2015重庆中考数学压轴题训练
一.压轴题专题训练
1. 问题:如图1,在等边三角形ABC 内有一点P ,且PA=2, PB=3, PC=1.求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC
的边长.
李明同学的思路是:将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2).连接PP′,可得△P′PB 是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证).所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°.进而求出等边△ABC 的边长为7.问题得到解决
.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD 内有一点P ,且PA=,BP=2,PC=1.求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长.
2. 阅读下列材料,并解决后面的问题.
在锐角△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c .过A 作AD ⊥BC 于D (如图),则sinB=AD ,sinc=AD ,即AD=csinB,AD=bsinC,
c
b
于是csinB=bsinC,即b
∴a
sin A
=
sin B
=
a a b . c .同理有c
=,=
sin C sin C sin A sin A sin B
b c „„„„„„(*)
=
sin B sin C
即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
(1)在锐角三角形中,若已知三个元素a 、b 、∠A ,运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ,请你按照下列步骤填空,完成求解过程:
第一步,由条件 第二步,由条件
−∠B ; −用关系式−−−→ −−→
求出
求出
−∠C ; −用关系式−−−→ −−→
− c . −用关系式−−−→ −−→
求出
第三步,由条件
(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30o 的方向上,随后货轮以28.4
海里/时的速度按北偏东45o 的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70o 的方向上(如图11),求此时货轮距灯塔A 的距离AB (结果精确到0.1.参考数据:sin 40o =0.643,sin 65o =0.906, sin 70o =0.904,sin 75o =0.966).
3. 对于三个数a 、b 、c ,M |a ,b ,c |表示这三个数的平均数,min {a ,b ,c }表示a 、b 、c
这三个数中最小的数,如:M {-1,2,3}=
-1+2+34
=,min {-1,2,3}=-1;33
M {-1,2,a }=
⎧a (a ≤-1), -1+2+a a +1
=,m {-1,2,a }=⎨ 33-1(a >-1), ⎩
解决下列问题:
(1)填空:min {sin30°,cos45°,tan30°}=________;若min {2,2x +2,4-2x }=2,
则x 的取值范围是________;
(2)①若M {2,x +1,2x }=min {2,x +1,2x },那么x =________; ②根据①,你发现结论“若M {a ,b ,c }=min {a ,b ,c },那么________”(填a ,b ,c 大小关系) ; ③运用②,填空:若M {2x +y +2,x +2y ,2x -y }=min {2x +y +2,x +2y ,2x -y },则x +y =________; (3)在同一直角坐标系中作出函数y =x +1,y =(x -1) 2,y =2-x 的图象(不需列表,描点) ,通过图象,得出min {x +1,(x -1) 2,2-x }最大值为________.
6. 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +8(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点、与月y 轴交于点C 经过点B 的直线y =-x +4与y 轴交于点D ,点P 在抛物线的对称轴上,且P 点的横坐标是1. (1)求该抛物线的解析式;
(2)在第一象限的抛物线上有一个动点M ,过点M 作直线MN ⊥x 轴于点N ,交直线BD 于点E ,若点M 到直线BD 的距离与BN 的长度之比为22:1,求点M 坐标;
(3)如图2,若点P 位于x 轴上方,且∠PAB =60︒,点Q 是对称轴上的一个动点,将∆BPQ 绕点P 顺时针旋转60°得到船∆B ' PQ ' (B 的对应点为B ' ,Q 的对应点为Q ' ) ,是否存在点
Q ,使∆BQQ ' 的面积是
,若存在,请求出PQ 的长:若不存在,说明理由.
4
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
三角形辅助线做法
图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。
常见辅助线的作法有以下几种:
1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变
换中的“对折”.
2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的
思维模式是全等变换中的“旋转”.
3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角
形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相
等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
1. 已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_________.
B
D 2. 以∆ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ∆ABD 和等腰Rt ∆ACE ,
∠BAD =∠CAE =90︒, 连接DE ,M 、N 分别是BC 、DE 的中点.探究:AM 与DE 的位置关系
及数量关系.(1)如图① 当∆ABC 为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 ,线段AM 与DE 的数量关系是 ;
(2)将图①中的等腰Rt ∆ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ(0
︒
C
3、如图,∆ABC 中,AB=2AC,AD 平分∠BAC ,且AD=BD,求证:CD ⊥AC
D
C
B
A
4、如图,AC ∥BD ,EA,EB 分别平分∠CAB, ∠DBA ,CD 过点E ,求证;AB =AC+BD
5.D 为等腰Rt ∆ABC 斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
(1) 当∠MDN 绕点D 转动时,求证DE=DF。
(2) 若AB=2,求四边形DECF 的面积。
6. 如图,等边△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,E 为AD 上一点,
以BE 为一边且在BE 下方作等边△BEF ,连接CF . (1)求证:AE=CF;
(2)G 为CF 延长线上一点,连接BG .若BG=5,BC=8,求CG 的长.
C
A
7如图,在梯形ABCD 中,A D ∥BC ,∠ABC=90°,DG ⊥BC 于G, B H ⊥DC 于H ,CH=DH,点E 在AB 上,
点F 在BC 上,并且E F ∥DC 。
(1)若AD=3,CG=2,求CD; (2)若CF=AD+BF,求证:EF=
1CD. 2A
D
E
H
B F
G
C
8. 已知:如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =BC ,AB =10,CD =18,∠ADC =60°,过BC 上一点E 作直
线EH ,交CD 于点F ,交AD 的延长线于点H ,且EF =FH .
(1)求梯形ABCD 的面积; (2)求证:AD =DH +BE .
B
9. 如图,梯形ABCD 中,AD∥BC,点E 在BC 上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF . (1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求 AE的长. (2)若点F 是CD 的中点,求证:CE=BE﹣AD .
D
8题图
10.已知等腰Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC BC ,点G 在BC 上,
连接AG ,过C 作CF 是
⊥AG ,垂足为点E ,过点B 作BF ⊥CF
于点F ,点D
C
G
E
AB 的中点,连接DE 、DF .
A
D
F
B
(1)若∠CAG =30°,EG =1,求BG 的长; (2)求证:∠
AED =∠DFE
11. 阅读材料:
(1)对于任意两个数a 、b 的大小比较,有下面的方法:
当a -b >0时,一定有a >b ; 当a -b =0时,一定有a =b ; 当a -b
反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”. (2)对于比较两个正数a 、b 的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较:
∵a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ,a +b >0 ∴(a 2-b 2)与(a -b )的符号相同 当a 2-b 2>0时,a -b >0,得a >b ; 当a 2-b 2=0时,a -b =0,得a =b 当a 2-b 2<0时,a -b <0,得a
(1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B5纸;李明同学用了2张
A4纸,8张B5纸.设每张A4纸的面积为x ,每张B5纸的面积为y ,且x >y ,张丽同学的用纸总面积为W 1,李明同学的用纸总面积为W 2.回答下列问题:
① W 1= (用x 、y 的式子表示),W 2= (用x 、y 的式子表示) ② 请你分析谁用的纸面积最大.
(2)如图1所示,要在燃气管道l 上修建一个泵站,分别向A .B 两镇供气,已知A 、B 到
l 的距离分别是3km 、4km (即AC =3km,BE =4km),AB =x km ,现设计两种方案:
方案一:如图2所示,AP ⊥l 于点P ,泵站修建在点P 处,该方案中管道长度a 1=AB +AP . 方案二:如图3所示,点A ′与点A 关于l 对称,A ′B 与l 相交于点P ,泵站修建在点P 处,该方案中管道长度.
① 在方案一中,a 1= km(用含x 的式子表示); ② 在方案二中,a 2= km用含x 的式子表示);
③ 请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.
百年教育学校
初三数学中考冲刺(冯乙师)
2
(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD∥BC, ∵AE=BF,
∴四边形ABFE 是平行四边形, ∴OE=OB, ∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)解:∵△AOE和△DOE是友好三角形, ∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3, ∵△AOB与△AOE是友好三角
形, ∴S△AOB=S△AOE. ∵△AOE≌△FOB, ∴S△AOE=S△FOB, ∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF =S矩形ABCD ﹣2S △ABF=4×6﹣2××4×3=12.
探究: 解:分为两种情况:①如图1, ∵S△ACD=S△BCD. ∴AD=BD=AB , ∵沿CD 折叠A 和A′重合, ∴AD=A′D=AB=
4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S △ABC=S △BDC=S △ADC=S △A′DC, ∴DO=OB,A′O=CO, ∴四边形A′DCB是平行四边形, ∴BC=A′D=2, 过B 作BM⊥AC于M , ∵AB=4,∠BAC=30°, ∴BM=AB=2=BC, 即C 和M 重合, ∴∠ACB=90°, 由勾股定理得:AC=∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2②如图2,
∵S△ACD=S△BCD. ∴AD=BD=AB , ∵沿CD 折叠A 和A′重合, ∴AD=A′D=AB=
4=2,
=2
=2;
,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S △ABC=S △BDC=S △ADC=S △A′DC, ∴DO=OA′,BO=CO, ∴四边形A′DCB是平行四边形, ∴BD=A′C=2, 过C 作CQ⊥A′D于Q , ∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°, ∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2; 即△ABC的面积是2或2
.