数列单元测试卷
数列单元测试卷
一、选择题
1、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( )
A .8 B. 7 C. 6 D. 5
2、已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5, a 9, a 15成等比数列,那么公比为 ( )
A.
3234
B. C. D. 4323
3、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=( )
A .8 B.7 C.6 D.5 4、等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +1-a ,则实数a 的值是( ) A. -3 B.3 C. -1 D. 1 5、已知{a n 为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( )
A. 7 B. 5 C. —5 D. —7
}
6、设等差数列{a n 前n 项和为S n , 若a 1=-11, a 4+a 6=-6, 则当S n 取最小值时,n=( ) A. 6 B. 7 C.8 D.9 7、已知{a n }为等比数列,下面结论中正确的是( ) A .a 1+a 3≥2a 2 B. a 1+a 3≥2a 2
C .若a 1=a 3,则a 1=a 2 D. 若a 3>a 1,则a 4>a 2
8、各项均为正数的等比数列{a n }中,a 2=1-a 1, a 4=9-a 3,则a 4+a 5等于( )
A . 16 B . 27 C . 36 D . -27
9、已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎨前5项和为( ) A.
2
2
2
}
⎧1⎫
⎬的⎩a n ⎭
15313115或5 B. 或5 C. D. 816168
10、已知正项数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n +12+a n -12(n ≥2) ,则a 6等于( ) A .16 B.8 C.22 D.4 11、数列{a n }的通项公式a n =n cos
n π
,其前n 项和为S n ,则S 2012等于( ) 2
A .1006 B .2012 C .503 D .0
n
12、若数列a n }的通项公式是a n =(-1) (3n -2), 则a 1+a 2+ a 10=( )
{
A .15
二、填空题
B. 12 C. -12 D. -15
13、在等差数列{a n }中,a 1+a 9=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=__________.
14、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=3, S 9-S 6=12,则S 6=. 15、已知数列{a n }满足a 1=33, a n +1-a n =2n , 则
a n
的最小值为__________. n
16. 、等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =_______.
一、选择题
二、填空题
13、 _______14、_______15、_______16、_______
三、解答题
17. 已知等比数列{a n }的公比为q =-(1)若a 3=
1. 2
1
,求数列{a n }的前n 项和; 4
(Ⅱ)证明:对任意k ∈N *, a k , a k +2, a k +1成等差数列.
18、 已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =(I )求a 2, a 3;
(Ⅱ)求{a n }的通项公式.
n +2
a n . 3
19、已知数列{a n }的前n 项和S n =kc n -k (其中c ,k 为常数),且a 2=4, a 6=8a 3. (1)求a n ;(2)求数列{na n }的前n 项和T n .
20、 已知等差数列{a n }满足:a 5=9, a 2+a 6=14. (1)求{a n }的通项公式; (2)若b n =a n +q
a n
(q >0) ,求数列{b n }的前n 项和S n .
21、 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M 的价值为上年初的75%.
(I )求第n 年初M 的价值a n 的表达式; (II )设A n =
a 1+a 2+ +a n
, 若A n 大于80万元,则M 继续使用,否则须在第n 年初对
n
M 更新,证明:须在第9年初对M 更新.
22、已知数列{a n }前n 项和为S n ,常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅱ)设a 1>0,λ=100.当n 为何值时,数列{lg
1
}的前n 项和最大? a n
数列单元测试卷参考答案
1-5DCDBD 6-12ABBCDAA
21
16、-2 2
11
17. 解:(1)由a 3=a 1q 2=, q =-得a 1=1. 所以数列{a n }的前n 项和
42
1
2+(n ) ⋅(-2)
12(Ⅱ)证明 对任意k ∈N *,由q =-得2q -q -1=0,所S n =
23
13、74 14、9 15、.
以2a k +2-(a k +a k +1) =0. 对任意k ∈N *, a k , a k +2, a k +1成等差数列. 18.解:(I )由S 2=
45
a 2得3(a 1+a 2) =4a 2, 解得a 2=3a 1=3; 由S 3=a 3得33
3
3(a 1+a 2+a 3) =5a 3, 解得a 3=(a 1+a 2) =6. (Ⅱ)由题设知a 1=1. 当n >1时有
2
n +2n +1
a n =S n -S n -1=a n -a n -1,
33
a a a 3a 4n n +1n +1
, n =, 将以上n 个a n -1. a 1=1, 2=, 3=, n -1=
a 11a 22a n -2n -2a n -1n -1n -1
整理得a n =
等式两端分别相乘,整理得a n =
n (n +1)
. 2
,
则a n =S n -S n -1=k (c n -c n -1) ,
19、解:(1)当n >1时,a n =S n -S n -1=k (c n -c n -1)
6
5
3
2
a 6c 6-c 5
a 6=k (c -c ) ,a 3=k (c -c ) , =32=c 3=8,∴c=2.∵a 2=4,即k (c 2-c 1) =4,
a 3c -c
解得k=2,∴a n =2n (n >1) , 当n=1时,a 1=S 1=2,综上所述a n =2n (n ∈N *) (2) na n =n 2n ,则
T n =2+2⋅22+3⋅23+ +n 2n (1)
2T n =1⋅2+2⋅2+3⋅2+ +(n -1)2+n 2
2
3
4
n
n +1
(2)
(1)—(2)得,
-T n =2+22+23+ +2n -n 2n +1∴T n =2+(n -1)2n +1
,
20.解:(1)设{a n }的首项为a 1,公差为d ,则由a 5=9, a 2+a 6=14, 得⎨
⎧a 1+4d =9,
2a +6d =14, ⎩1
⎧a 1=1,
解得⎨,所以{a n }的通项公式a n =2n -1.
d =2, ⎩
(
2)
由
a n =2n -1得b n =2n -1+q 2n -1
. ①当
q >0且q ≠1时,
S n =[1+3+5+ +(2n -1) ]+(q 1+q 3+q 5+ +q 2n -1)=n 2+
q (1-q 2n )1-q
2
;② 当q =1时,
b n =2n ,得S n =n (n +1) ;
⎧n (n +1)(q =1),
⎪2n 所以数列{b n }的前n 项和S n =⎨ q 1-q ()2
(q >0且q ≠1). ⎪n +2
1-q ⎩
21.解:(I )当n ≤6时,数列{a n }是首项为120,公差为-10的等差数列,
a n =120-10(n -1) =130-10n ; 当n ≥7时,数列{a n }是以a 6为首项,公比为
34
3
为等比数4
列,又a 6=70,所以 a n =70⨯() n -6; 因此,第n 年初,M 的价值a n 的表达式为
⎧120-10(n -1) =130-10n , n ≤6⎪a n =⎨ 3n -6
a n =70⨯() , n ≥7⎪⎩4
(II)设S n 表示数列{a n }的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时,S n =120n -5n (n -1), A n =120-5(n -1) =125-5n ; 当n ≥7时,因为{a n }是递减数列,所以{A n }是递减数列,又
33780-210⨯() 8-6780-210⨯() 9-6
4779A 8==82>80, A 9==76
864996
所以须在第9年初对M 更新.
22.解:(Ⅰ)取得n =1, λa 12=2S 1=2a 1, a 1(λa 1-2) =0. 若a 1=0, 则S n =0. 当n ≥2时,
a n =S n -S n -1=0-0=0, 所以a n =0(n ≥1). 若a 1≠0, 则a 1=2a n =
2
2
λ
. 当n ≥2时
λ
+S n ,2a n -1=
2
λ
+S n -1, 两式相减得2a n -2a n -1=a n , 所以,a n =2a n -1, (n ≥2), 从
n -1
而数列{a n }是等比数列,所以,a n =a 1⋅2
=
2
λ
⋅2
n -1
=
2n
λ
⋅综上,当a 1=0时,a n =0; 当
a 1≠0时,a n =b n =lg
2n
1
⋅(Ⅱ)当a 1>0且λ=100时,令b n =l λa n
所, 以,
100
所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为-lg 2).当n ≥7时,=2-n lg 2,n
2
⎧1⎫100100
, 故数列b n ≤b 7=lg 7=lg
2128 ⎩a n ⎭