高中 三角函数教学设计及习题及答案
第三章 三角函数
章节结构图
三角函数是高中数学的一个重要知识板块,也是高考的热点和重点内容.在考察中,以容易题和中档题为主.
在复习本部分内容时,应该充分利用数形结合的思想,把图象和性质有机结合.利用图象的直观性得出函数的性质,同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象.而在三角变换中,角的变换,三角函数名称的改变,三角函数次数的变换,三角函数表达形式的变换,频繁出现.因此,在训练中,要清楚各种公式,以及它们之间的联系,注意总结规律,并在应用中注意分析比较,提高能力.
3.1 三角函数的概念
(一) 复习指导
1.了解任意角的概念,了解弧度制概念,能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义,掌握任意角的三角函数在各个象限的符号.
3.会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题. (二) 解题方法指导 例1.写出与-60°终边相同的角的集合S ,并把S 中满足-2π ≤α≤4π 的元素α写出来.
例2.已知角α终边上有一点P (x ,1) ,且cos α=
例3.求函数f (x ) =sin x -
例4.已知α∈(0,π ) ,比较sin
1
的定义域. 2
1
,求sin α,tan α. 2
α
2
, tan
α
2
的大小.
(三) 体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.2 同角三角函数关系及诱导公式
(一) 复习指导
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin x +cos x =1,
2
2
sin x
=tan x . cos x
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出
π
±α, π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2
3.能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简. (二) 解题方法指导
例1.已知tan x =2,求sin x ,cos x 的值. 例2.求 例3.若
tan(-120 ) cos(210 ) sin(-480 ) tan(-690) sin(-150) cos(330)
的值.
sin x -cos x
=2, ,求sin x cos x 的值.
sin x +cos x
例4.求证:tan 2x ·sin 2x =tan2x -sin 2x .
(三) 体会与感受
1.重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.3 三角函数的图象与性质(一)
(一) 复习指导
1.能画出y =sinx ,y =cosx ,y =tanx 的图象,了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等)
3.理解正切函数在区间(-ππ
, ) 的单调性.
22
例1.用五点法画出函数y =sin(x +对称中心.
例2.求函数y =2sin(
) 草图,并求出函数的周期,单调区间,对称轴,3
x π
+) 在区间[0,2π ]上的值域. 26
例3.求下列函数的值域. (1)y =sin 2x -cos x +2;
例4.求函数y =
(2)y =2sin x cos x -(sinx +cos x ) .
1-sin x
的值域.
3-cos x
(三) 体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.4 三角函数的图象与性质(二)
(一) 复习指导
1.了解函数y =A sin(ωx+φ) 的物理意义;能画出y =A sin(ωx +φ) 的图象,了解参数A ,ω,φ对函数图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
(二) 解题方法指导
例1.在同一个坐标系中,用五点法画出下列函数的草图.
(1)y =sin x , y =sin(x +
例2.已知函数f (x ) =sin(2x +移和伸缩变换得到.
例3.若函数y =A sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0) 的图象的一个最高点为(2, 2) ,它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6,0) ,求这个函数的一个解析式.
例4.已知函数f (x )=cos4x -2sin x cos x -sin 4x .
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 若x ∈[0, ],求f (x ) 的最大值、最小值.
(三) 体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
π); 3
(2)y =sin 2x , y =sin(2x +
π). 3
π
) ,该函数的图象可以由y =sinx 的图象经过怎样的平6
π2
3.5 和、差、倍角的三角函数(一)
(一) 复习指导
1.掌握两角差的余弦公式,能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
3.能用上述公式解决一些化简和求值问题.
(二) 解题方法指导 例1.若(A)
2
π1-tan x
=5,则tan(x +) 的值为 ( )
1+tan x 4
(B)-5
2
(C)
5
(D)-
5
例2.(sinx +cos x ) +2sin (
π
-x ) =____________. 4
sin 2x -2cos 2x π1
例3.已知tan(+x ) =.求的值.
421+cos 2x
例4.已知f (cosx )=cos2x . (Ⅰ) 求f (cos(
π
)) 的值; 16
(Ⅱ) 求f (sinx ) .
(三) 体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.6 和、差、倍角的三角函数(二)
(一) 复习指导
1.能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值. 2.掌握A sin x +B cos x 型代数式变形方法. (二) 解题方法指导 例1.已知cos α=-
4ππ
, α∈(, π) ,则cos(-α) =( ) . 524
(B)-
(A)
2
102 10
(C)-
72
10
(D)
72
10
例2.f (x ) =cos 2x -23sin x cos x 的最小值为____. 例3.已知:0
5π3π
, cos x =,且
π34
例4.已知0
255
(三) 体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
⋅
3.7 正弦定理和余弦定理
(一) 复习指导
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
(二) 解题方法指导
例1.在△ABC 中,a ∶b ∶c =3∶5∶7,则其最大角为____. 例2.在△ABC 中,有a cos A =b cos B ,判断△ABC 的形状.
例3.在△ABC 中,∠A =60°,面积为103,周长为20,求三条边的长.
例4.在一条河的对岸有两个目标物A ,B ,但不能到达.在岸边选取相距23里的C ,D 两点,并测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°,且A ,B ,C ,D 在同一个平面内,求A ,B 之间的距离.
(三) 体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
例 题 解 析
第三章 三角函数
3.1 三角函数的概念
例1分析:先把角转化成弧度制,然后写出与其终边相同角的集合. 解:因为-60=-
o
ππ
,所以S ={α|α=2k π-, k ∈Z }, 33
π5π11π
, , ⋅ 333
例2分析:已知一个角的一个函数值,可以利用三角函数定义求其它三角函数值,也可以利用同角关系直接求得.
解:因为P (x ,1) 在角α的终边上,所以,
S 中满足-2π≤α≤4π的元素有-
r =x 2+4, cos α=
x x 2+1
=
1, 2
解得x =±
, 又因为x >0,所以x =, 所以sin α=, tan α=3.
小结:知道一个角某个三角函数值,求其它的函数值,是三角函数求值问题中典型问题
之一.
11≥0,所以sin x ≥,
22
5π1π
, k ∈Z , 利用三角形函数线得到, 当sin x =时,x =2k π+或x =2k π+
626
π5π
x
∈[2k π+, 2k π+],k ∈Z .
66
例3解:因为sin x -
例4分析:比较不同三角函数值的大小,可以充分利用三角函数线. 解:因为α∈(0,π),所以
α
πα
∈(0, ) ,如图3-1-2,在单位圆中,作出的正弦线
222
MP 和正切线AT ,因为S △OAP <S △OAT ,
所以
11
⋅|OA |⋅|MP |
即|MP |<|AT |,所以sin
α
2
α
2
⋅
小结:例3和例4都是三角形函数线的应用,其中例4还可以利用比较法来解决,实际
π
上有x ∈(0, ) 时,sin x <x <tan x .
2
3.2 同角三角函数关系及诱导公式
例1分析:知道一个角某个三角函数值,求其它函数值,方程思想是通法. 解:因为tan x =
sin x
=2,又sin 2x +cos 2x =1, cos x
⎧sin x =2cos x
联立得⎨2 ,2
⎩sin x +cos x =1
⎧2⎧2sin x =⎪⎪sin x =-⎪5⎪5 解这个方程组得⎨, ⎨.
⎪⎪
cos x =cos x =-⎪5⎪5⎩⎩
小结:这道题和3.1.1中的例2属于同一类型问题.
例2分析:这种代数式化简,一般要用到诱导公式和同角函数关系,要注意公式的正确使用,特别是函数名称和符号的变化方法.
解:原式
tan(-120 +180 ) cos(180 +30 ) sin(-360 -120 )
=
tan(-720 +30o ) sin(-150 ) cos(360 -30 )
tan 60 (-cos 30 )(-sin 120 ) ==-3.
tan 30 (-sin 150 ) cos 30
例3分析:这种代数式求值,可以利用方程组的思想,求出每个函数值,也可以利用sin x ±cos x 与sin x cos x 的关系,整体求值.
sin x -cos x
=2,
sin x +cos x
所以sin x -cos x =2(sinx +cos x ) ,
得到sin x =-3cos x ,又sin 2x +cos 2x =1,联立方程组,解得 解:法一:因为
⎧3⎧3sin x =sin x =-⎪⎪⎪⎪, ⎨⎨⎪⎪
cos x =-cos x =⎪⎪⎩⎩
所以sin x cos x =-
3
⋅ 10
法二:因为
sin x -cos x
=2,
sin x +cos x
所以sin x -cos x =2(sinx +cos x ) , 所以(sinx -cos x ) 2=4(sinx +cos x ) 2, 所以1-2sin x cos x =4+8sin x cos x , 所以有sin x cos x =-
3⋅ 10
小结:这两种方法中,第一种是通法,第二种利用了整体求值.
例4分析:这种证明问题,可以从左边开始变形,向右边看齐,也可以反过来,还有的时候是两边同时变形.在变形的时候,要注意公式的正确使用,同时要时刻注意目标是什么.
222222222
证明:法一:右边=tan x -sin x =tanx -(tanx ·cos x )=tanx (1-cos x )=tanx ·sin x ,问题得证.
法二:左边=tan2x ·sin 2x =tan2x (1-cos 2x )=tan2x -tan 2x ·cos 2x =tan2x -sin 2x ,问题得证.
3.3 三角函数的图象与性质(一)
例1解:
周期为T =2π,
5ππ
, 2k π+), k ∈Z , 66π7π
), k ∈Z , 单调减区间为(2k π+, 2k π+
66π
对称轴为x =k π+, k ∈Z ,
6π
对称中心为(k π-, 0), k ∈Z .
3
单调增区间为(2k π-
小结:画图的时候,要注意五个点的选取. 例2分析:在求这样函数值域的时候,最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范围求出来,然后利用三角函数图象求其值域.
解:因为0≤x ≤2π,所以0≤
x πx π7π≤π, ≤+≤, 由正弦函数的图象, 26266
x π1
得到+) ∈[-, 1],
262
所以y ∈[-1,2].
例3解:(1)y =sin2x -cos x +2=1-cos 2x -cos x +2=-(cos2x +cos x ) +3,
令t =cosx ,则t ∈[-1, 1],y =-(t 利用二次函数的图象得到y ∈[1,
2
+t ) +3=-(t +) +=-(t +) +,
2424
1
2
131
2
13
13
]. 4
(2)y =2sin x cos x -(sinx +cos x )=(sinx +cos x ) 2-1-(sinx +cos x ) ,令t =sinx +cos x =2,
π
sin(x +) ,则t ∈[-2, 2]则,y =t 2-t -1,
4
5
利用二次函数的图象得到y ∈[-, 1+2].
4
小结:利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式,利用图象,求其值域,要注意转化后自变量的取值范围.
例4解:设A (3,1) ,P (cosx ,sin x ) ,
把y 看成定点A 与动点P 所在直线的斜率, 因为动点P (cosx ,sin x ) 在单位圆上,
所以只要求经过点A (3,1) 与单位圆相切的两条直线的斜率,
两条切线的斜率分别为0和所以y
∈[0, ].
3, 4
34
小结:这是数形结合解题的一个典型问题.
3.4 三角函数的图象与性质(二)
例1解:(1)
例2分析:这种问题的难点在于确定变换的先后顺序. 解:法一:将函数y =sinx 依次作如下变换: (1)把函数y =sinx 的图象向左平移
ππ
个单位,得到函数y =sin(x +) 的图象;
66
1π
(2)把函数y =sin(x +) 图象上各点的横坐标缩小到原来的,纵坐标保持不变,得到
62
π
函数y =sin(2x +) 的图象.
6
法二:将函数y =sinx 依次作如下变换:
(1)把函数y =sinx 的图象上各点的横坐标缩小到原来的y =sin2x 的图象.
(2)把函数y =sin2x 向左平移
1
,纵坐标保持不变,得到函数2
πππ个单位,得到函数y =sin 2(x +) ,即y =sin(2x +) 的12126
图象.
小结:在进行图象变换的时候,应注意平移变换和压缩变换的顺序,顺序不一样,则平移的单位不一样.如y =sin2x 的图象向左平移
ππ
个单位,得到函数y =sin 2(x +) ,即1212
π
y =sin(2x +) 的图象.
6
例3分析:这样的问题,首先要清楚几个参数A ,ω,φ对函数图象的影响,可以画出一个草图来分析问题.
解:由最高点为(2, 2) ,得到A =2,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴交点的间隔是
T 1π
个周期,这样求得=4,T =16,所以ω=⋅
844
ππππ
又由2=2⨯2+ϕ) ,得到可以取ϕ=. ∴y =2sin(x +).
8484
例4分析:这个函数的解析式比较复杂,我们先对其进行化简,这包括减少函数名称,降低次数,然后再求相应的问题.
解:(Ⅰ) 因为f (x )=cos4x -2sin x cos x -sin4x =(cos2x -sin 2x )(cos2x +sin 2x ) -sin2x
ππ
=(cos2x -sin 2x ) -sin 2x =cos 2x -sin 2x =2-2x ) =-2sin(2x -)
44
所以最小正周期为π.
πππ3ππ
(Ⅱ) 若x ∈[0, ],则(2x -) ∈[-, ],所以当x =0时,f (x ) 取最大值为-2sin(-) =1;
24444当x =
3π
时,f (x ) 取最小值为-2. 8
3.5 和、差、倍角的三角函数(一)
tan
π
-tan x
π111-tan x π=, 例1解:==tan(-x ) =,所以tan(+x ) =
π41+tan x 1+tan tan x 4-x ) 44选C .
小结:本题还可以tan x 把的值求出来,然后使用两角和的正切公式求值.
π
例2解:(sinx +cos x ) 2+2sin 2(-x )
4
π
=1+sin 2x +1-cos 2(-x ) =1+sin 2x +1-sin 2x =2.
4
1π1+tan x 1
例3解:因为tan(+x ) ==,所以tan x =-,
41-tan x 23
sin 2x -2cos 2x 2sin x cos x -2cos 2x 4
==tan x -1=-⋅
1+cos 2x 32cos 2x
小结:在求值问题中,应该先对代数式进行化简,在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果.
ππ
例4解:(Ⅰ) 因为=f (cos()) =cos ,
168而cos 2
π
=8
1+cos
π2
1+==2+2且cos π>0,所以cos π=
2288
2+; ππ
(Ⅱ) 因为f (sinx ) =f -x )) =cos(2(-x )) =cos(π-2x ) =-cos 2x .
22
3.6 和、差、倍角的三角函数(二)
34π
例1解:因为cos α=-, α∈(, π) ,所以sin α=,
525
2πππ
, 所以选B . 又-α) =cos cos α+sin sin α,代入求得结果为-444
π
例2解:因为f (x ) =cos 2x -23sin x cos x =cos x -sin 2x =2-2x ) ,所以其最
6
小值为-2.
例3分析:在知值求值问题中,要注意角之间的关系.
解:因为0
π3, cos x =, 25
4
⋅ 5
则sin x =-cos 2x =因为0
πππ3π,
所以cos(x +y ) =-
12
, 13
所以cos y =cos[(x +y ) -x ]=cos(x +y )cos x +sin(x +y )sin x
=-
1235416⨯+⨯=- 13513565
π
例4解:因为0
π3π
433
,所以sin(α+β) =-,或sin(α+β) =,
555
33
若sin(α+β) =-, 则由sin α=,得到β=π,矛盾,
55
3
所以sin(α+β) =,
5
又cos(α+β) =-
所以sin β=sin[(α+β) -α]=sin(α+β) cos α-cos(α+β) sin α=
3.7 正弦定理和余弦定理
24⋅ 25
12π
例1解:因为三条边中c 边最大,则角C 最大,根据余弦定理,所以C =cos C =-,⋅
23
例2解:由正弦定理,a =2R sin A ,b =2R sin B ,代入有2R sin A cos A =2R sin B cos B ,即sin2A =sin2B ,所以2A =2B 或2A =π-2B .即A =B 或A +B =直角三角形.
π
,所以△ABC 为等腰三角形或2
1
例3解:因为S ∆ABC =bc sin A =103,所以bc =40,又a +b +c =20,a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,
2
解得三条边为5,7,8.
例4分析:在很多实际测量问题中,都离不开解三角形,根据相关条件画一张比较清晰的直观图,可以帮我们找到解题的思路.
要求AB ,可以把AB 放到一个三角形中,看看这个三角形中还有哪些条件,然后可以根据正余弦定理求值.
解:中△ACD 中,∠ACD =120°,∠ADC =30°
所以∠DAC =30°,所以|AC |=|CD |=23, 在△BCD 中,∠BCD =45°,∠CDB =75°,
|BC ||CD |
所以∠CBD =60°,由正弦定理,
sin 75o =sin 60o
,
所以|BC |=
|CD |sin 75o
sin 60o
=+2, 在△ABC 中,∠BCA =75°,
根据余弦定理,|AB |2=|AC |2+|BC |2-2|AC |·|BC |·cos75°,求得 |AB |2=20,|AB
|=25⋅