零点.极点和偶极子对系统性能的影响
零点、极点和偶极子对系统性能的影响
我们知道在系统之中，适当的加入零点，极点还有偶极子，可以在某些方面提升系统的性能。但是加入某项时候，到底是如何提升的呢？为此，我们用matlab 软件来帮助我们分析，以方便我们进行比较。为了方便我们的比较，我们还将零点，极点还有偶极子对系统性能的影响分开来进行一个一个的讨论。这样我们可以更加直观的感受到他们的影响。（在分析的时候选择稳定的原始系统）
在分析的时候我们选择的原系统的闭环传递函数为：
G
通过matlab 编程和绘图我们可以得到(s )的单位阶跃响应曲线如下图：
现在我们开始分析加入零点，极点和偶极子对系统性能的影响！
一、零点
为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
G
和(s )的响应曲线，通过分析相应的
G 1(s )
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[3,4]; y2=step(n1,d,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r 减小； （3）系统的超调时间（4）系统的超调量
t
t p
减小； 变长；
p %
（5）系统的调节时间
t s 变长；
但是在某些情况下，我们增加零点，会带来某些我们所不希望带来的结
线和原始闭环函数的响应曲线的异同点。
通过
matlab 绘制的响应曲线如下：
可以看出如果添加的零点正好与原点重合的时候，系统虽然最后还是稳态系统，但是系统最后的稳态值为0，这显然不合实际的要求。所以在实际应用中，我们添加不能零点的时候一定要注意，添加的零点不能原点重合。
二、极点
为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
G
和(s )的响应曲线，通过分析相应的
G 2(s )
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=20;
d2=[4,21,9,20]; y2=step(n1,d2,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r 变长； （3）系统的超调时间（4）系统的超调量
t
t p
变长； 减小；
p %
（5）系统的调节时间
t s 减小；
通过以上分析，我们不难发现：在系统中增加零点和极点的作用是相反
的。
三、偶极子
偶极子还可以根据距离虚轴的距离分为两种情况：距离虚轴远的和距离虚轴近的。所以分两种情况进行分析。
1）在方程之中添加一对离虚轴较远的偶极子，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
G 3(s )
G
和(s )的响应曲线，通过分析相应的
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[4,32];
d2=[4,33.04,12.01,32.04]; y2=step(n1,d2,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
局部放大的效果图：
在添加距离远点较远的偶极子的时候，我们可以发现：添加偶极子后的系统与原来的系统一样，都是稳定的系统。并且添加偶极子以后的系统的闭环传递函数的响应曲线与原始的闭环传递函数的响应曲线几乎是重合的, 差别非常小。通过局部放大以后，更是证明了我们的想法。在t=3.765s的这一时刻，二者的差距不到0.2%，几乎是相等的。所以我们有理由认为，在添加距离虚轴较远的偶极子后的系统与对于原始系统的上升时间r ，超调时间
t
t p
，超调量
p %
，调节时间
t s 没有影响。
2）在方程之中添加一对离虚轴较近的偶极子，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
G 3(s )
G
和(s )的响应曲线，通过分析相应的
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1);
n1=[4,0.4];
d2=[4,1.44,4.11,0.44];
y2=step(n1,d2,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid
xlabel('t'),ylabel('c(t)');
title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
在添加距离远点较近的偶极子的时候，我们可以发现：添加偶极子后的系统与原来的系统虽然都是稳定的系统。但是在添加距离虚轴较近的偶极子后的系统相对于原来的系统的系统的上升时间r 我们可以通过放大局部图形的方法发现，两者的上升时间只是相差0.008s ，几乎没有任何差别。超调时间以用相同的方法，发现也几乎是相同的。超调量
了。
这也说明了偶极子在位置上的区别而对系统的影响有所区别。
将所有系统的单位阶跃响应曲线画到一张图纸上可以更加清楚地看到他们t t p 也可 p %减小了，调节时间t s 增大
之间的关系：
用matlab 编程的程序为：
n=4;d=[4,1,4];
t1=0:0.1:15;
y1=step(n,d,t1);
n1=[3,4];
y2=step(n1,d,t1);
n2=20;
d2=[4,21,9,20];
y3=step(n2,d2,t1);
n3=[4,32];
d3=[4,33.04,12.01,32.04];
y4=step(n3,d3,t1);
n4=[4,0.4];
d3=[4,1.44,4.11,0.44];
y5=step(n4,d3,t1);
n6=[4,0];
y6=step(n6,d,t1); %加了原点的系统 %离虚轴近的偶极子 %离虚轴远的偶极子 %加了原点的系统 %加了非原点的零点的系统 % 原始系统
plot(t1,y1,'-r' ,t1,y2, '-g' ,t1,y3,t1,y4, 'b' ,t1,y5,t1,y6),grid xlabel('t' ),ylabel('c(t)');
title(' 单位阶跃响应' )
所有的响应曲线之间相互对比：
局部放大效果图见下图
局部放大效果图：