函数与导数恒成立与存在性
函数与导数3. 恒成立与存在性问题
答案和解析
2015年山东师范大学附属中学高三第一次模拟考试理科数学试卷第21题
例1、已知函数f (x ) =
ax +b
在点 (-1, f (-1)) 的切线方程为 。 x 2+1
(1)求函数f (x ) 的解析式;
(2)设g (x ) =ln x ,求证:g (x ) ≥f (x ) 在 x ∈[1, +∞)上恒成立; (3)已知 0
ln b -ln a 2a
>2。
b -a a +b 2
b -a
=-2 , 1+1
,
答案(1)将x =-1代入切线方程得y =-2 , ∴f (-1) =
化简得
b -a =-4
。
a (x 2+1) -(ax +b ) ⋅2x
f '(x ) =
(1+x 2) 2
2a +2(b -a ) 2b b
===-1 ,
442
2x -2
解得:a =2, b =-2 。∴f (x ) =2 。
x +1
2x -2
(2)由已知得ln x ≥2在 [1,+∞) 上恒成立,
x +1f '(-1) =
化简 (x 2+1)ln x ≥2x -2,即 x ln x +ln x -2x +2≥0在 [1,+∞) 上恒成立。 设 h (x ) =x ln x +ln x -2x +2,h '(x ) =2x ln x +x +因为x ≥1 ,所以2x ln x ≥0, x +
2
2
1
-2 , x
1
≥2 ,即 h '(x ) ≥0, x
所以 h (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增,h (x ) ≥h (1)=0 ,所以 g (x ) ≥f (x ) 在 x ∈[1,+∞) 上恒成立 。
b 2-2
b b
(3)因为01,由(2)知有ln > ,
b a a () 2+1a
整理得
ln b -ln a 2a ln b -ln a 2a
02> ,所以当 时, 。
b -a a +b 2b -a a 2+b 2
例2、已知函数f (x ) =e x -kx , x ∈R .
(Ⅰ)若k =e ,试确定函数f (x ) 的单调区间;
(Ⅱ)若k >0,且对于任意x ∈R ,f (|x |)>0恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)设函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) ,求证:F (1)F (2)见解析
分析:(Ⅰ)由k =e 得f (x ) =e x -e x ,所以f '(x ) =e x -e . 由f '(x ) >0得x >1,故f (x ) 的单调递增区间是(1,+∞) , 由f '(x )
于是f (x ) >0对任意x ∈R 成立等价于f (x ) >0对任意x ≥0成立. 由f '(x ) =e -k =0得x =ln k .
①当k ∈(0,1]时,f '(x ) =e -k >1-k ≥0(x >0) . 此时f (x ) 在[0,+∞) 上单调递增. 故f (x ) ≥f (0)=1>0,符合题意. ②当k ∈(1,+∞) 时,ln k >0.
当x 变化时f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表:
x
x
F (n ) >(e
n +1
+2) (n ∈N *)
n
2
由此可得,在[0,+∞) 上,f (x ) ≥f (lnk ) =k -k ln k .
依题意k -k ln k >0,又k >1, ∴1
∴F (x 1) F (x 2) =e x 1+x 2+e -(x 1+x 2) +e x 1-x 2+e -x 1+x 2>e x 1+x 2+e -(x 1+x 2) +2>e x 1+x 2+2, ∴F (1)F (n ) >e n +1+2, F (2)F (n -1) >e n +1+2
F (n ) F (1)>e n +1+2
由此得[F (1)F (2)故F (1)F (2)
F (n )]2=[F (1)F (n )][F (2)F (n -1)][F (n ) F (1)]>(en +1+2) n ,
n +1
F (n ) >(e
+2) , n ∈N *.
n 2
2014年湖北省孝感高中高二4月月考数学试题第21题
例2、已知函数f (x ) =2a ln x -x +
12(a ∈R 且a ≠0)
,gx ()=-x -x +2) x
.
(1) 若f (x ) 在定义域上有极值,求实数a 的取值范围;
(2)
当a =∀x 1∈[1, e ],总∃x 2∈[1, e ],使得f (x 1)
范围;(其中e 为自然对数的底数)
(3) 对∀n ∈N ,且n ≥2,证明:ln(n !) 4
, ) 要f (x ) 在定义域内有极值,则答案:(1) f (x ) 的定义域为(0+∞,
-x 2+2ax -1f '(x ) ==0⇔-x 2+2ax -1=0 2
x
有
两
不
等
正
根
,
即
x 2-2
a +x 1=有0
两不等正根,
⎧∆=4a 2-4>0
∴⎨⇒a >1
2a >0⎩
1
(2)
f (x ) =x -x +,要对∀x 1∈[1, e ],总∃x 2∈[1, e ],使得f (x 1)
x
-x 2+-1
则只需f max (x )
g max (x ) ,由f '(x ) =>0⇒1
x
得函数f (x
) 在(1
1) 上递增,在1, e ) 上递减,所以函数f (x
) 在x =最大值;
1处有
f max (x ) =f 1) =1) -2,又g (x ) 在(1,e ) 上递减,
故g max (x ) =g (1) =-2
故有-2>1) -2⇒b >1)
1-x 2+2x -1
≤0恒成立, (3) 当a =1时,f (x ) =2ln x -x +,f '(x ) =2
x x
1
≤f (1)=0 x
11
n ≤n
x n
故f (x ) 在定义域(0, +∞)上单调递减,故当x ≥1时,f (x ) =2ln x -x +
2(l n +2
+l n 3+n
(n +2n ) -(2
1)
⇔l n n (4!
2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题
练习2已知函数f (x ) =x 3+ax 2-1(a ∈R 是常数).
(1)设a =-3,x =x 1、x =x 2是函数y =f (x ) 的极值点,试证明曲线y =f (x ) 关于点M (
x 1+x 2x +x 2
, f (1)) 对称; 22
(2)是否存在常数a ,使得∀x ∈[-1,5],|f (x ) |≤33恒成立?若存在,求常数的值或取值
范围;若不存在,请说明理由.
答案:分析:(1)f (x ) =x -3x -1,f '(x ) =3x -6x
解f '(x ) =0得x 1=0,x 2=2,
3
2
2
M (
x 1+x 2x +x
, f (12)) 即M (1,-3) 22
对称的点为
曲线y =f (x ) 上任意一点P (x 0, x 03-3x 02-1) 关于M
Q (2-x 0, -x 03+3x 02-5)
直接计算知,f (2-x 0) =(2-x 0) 3-3(2-x 0) 2-1=-x 03+3x 02-5,点Q 在曲线y =f (x ) 上,所以,曲线y =f (x ) 关于点M 对称
(2)|f (x ) |≤33即|x 3+ax 2-1|≤33,-33≤x 3+ax 2-1≤33
x =0时,不等式恒成立;
32+x 334-x 3
x ≠0时,不等式等价于-≤a ≤ 22
x x
6432+x 33234-x 334'
g (x ) =-1+=-x -g (x ) ==-x +作g 1(x ) =-,,,12
x 3x 2x 2x 2x 2
g 2'(x ) =-1-
68
,解g 1'(x ) =0、g 2'(x ) =0得x 1=
4、x 2=3x
32+x 3
在[-1,0) ⋃(0,5]的最大值为-6;g 1(-1) =-31,g 1(4)=-6,g 1(x ) =-x 2919134-x 3
-[-1,0) ⋃(0,5]在的最小值为 g 2(-1) =35,g 2(5)=-,g 2(x ) =2
2525x
综上所述,a 的取值范围为[-6, -
91] 25