概率论习题解答(第5章)

第5章习题答案

三、解答题

1n

1. 设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P(λ)，=∑Xi，试利用契比

ni=1

谢夫不等式估计P{|-λ|

λ}的下界。

nn111解：因为X～P(λ)，E()=E(∑Xi)=∑E(Xi)=⋅nλ=λ ni=1ni=1n

1n1n11

D()=D(∑Xi)=2∑D(Xi)=2nλ=λ

ni=1nni=1n

由契比谢夫不等式可得

P{|-λ|

λ/n1

=1- 4λ4n

2. 设E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，ρ XY = – 0.5，试根据契比谢夫不等式估

计P{|X + Y | ≥ 3}的上界。

解：由题知

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=(-1)+1=0

Cov(X,Y)=ρxy⋅DX⋅DY=(-0.5)⨯⨯9= -1.5

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1+9+2⨯(-1.5)=7

所以PX+Y≥3=P(X+Y)-0≥3≤

}}

7 9

3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．

解：设i个元件寿命为Xi小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，

则X1 ，X2 ，... ，X16独立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，

E(∑Xi)=1600,D(∑Xi)=1.6⨯104，

i=1

i=1

1616

由独立同分布的中心极限定理可知：

∑X

i=1

16

i

近似服从N ( 1600 , 1.6⨯10000)，所以

⎧16⎫

X-1600∑i⎪1920-1600⎪⎧16⎫⎧16⎫⎪i=1⎪

≤P⎨∑Xi>1920⎬=1-P⎨∑Xi≤1920⎬=1-P⎨⎬

⎪⎩i=1⎭⎩i=1⎭⎪.6⨯10000

⎪⎪⎩⎭

=1-Φ(0.8)=1- 0.7881= 0.2119

4. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率

为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以

99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．

解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ， 则X ~ B（1000，0.6），则E(X) = 600，D (X ) = 240， 根据题意应确定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立. 则P{X ≤n }=P⎨

⎧X-600⎩

240

≤

n-600⎫n-600

≈Φ()=0.997=Φ(2.75) ⎬240⎭240

所以n=2.75⨯240+600=642.6，取n=643。

即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。

5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84

解：依题意, X ~ B（100，0.9），则E(X) = 90，D (X ) = 9，

P{84

84-90X-9095-90

≈Φ()-Φ(-2)=Φ()-1+Φ(2)=0.95254-1+0.97725=0.92979

33

6. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变

量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．

解：设柜台替第i位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.....100.

则X i ，i = 1,2,3.....100独立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以

⎧100⎫

x-100⨯1.5∑i⎪120-150⎪⎧100⎫⎪i=1⎪

P⎨∑xi≤120⎬=P⎨≤⎬

⨯1⎩i=1⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭

≈Φ(-3)=1-Φ(3)=1-0.9987=0.0013

即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.

7. 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？

解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X ~ B(n，0.8), 0.997=P{X≥10000}=P{解得 n=12655

即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。

8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．

解：记每页印刷错误个数为Xi，i=1，2，3，…300，

X-0.8n0.16n

≥

10000-0.8n0.4n10000-0.8n

=1-Φ() ，

0.4n

则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2 所以

⎧300⎫

X-0.2⨯300∑i⎪⎛10⎫70-60⎪⎧300⎫⎪i=1⎪

P⎨∑Xi≤70⎬=P⎨≤≈Φ ⎪⎬ ⎪=Φ(1.29)=0.90147

⨯300⎪⎩i=1⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎩⎭

9. 设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，

开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？

解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产， 记X为100台机床中需开工的机床数，则X ~ B(100，0.64), E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a2

⎧aX-64am-64a⎫

P{aX≤m}=P⎨≤⎬≥0.99=Φ(2.33)

4.8a⎭⎩a⨯0.64⨯0.36

m-64a

≥2.33，所以m≥64a+2.33⨯4.8a=75.18a

4.8a

10. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．

解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X ~ B (10000,0.017)。 保险公司在一年内的保险亏本的概率为

}=P{X>200}=1-P{X≤200} P{10000X>10000⨯200

⎧⎪200-10000⨯0.017⎫⎪

=1-Φ⎨⎬

⎪⎩⨯(1-0.017)⎪⎭)≈0.01 =1-Φ(2.321

所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01

四、应用题

1. 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)

上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额±760元内的概率．

解：设每位顾客的消费额为Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，则

(100-20)=80⨯80=1600， 100+20

E(Xi)==60,D(Xi)=

212123

2

由独立同分布的中心极限定理

∑X

i=1

400

近似i

1600⎫⎛

~N 400⨯60,400⨯⎪,

3⎭⎝

所以

⎧400⎫P⎨∑Xi-400⨯60≤760⎬⎩i=1⎭

400⎧⎫=P⎨-760≤∑Xi-24000≤760⎬

i=1⎩⎭

400

⎧

Xi-24000∑⎪760⎪

=P⎨-≤i=1≤

16001600⎪400⨯400⨯

⎪33⎩

⎫

⎪760⎪⎬1600⎪ 400⨯

3⎪⎭

⎧

⎪⎪

=P⎨-≤⎪⎪⎩

∑Xi-24000

400

=2Φ3-1

=2Φ(1.6454)-1=0.9505

2. 设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．

解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件， 记第i件的寿命为Xi小时，i =1，2，3···, m/110，且X i ~ E (20)， 所以E（X i）= 20 ，D(X i ) = 400，

()

⎫⎪⎪i=1

≤⎬1600⎪400⨯

⎪3⎭

⎧m/110⎫

P⎨∑Xi≥2000⎬ ⎩i=1⎭

⎧n⎫

X-20⨯m/110∑i⎪2000-20m/110⎪11000-m⎪i=1⎪

=P⎨≥=1-Φ()=0.95 ⎬

400⨯m/110m/110⎪m⎪⎪⎪⎩⎭

Φ(

m-11000m-11000

)=0.95=Φ(1.645)，所以=1.645,所以m=12980

mm

即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.

3. 据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1) 400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2) 只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．

解：(1) 设第k对夫妻 孩子数为X

，则X 的分布律为

2

则E(Xk)=0⨯0.05+1⨯0.80+2⨯0.15=1.1，D(Xk)=E(Xk)-E(Xk)2=0.19

400

400

∑X

k=1

k

-400⨯1.1

=

∑X

k=1

k

-440

400⨯0.19

400

76

450-440450-440

)≈1-Φ()=1-Φ(1.147)=0.1357

767676k=1

即400对夫妻的孩子总数超过450的概率为0.1357

(2) 设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y ~ B (400,0.8)，

故P(∑Xk>450)=P(

k=1

∑X

400

k

-440

>

⎧Y-400⨯0.8340-400⨯0.8⎫

P{Y≤340}=P⎨≤⎬

400⨯0.8⨯0.2⎭⎩400⨯0.8⨯0.2

400⨯0.8⨯0.2

即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938．

≈Φ(

340-400⨯0.8

)=Φ(2.5)=0.9938

（B）

⎧xm-x

e,x>0，m为正整数，证明：1. 设随机变量X的概率密度为f(x)=⎪⎨m!⎪其它⎩0,

P{0

m

（提示：利用Chebyshev不等式）． m+1

+∞

证明：E（X）=

⎰

xf(x)dx=⎰

+∞

+∞

xm+1-xΓ(m+2)(m+1)!

dx===m+1， m!m!m!

E(X)=⎰

2

+∞

xf(x)dx=⎰

2

xm+2-x1+∞Γ(m+3)edx=⎰x(m+3)-1e-xdx==(m+2)(m+1)

0m!m!m!

D(X)=E(X2)-[E(X)]=(m+2)(m+1)-(m+1)2=m+1

2

由切比雪夫不等式

P{0

mm+1

= 2

m+1(m+1)

2. 设{Xn:n≥1}为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明{Xn}服从Chebyshev大数定律．

Xn

-

pk 1/4 1/2 1/4

证明：E(Xi)=(-)⨯1+0⨯1+⨯1=0 ，

4

2

4

22111

D(Xi)=EXi2-[E(Xi)]=-2⨯+02⨯+()2⨯-0=1

424

()

()

又因为{Xn:n≥1}独立且同分布，所以{Xn}服从切比雪夫大数定律.

3. 设随机变量序列{Xn:n≥1}独立同分布，E(Xn)=0,D(Xn)=σ2(0

1n2P

，证明：∑Xi−（提示：利用Chebyshev大数定律） −→σ2．E(X)存在（n=1,2,…）

ni=1

4n

证明：因为随机变量序列{Xn:n≥1}独立同分布，所以{Xi2}也独立同分布

E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)=σ2，D(Xi2)=E(Xi4)-[E(Xi2)]2=E(Xi4)-σ4存在

1n2P

由Chebyshev大数定律，∑Xi−−→σ2

ni=1