单摆周期公式的来源和推导
第２０卷第１期２０１２年０３月
技术物理教学
ＴＥＣＨＮＩＣＡＬ
ＰＨＹＳＩＣＳＴＥＡＣＨＩＮＧ
Ｖ０１．２０
Ｎｏ．１
Ｍａｒ．２０１２
单摆周期公式的来源和推导
程旭健
（浙江省武义第二中学３２１２０３）
本文介绍了单摆周期公式发现的历史，并提供了一种较简单的、接近惠更斯时代知识背景的推导方法。一问题的缘起
我们在上《单摆》这一节课，讲到《单摆振动的周期》这部分时，一般用实验演示单摆振动的周期与振幅、摆长、摆球的质量、重力加速度的关系。接下去，很多老师说：荷兰物理学家惠更斯（１６２９－－１６９５）经过实验得出单摆的周期公式Ｔ－－－２”妊。但教材上只是说惠更斯“研究了单摆的振动”，并没有明确提到从“实验中总结出”。那么，历史上惠更斯是否用实验得出这个公式的？还是从理论中推算出来的？二历史的回顾
据说在１５８３年，十九岁的伽利略（１５６４－－１６４２）在比萨教堂祈祷时注意到摆动着的大油灯，他利用自己的脉搏来测定摆的周期，发现了摆的等时性。但现在这个故事的真实性受到怀疑，因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。专家指出，伽利略是于１６０２年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力…。伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。他还指出周期与摆球质量无关。他说：
“因此我取两个球，一个是铅的而另一个
是软木的，前者比后者重】ｏｏ多倍，用两根４或５库比特长的等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。”
最早系统地研究单摆的是惠根斯（ＣｈｒｉｓｔｉａａｎＨｕｙｇｅｎｓ）。由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数２茚．事实上，反过来重力加速度是１６５９年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。他在巴黎用一个周惠更斯期为２ｓ的单摆（即秒摆），测出摆长为３．０５６５英尺，从而计算出ｇ＝９．２ｍ／ｓ２。
惠更斯于１６５７年取得了关于摆钟的专利权。惠更斯最伟大的著作《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》于１６７３年在巴黎问世。这本书共分５部分，第一与或第五部分讨论时钟，第二部分讨论质
万方数据
点在重力作用下的自由落体运动以及沿光滑平面或曲面所作的约束运动，并证明了在大摆动下约束在旋轮线上的物体等时降落的性质。第三部分建立渐屈线理论，第四部分解决了复摆问题。这是人类第一次系统地研究约束运动的论著。
１６５９年，在对单摆的研究中，他导＿！｛；了摆动周期和沿着摆的长从静止开始的自由落体时间之闯的关系。他发表在《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》第四部分的结果，相当于Ｔ＝２”《ｉ。在推导过程中，惠更斯使用了一个忽略周期与摆幅相关性的一个近似。这样引人的误差在小的摆幅下可以忽略
ｆ３】
０
中学物理中与惠更斯有关的内容还有弹性碰撞理论、向心力理论、光的波动说。从方法上看，惠更斯沿着伽利略开创的实验与逻辑推理相结合的道路继续前进。和伽利略在物理研究中所采用的相对简单的数学工具相比较，惠更斯把无穷小几何方法带进了力学领域。
三单摆周期公式的简单推导
如今，普通物理教材中单摆周期公式的推导是根据牛顿第二定律和微分方程知识得出的，但惠更斯推导单摆周期公式时（１６５９年），牛顿第二定律还未发表，惠更斯尚未学会莱布尼兹式的微积分，他使用的是旧的无穷小几何方法。我们能否也用较简单原始的方法推出单摆周期公式呢？让我们尝试一下。
思路一：单摆周期公式是在小振幅条件下得出的。而圆弧越来越小就越来越接近一段直线，那么能否用一段圆上的弦代替圆弧，从而简化为物体沿光滑斜面下滑的运动？当时伽利略已提出了等末速度假设：静止的物体不论是沿竖直方向自由下落还是沿不同倾斜度的斜面从同一高度下落，它们到达末端时具有相同的速度。这实质上相当于机械能守恒定律。另外由伽利略的斜面实验可知物体沿斜面下滑的运动和自由落体运动都是匀变速直线运动。
据此我们很容易推出ａ＝ｇｓｉｎ０，
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第２０卷学习交流
基于因子分析的学生成绩综合评价方法研究
王民川
（郑州广播电视大学４５０００７）
本文采用多元统计中的因子分析对本校计算科学专业２００９级的５８名同学两学期１６门成绩进行具体实例分析，找出影响该专业学生知识和能力的主要方面网子，确定决定性丙素，分别为数学专业能力、记忆概括能力、数学基础能力、英语能力、体育能力五个冈子。根据网子得分对学生成绩做出一个客观、综合的评价，清楚地反映每个学生各方面的差异。一引言
ｉ年大学生活的学习成绩是每个大学生学习生活的记录，这些记录基本反映了该生四年的学习情况，但在大部分高校教学管理中，需要科学的对学生成绩进行综合评价。在目前综合评价学生成绩的方法中，大多数学校都用加权平均成绩作为评价标准。该方法都存在两个缺点：一是掩盖了学生的个性；二是不能对学生做出客观评价。因此研究一种科学合理的方法非常必要，而多元统计分析中的因子分析恰恰符合要求。
二因子分析方法
因子分析是指研究从变量群中提取共性凶子的统计技术。最早由英国心理学家Ｃ．Ｅ．斯皮尔曼提出。他发现学生的各科成绩之间存在着一定的相关性，一科
成绩好的学生，往往其他各科成绩也比较好，从而推想是否存在某些潜在的共性因子，或称某些一般智力条件影响着学生的学习成绩。因子分析可在许多变量中找ｍ隐藏的具有代表性的因子。将相同本质的变量归入一个因子，叮减少变量的数目，还町检验变量间关系的假没。
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因子分析数学模型
因子分析是通过研究多个变量问相关系数矩阵的内部依赖关系，找出能综合所有变量的少数几个变量，这几个随机变量是不可测量的。然后根据相关性的大小把变量分组使得同组内的变量之间相关性较高，但不同组的变量相关性较低。
各个因子间互不相关，所有变量都可以表示成公共因子的线性组合。凶子分析的目的就是减少变量的数目，用少数的因子代替所有变量去分析整个问题。设有Ｎ个样本，Ｐ个指标，Ｘ叫ｉｂ，。∥为随机变量，要寻找的公因子为ｒ＝ｃｎｏ一，、呗０模型
爿ｌ＝口ｌ产ｌ＋口２产２＋…＋ａｌ。，，用＋占１
Ｘ２＝ａ】鼻＋ａ２Ｒ＋…＋ａ２ｍ‘＋ｓ２
并且ｔ＝Ｊ警，则周期Ｔ＝４ｔ＝２×ａ嚣。
这个结果却是错的。问题出在哪里？圆弧越来越短时，长度不是越来越接近弦长吗？这没有错，关键在线的倾斜度。斜线（斜面）的倾斜度是恒定的，则
ａ＝ｇｓｉｎ
而据速度的定义，：＿ｄ（－Ｚ）
贝ｏ
ｄ‘＝Ｖ
ｄ（一１）＝一、５；ｉ：—ｉ；ｊ：‘：：＿ｊ５
０也是恒定的。而圆弧上各点的倾角从ｌｏ处（即曰。处）下落所用的时间
０＝丢
，
ｔ—ｆｏ再蒸季ｄｌ霭
入上式，得
是各点不同的，则臼很小时ａ＝ｇｓｉｎ０ｔ，０＝。～Ｒ也各点不同，近似与弧长１成正比。所以不能把物体沿短圆弧的运动近似看作沿斜面的运动。
思路二：我们直接来求物体沿网弧运动的时间。据伽利略的等末速度假设（实即机械能守恒定律），
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这个推导方法用的是伽利略的等末速度假设和简单的微积分，未用到牛顿第二定律和微分方程。与通常普通物理教材中的推导过程相比，也许更接近惠更斯当时的推导方式。
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