线方程为y -

11⎫⎛

=k x -⎪．代入椭圆方程， 22⎭⎝

并整理得 1+2k x -2k -2k x +

(

2

)

2

(

2

)

123

k -k +=0． 22

12k 2-2k

P k =-由韦达定理得x 1+x 2=． ∵是弦中点，∴．故得． x +x =1122

21+2k

所以所求直线方程为2x +4y -3=0．

解：设弦两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则

⎧x 12+2y 12=2，

⎪22

⎪x 2+2y 2=2，

⎨

⎪x 1+x 2=2x ，⎪y +y =2y ，

2⎩1

①② ③④

①－②得 (x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0．

由题知x 1≠x 2，则上式两端同除以x 1-x 2，有(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)

y 1+y 2

=0，

x 1-x 2

将③④代入得 x +2y

y 1-y 2

=0． ⑤

x 1-x 2

（1）将x =

11y -y 21，y =代入⑤，得1=-，故所求直线方程为：2x +4y -3=0． ⑥ 22x 1-x 22

2

将⑥代入椭圆方程x 2+2y 2=2得6y -6y -

1

=0， 4

∆=36-4⨯6⨯

（2）将

1

>0符合题意（验证），故2x +4y -3=0即为所求． 4

y 1-y 2

（椭圆内部分） =2代入⑤得所求轨迹方程为：x +4y =0．

x 1-x 2

y 1-y 2y -1

代入⑤得所求轨迹方程为 x 2+2y 2-2x -2y =0．（椭圆内部分） =

x 1-x 2x -2

（3）将练习：.

x 2y 2

+1．过椭圆＝1内的一点P(2，－1) 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方65

程是( A )

A ．5x －3y －13＝0 B ．5x ＋3y －13＝0 C ．5x －3y ＋13＝0 D ．5x ＋3y ＋13＝0

2

解：设过P 点的弦为AB ，令A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) ， 则5x 1+6y 12＝30,5x22＋6y22＝30.

两式相减得 5(x1＋x 2)( x1－x 2) ＋6(y1＋y 2)( y1－y 2) ＝0，∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， y2－y155x1≠x2， ∴k AB ＝. ∴所求直线方程为y ＋1＝(x－2) ，即5x －3y －13＝0.

x2－x1332．若直线y =kx -2与抛物线y =8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．

2

⎧y =kx -222

解法一：设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ，则由：⎨2可得：k x -(4k +8) x +4=0．

⎩y =8x

∵直线与抛物线相交，∴k ≠0且∆>0，则k >-1． ∵AB 中点横坐标为：∴

x 1+x 24k +8

==2，解得：k =2或k =-1（舍去）． 2

2k

故所求直线方程为：y =2x -2．

解法二：设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ，则有y 1=8x 1两式作差解：(y 1-y 2)(y 1+y 2) =8(x 1-x 2) ，即

2

y 2=8x 2．

y 1-y 28

． =

x 1-x 2y 1+y 2

2

x 1+x 2=4∴y 1+y 2=kx 1-2+kx 2-2=k (x 1+x 2) -4=4k -4，

∴k =

8

故k =2或k =-1（舍去）．则所求直线方程为：y =2x -2．

4k -4

考点3：最值与范围问题

圆锥曲线中求最值与范围问题是高考中的常考问题，解决此类问题一般有两种思路： (1)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解； (2)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来求解．

特别提醒：一般要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零、x 或y 的有界性等．

x 2

+y 2=1的左右焦点分别为F 1, F 2，例1：已知椭圆P 为椭圆上任意一点，求(1)PF 1⋅PF 2的4

最大值（最小值），(2)PF 1+PF 2的最小值，(3) ∠F 1PF 2的最大值，(4)PF1的最大值和最小值。解：由题知｜PF ｜｜PF ｜1+2=2a =4，|F 1F 2|=3

（也可善于利用焦半径或｜PF ｜2=2a -|PF 1|变成｜PF 1｜的二次函数）

2

2

（（1）PF 1⋅PF 2≤

｜PF ｜｜PF ｜1+22

）=4，当｜PF 1｜=｜PF 2｜=2时取“=”

2

2

｜(PF ｜｜PF ｜1+2) =8，当｜PF 1｜=｜PF 2｜=2时取“=”

2

（2）PF +PF

2122≥

22222

｜PF ｜｜PF ｜｜(PF ｜｜PF ｜1+2-|F 1F 2|1+2) -2|PF 1|⋅|PF 2|-|F 1F 2|（3）cos ∠F 1PF 2==

2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|

=

4-2|PF 1|⋅|PF 2|212

-1=- -1≥=

|PF 1|+|PF 2|22|PF 1|⋅|PF 2|2|PF 1||PF 2|()

2

所以(3) ∠F 1PF 2的最大值为1200，此时｜PF 1｜=｜PF 2｜=2

（4）因为｜PF 2｜－｜F 1F 2｜≤｜PF 1｜≤｜PF 2｜＋｜F 1F 2｜（或a-c ≤｜PF 1｜≤a+c），当Ｐ

与F 1F 2共线时取等号，即P 在长轴两端点处。所以2-3≤|PF 1|≤2+3，所以PF 1的最大值是2+3，最小值是2-。

例2：如图，已知抛物线y 2＝4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5,0)，倾斜角为

π

的直线l 与线4

段OA 相交(不经过点O 或点A) ，且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 的面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积．

π

【解】 由于直线l 与线段OA ，

4

又点A 的坐标为(5,0)，设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，可知－5

⎧⎪y ＝x ＋m 2

由方程组⎨消去y 得x 2＋(2m－4)x ＋m ＝0. ①

⎪⎩y2＝4x

5＋m

点A 到直线l 的距离d ＝

2

∴S △＝2(5＋1－m ，即S2△＝4(1－m)(5＋m) . 令f(m)＝(1－m)(5＋m) 2＝－m 3－9m 2－15m ＋25 则f ′(m)＝－3m 2－18m －15

当f ′(m)＝0时，即m ＝－1或m ＝－5.

根据题意知m ＝－1时，f(m)最大，即S △最大为8

故直线l 的方程为y ＝x －1，△AMN 的最大面积是8线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( A ) 1137

A ．2 B ．3 D.

516

解：如图所示，动点P 到l 2：x=-1的距离可转化为P 、F 的距离， 可

因为直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，

∴方程①的判别式Δ＝(2m－4) 2－4m 2＝16(1－m)>0， ∴m

由⎨.

⎩m

得m ∈(－5,0) ．

设M(x1，y 1) ，N(x2，y 2) ，则 x 1＋x 2＝4－2m ，x 1x 2＝m 2， ∴|MN|＝42(1－m) ，

练习：(四川) 已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直

知，距离和的最小值即F 到直线l1的距离d=2. 考点4：对称问题：

圆锥曲线上对称点的存在性的讨论是常考的一类问题，这类问题的通法是： ①若是关于点对称，即用中点坐标公式；

②若是关于直线对称，则转化为与对称轴垂直的直线与圆锥曲线有两交点，且两交点为端点的线段中点在对称轴上．

对称问题要注意“垂直”与“平分”两个条件的运用．

例：使抛物线C ：y ＝ax 2－1(a≠0) 上总有不同的两点关于直线l ：x ＋y ＝0对称，试求实数a 的取值范围．

【解】 法一 设点A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) 是抛物线C 上关于直线l 对称的两点(x1≠x2) ，可得l AB ：y ＝x ＋b ，

⎧y ＝x ＋b ，

∴⎨2

⎩y ＝ax －1.

消去y ，得ax 2－x －(1＋b) ＝0.①

∵x1≠x2，方程①有两个不等实数根， ∴Δ＝1＋4a(1＋b) ＞0.②

又设AB 中点为M(x0，y 0) ，

x 1＋x 211

由①得x 0＝，y 0＝x 0＋b ＝b.

22a 2a ∵点M 在l 上，

1113

∴＋b ＝0，可得b ＝－a ＞2a 2a a 4

法二 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) 在抛物线C 上，且点A 和B 关于直线l 对称，则有

②－①得y 2－y 1＝a(x2＋x 1)(x2－x 1) ， ∴

y 2－y 1x 1＋x 2x 1＋x 21

＝2a·.⑤ x 2－x 1222a

y 1＋y 21

22a

将⑤代入④得，

11

弦AB 中点坐标为() ．

2a 2a ∵弦AB 的中点在抛物线C 的内部，

113

∴－a(2－1. 解得a ＞a ＜0(舍去) ．

2a 2a 43故a 的取值范围是a ＞4

练习：

1．已知抛物线y ＝－x ＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于(C) A ．3 B ．4 C ．2 D ．42

解：由题知，直线y ＝x ＋b 与y ＝－x 2＋3相交，联立得x 2＋x ＋b －3＝0，线段AB 的中1111

点为() 代入直线方程y ＝x ＋b ，得－＋b ＝0，即b ＝1.

2222∴x 2＋x －2＝0，x ＝1或－2.

设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，当x1＝1时，y1＝2， 当x2＝－2时，y2＝－1. ∴|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝32.

2

x 2y 2+=1，2. 已知椭圆A ，B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于P(x 0,0) ，169

求x 0的取值范围．（点差法）

【解】 设AB 的中点为C(m，n) ，A(x1，y1) ，B(x2，y2) ．

22

x 12y 12x 2y 2(x1＋x2)(x1－x2) －(y1＋y2)(y1－y2) ∵， +=1，+=1， ∴

169169169

9m 16n 16n

∴k AB ＝－∴k pc ＝ ∴PC 的方程为y －n ＝(x－m) ．

16n 9m 9m 7

令y ＝0，得x 0＝ ∵点C 在椭圆内部。

167777

∴－4＜m ＜4 ∴－＜x 0＜即x0x 0＜.

4444

考点5：圆锥曲线与向量的综合问题

x 2y 2

1．设F 1、F 2分别是椭圆2+2=1 (a>b>0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆交于A 、

a b

→→→→

B 两点，且AB ·AF2＝0，|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率为( C ) 23

B. C. 6－3 D. 6－2 22

【解】 设 ｜｜｜AF 2＝2x. 由椭圆的定义知(22)x ＝4a ，∴x ＝(4－2)a ，2＝x ，则

222 22222 ∴＝2－2)a ，又＋|＝4c ∴2－2) a ＋(4－22) a ＝4c ， ｜AF ｜AF ｜AF ｜121

解得e2＝9－＝(－∴e ＝

2．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03) 、(0，3) 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点． →→

(1)写出C 的方程； (2)若OA ⊥OB ，求k 的值． 【解】 (1)设P(x，y) ，由椭圆定义可知，

点P 的轨迹C 是以(0，－3) ，(03) 为焦点，长半轴长为2的椭圆， y22

它的短半轴长b ＝22－3)2＝1. 故曲线C 的方程为x ＋＝1.

4y2⎧⎪x2＋4＝1，

(2)设A(x1，y1) ，B(x2，y 2) ，其坐标满足⎨

⎪⎩y ＝kx ＋1.

2k 3

消去y 并整理得(k2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 故x1＋x2，x1x2.

k2＋4k2＋4→→

若OA ⊥OB ，即x1x2＋y1y2＝0. 而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2) ＋1， 33k22k21

于是x1x2＋y1y2＝－－＋1＝0，解得k ＝±.

k2＋4k2＋4k2＋42

3. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左焦点为F ，左准线与x 轴的交点为M ，（1）求椭圆的离心率e 。 OM =4OF ，

（2）过左焦点F 且斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若OA ⋅OB =－2，求椭圆方程。 点拨 (1)把向量方程坐标化，寻找a 与c 的关系；

(2)直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系．

x2y2a2

【规范解答】 (1)＋＝1，F(－c,0) ，M(0) ，

a2b2c

a2→→

由OM ＝4OF ，有(－，0) ＝4(－c,0) ，2分

c

a2c 1

则有＝4c ，∴e ＝.4分

c a 2

(2)设直线AB 为y ＝＋c) ，直线AB 与椭圆的交点为A(x1， y 1) ，B(x2，y 2) ，

由(1)可得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， ⎧3x2＋4y2＝12c2，2由⎨，得11x 2＋16cx －4c ＝0，6分 ⎩y ＝＋c)

16c 4

x 1＋x 2，x 1x 2＝－，8分

1111

→→OA ·OB ＝(x1，y 1)·(x2，y 2) ＝x 1x 2＋y 1y 2，

且y 1·y 2＝2x 1x 2＋2c(x1＋x 2) ＋2c2. ∴3x 1x 2＋2c(x1＋x 2) ＋2c 2＝－2，10分

1223222

即－c ＋2c ＝－2.

1111

∴c 2＝1，则a 2＝4，b 2＝3.

y2

因此椭圆的方程为x2＋1.12分

3422

4．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：

x y

+=1(a＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2. 22a b

5

F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF2|＝.

3→→→

(1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN ＝MF1＋MF2，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、→→

B 两点，若OA ·OB ＝0，求直线l 的方程． 【解】 (1)由C 2：y 2＝4x 知F 2 (1,0)．

55226设M(x1，y1) ，M 在C 2上，因为|MF2|， 所以x1＋1＝，得x1＝，y1＝.

3333M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1，

48⎧⎪9a2＋3b2＝1，

于是⎨消去b2并整理得9a4－37a2＋4＝0.

⎪⎩b2＝a2－1，1x2y2

解得a ＝2(a＝不合题意，舍去) ． 故椭圆C 1的方程为＝1.

343

→→→

(2)由MF1＋MF2＝MN 知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O. 263

因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同． 故l 的斜率k ＝6.

23

⎧3x2＋4y2＝12，

设l 的方程为y 6(x－m) ． 由⎨消y 得9x2－16mx ＋8m2－4＝0.

⎩y ＝6(x－m) ，

8m2－416m

设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ， 则x1＋x2＝x1x299→→

因为OA ⊥OB ，所以x1x2＋y1y2＝0，

x1x2＋y1y2＝x1x2＋6(x1－m)(x2－m) ＝7x1x2－6m(x1＋x2) ＋6m 2 8m2－416m 1＝－＋6m2＝－28) ＝0. 所以m ＝2，此时

999Δ＝(16m)2－4×9(8m2－4) ＝32m2＋144 ＝－32×2＋144＝80＞0， 故所求直线l 的方程为y 6x －3或y ＝6x ＋23.

5．如图所示，已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y ＝2mx(m>0)于A ，

B 两点，若A ，B 两点满足∠AQP ＝∠BQP ，其中Q(－4,0) ，原点O 为PQ 的中点．求证：A ，P ，B 三点共线．

y21y22

证明:设A(，y1) ，B(，y2) ，∵∠AQP ＝∠BQP ，∴tan ∠AQP ＝tan ∠BQP

2m 2m y1y2

＝－，∴y1·y2(y1＋y2) ＝－8m(y1＋y2) ． ∵l 不垂直于x 轴，∴y1＋y2≠0. y21y22442m 2m ∴y1·y2＝－8m. ∵O 点是PQ 的中点，且Q(－4,0) ，∴P(4,0)，又k AP ＝

y12my1

＝， y21y21－8m 42m

2

y22my2

K BP ＝＝∴k AP ＝K BP ， 又∵AP 与BP 都过P 点， ∴A ，P ，

B 三点共线．

y22y22－8m 42m