五年高考,三年模拟--抛物线

1.（20134月模拟，9,5分）

原点），当最小时，的值为( )

所在两条直线的斜率之积

A.

C.

D.

11,5分) 已知圆MM

在

M所得弦为AB( )

A．4 B．3 C．2 D．与点M位置有关

3.(20138,5分) 抛物线

点，点

，点( )

B. 4

D.

4.(2013山东青岛高三三月质量检测，8,5分) 已知抛物线点为抛物线上一点，且在第一象限，，垂足为，的焦点为，准线为，的倾斜，则直线

角等于( )

A．

B. C．

D.

5.(2013天津市滨海新区五所重点学校高三联考，7,5分) 若抛物线的准线与双曲线（ ）

的一条渐近线交点的纵坐标为，则这个双曲线的离心率为

6.(201310,5分)

的焦点

的离心率是（ ）

与曲线

,则曲线

A. B.

C.

D.

7.(20136,5分

|FP|的最小值是

A．3 B．4 C．5 D．6

8.(20135,5分)已知圆

p的值为 与抛物线

C.

9.(2013北京海淀区高三一月期末，4,5分)点是抛物线点的距离为，则点的横坐标为( )

A．2 B. 3 C. 4 D.5 D.4 上一点，到该抛物线焦10. (2012浙江绍兴一中高三十月月考，5,3分)角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则（）

A． B． C． D．

11. (2012山西大学附中十月月考，10,5分)双曲线的渐近线与抛

物线

B． C． D．12.(2012东北三省四市第二次联考，11，5分)双曲线

MO是坐标原点，满足

）

，过其一

13. （201210,5分）线段

14.(2012北京西城区第二次模拟，5,5分)已知双曲线则其渐近线的方程为（）

（A） （B） （C） 的一个焦点是，（D）

15. (2012沈阳、大连联考，11,5分)过双曲线的右焦点作两条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）

A． B． C． D．

16.（2013分）若双曲线

上不存在点PF) 轴上, ( , +∞)

∞)

C. (1, ]

)

17.（2013高考仿真卷一, 11, 5分）若双曲线-=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7∶5的两段, 则此双曲线的离心率为( )

A.

C.

18.（2012云南高三二模分）已知a>0, 如果直线

-=1, 么a等于( )

A. 6 B. 18

D.

19.（, 12, 5

-=11F2分别为, I为△2, 若=+

λ, 则λ的值为(

A.

B.

C.

D.

20.（2012哈尔滨高三三模, 9, 5分）已知F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点, 过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点, 若△ABF2是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是( )

A.

B. C. (1, 1+) D. (1+, +∞)

21.（2012河南高三第二次联考, 9, 5分）设P是双曲线-=1(a>0, b>0) 与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点, F1、F2分别是双曲线的左、右焦点, 且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线的离心率为( )

A.

B.

C. +1

D.

22.（2012, 7, 5

1, F2, 设P

, e为( )

在||,

, 则双曲

A.

B.

C. +1

D. +1

23.(2012四川, 9, 5分) 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在坐标原点O, 并且经过点M(2, y0) . 若点M3, 则 A. 2

C. 4

24.(2012山东, 11, 5分) C1

: -2. x2=2py(p>0) 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2, 则抛物线C2的方程为( )

A. x2=y B. x2

y C. x2=8y D. x2=16y

北京海淀区514,5分) 设变量x, y

k， (I) 当k=1时，的最大值为______；

(II) 若的最大值为1，则实数的取值范围是_____.

26.(2013年广东省广州市高三4月综合测试，15,5分) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点，点是曲线上任一点，设点

到直线的距离为，则的最小值为 ．

27.(2013年河南省十所名校高三第三次联考，13,5分) 圆

物线＝4y的准线对称，则m＝___. 关于抛

28.(201311,5分)

的准线方程是

，点

．

29.（2012山东省济南市第二次模拟，15,5分）过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为______.

30.（4月调研，F1、F2是双曲线－＝1P在P到焦点F19，则点P到焦点F2

31.(2012北京海淀区期末卷，10,5分)已知双曲线

么此双曲线的离心率为______. 的渐近线方程是y=32.

是双曲线，满足

，则的值为__________.

33. （2013高考仿真卷二, 15, 5

分）已知双曲线-=1(a>0, b>0)

的一条渐近线方程为y=x, 且其右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合, 则双曲线的方程为

34. （2013高考仿真卷二, 13, 5分）双曲线-=1的离心率为 .

35.(2012陕西, 14, 5分) 如图是抛物线形拱桥, 当水面在l时, 拱顶离水面2米, 水面宽4米. 水位下降1米后, 水面宽 米

.

36.(2012安徽, 14, 5分) 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|= .

37.(20134月综合测试，

．点、

且与直线相

（两端

上，且关于

在点

与轨迹交于点、．

（1）求轨迹

（

2

）证明：的方程； ； 与轨迹

（3）

的距离等于的面积为20的方程． 38. (201220，13xoy是抛物线的焦点，M是抛物线

C上位于第一象限内的任意一点，过

． M,F,O三点的圆的圆心为Q到抛物线C

M，使得直线C相切于点M?M的坐标；

39. (2012浙江绍兴一中高三十月月考，22,10分)已知抛物线C的方程为

直线：与轴的交点在抛物线准线的右侧. ，

(Ⅰ)求证：直线与抛物线恒有两个不同交点；

(Ⅱ)已知定点,若直线与抛物线的交点为,满足，是否存在实数, 使得原点到直线的距离不大于

明理由． ,若存在，求出正实数的的取值范围；若不存在，请说

40. (2012广东省海珠区高三综合测试，20,14分) 设抛物线

,是抛物线上的一定点. 的焦点为

(1)已知直线

的焦点,

且与,与交于两点

,

的的面积为,求过点

.若直线,,,

的斜率等于抛物线的斜率都存在,证明:直线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

41. (201221，12

，过抛物线

两点，分别交抛物线于

：

相切于、：． 两点，圆心点

（Ⅰ）求抛物线

（Ⅱ）当的方程；

（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．

42.(2012课标全国, 20, 12分) 设抛物线C: x2=2py(p>0) 的焦点为F, 准线为l. A为C上一点, 已知以F为圆心, FA为半径的圆F交l于B, D两点.

(1) 若∠BFD=90°, △ABD的面积为4, 求p的值及圆F的方程;

(2) 若A, B, F三点在同一直线m上, 直线n与m平行, 且n与C只有一个公共点, 求坐标原点到m, n距离的比值.

43.(2007安徽, 18, 14分)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.

(Ⅰ)过点P(0, -4)作抛物线G的切线, 求切线方程;

(Ⅱ)设A, B为抛物线G上异于原点的两点, 且满足于点C, D, 求四边形ABCD面积的最小值. ²=0, 延长AF, BF分别交抛物线G

44. (2008陕西, 21, 12分)已知抛物线C:y=2x2, 直线y=kx+2交C于A, B两点, M是线段

AB的中点, 过M作xC于点N.

(Ⅰ)证明:在点N处的切线与k使², 求k的值;.

45.(2008江西, 22, 14分)已知抛物线y=x2和三个点M(x0, y0)、P(0, y0)、N(-x0, y0)(y0≠y0>0), 过点M的一条直线交抛物线于A、B两点. AP、BP的延长线分别交抛物线于点E、F.

(Ⅰ)证明:E、F;

(Ⅱ)、M、N四点共线, y0, 使以线段AB?如果存在, 求出, 的距离;若不存在, 请说明理由.

江苏, 22, 10分)xOy中, , 经过点2), 其焦点F在x轴上.

(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;

(Ⅱ)求过点F, 且与直线OA垂直的直线的方程;

(Ⅲ)设过点M(m, 0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点, ME=2DM, 设D和E两点间的距离为f(m), 求f(m)关于m的表达式

.

47. (2009浙江, 22, 15分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点的距离为(Ⅰ)求p与m的值; .

(Ⅱ)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0), 过P的直线交C于另一点Q, 交x轴于点M, 过

点Q作PQ的垂线交C于另一点N. 若MN是C的切线, 求t的最小值

.

48. (2010湖北, 20, 13已知一条曲线C在y轴右边上每一点到点F(1, 0)的距离减去它到y

(Ⅰ);

m, 且与曲线C的任一直线,

都有²

49. (2010福建, 19, 5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1, -2).

(Ⅰ)求抛物线C的方程, ;

(Ⅱ)为坐标原点)l与抛物线COA

?若存在, l的方程;若不存在,

50.(2011浙江, 22, 15分)如图, 设P是抛物线C1:x2=y. 过点P作圆C2:x2的两条切线, 交直线l:y=-3于A, B两点.

(Ⅰ)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离;

(Ⅱ)是否存在点P, 使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由

.

的直线交抛物线51. (2011江西, 19, 12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为2

于A(x1, y1), B(x2, y2)(x1

(Ⅰ)求该抛物线的方程;

(Ⅱ)O为坐标原点, C, 若 感谢您的支持，智行数学，[1**********]

=+

λ, 求λ的值.

答案

高中文数： 1.B 2.A ： ： 4.B ： 5.D 6.D ： 8.B ： ： 10. B ： 11. A ： 14. D ： 15. B ： 17.C ： ： 20.C ： ： 22. C ： ： 24.D

： 25.(I) 1；

(II) ：

29.

： 26. ： 27.2 ：

28. ；

； ： 33.

， -

： 31.

： 36.

34.

37.解法一（1P，半径为

则点P到直线的距离，

所以, 所以，

整理得．

即轨迹的方程为． …………………………2分

（2）由（1）知轨迹的方程为，即，则．

设点，则．

第11页 / 共 34页

所以直线

．

，所以，

所以，整理得又，．

所以，

．

又，，

所以，

所以又

，

，

所以． …………………………………7分

第12页 / 共 34页

（3）由于点到的距离等于，

所以

，

又，

所以直线的方程为：．

由于，不妨设点在上方，如图所示，则，

直线AB的方程与轨迹的方程联立得

解得点的坐标为．

所以，

同理可得．

第13页 / 共 34页

由（2

）知

，所以，即．

，

解得．

当

，所以所以直线的方程为，即．

当

时，点，，

的方程为，即．综上所得，直线的方程为，或． ………14分

解法二（1）设动圆圆心为依题意得点

到定点

， 的距离和点

到定直线

的距离相等，

根据抛物线的定义可知，动点定点

为焦点，定直线

的轨迹是抛物线．

为准线．

所以动圆圆心的轨迹的方程为． …………………………2分

（2）同解法一

第14页 / 共 34页

（3）因为点到的距离等于，

所以

由（2

）知，

所以，即．

由（2）知，．

．

所以． ①

由（2）知． ②

由于，，

不妨设点在上方，如图所示，则，

由①②解得

所以，又，

第15页 / 共 34页

所以

以下同解法一． ： 38.（Ⅰ）设，

由于

是抛物线

，

M、F、O则圆心Q一定在线段FO

，

所以，

又点

，解得，

所以抛物线的方程是.

（Ⅱ）假设存在点，

由（Ⅰ）知抛物线的方程是，所以，则，

抛物线在点M处的切线MQ的斜率为，

所以切线MQ的方程是，

由（Ⅰ）知，则，

第16页 / 共 34页

令，解得，所以Q(

，

所以，

所以

，所以M.

即存在点，使得直线与抛物线相切于点M. ： 39.(Ⅰ)抛物线C的准

线为直线

与

，

则，

直线方程与抛物线方程联立得

消去整理得，……(*)

∵，且，

∴，

∴直线l与抛物线C恒有两个不同交点. ……4分

（Ⅱ）设，

第17页 / 共 34页

由(*)可得，

∴，

又原点

∴，解得，

又由(Ⅰ) 知有，

∴，

又，整理得

解得，

令，则，

第18页 / 共 34页

∴又，

∴函数

上是减函数，

.

即存在m且

40.解法一(1)

此时实数P的取值范围为

,设

. ………….………...10分 ： ，

.

又的面积为，∴，

解得 …………4分

(2)由题意得，

首先求抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

设抛物线在处的切线的斜率为,则其方程为，

联立

第19页 / 共 34页

得，

代入上式得:

，

，

即，

即，得

即抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为…………9分

设直线

，的方程为,则直线的方程为.

直线的方程与抛物线方程联立

消去得，(1)

则方程(1)有两个根，

，

，，

则,

第20页 / 共 34页

同理可得，…………12分

的斜率.

直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

…………14分 （2）由题意得

，

首先求抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

，抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为 ………9分

设，

，，

又，∴,

整理得. …………12分

直线

. 直线

在点

处的切线的斜率. ………，

分 ： 41. ：（Ⅰ）∵点

到抛物线准线的距离为

∴

．2分

轴时，点

，

设，，

∴

．

．7分

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点

，∴直线

的方程为

，∴

，

，可得，

联立方程组，得，

∵

∴，．5分

同理可得，

．7分

，∵

，

可得，直线的方程为，

同理，直线

，

，

，9分

∴直线

，可得，

∵关于的函数在单调递增，

∴．12分

法二：设点，，．

以为圆心，为半径的圆方程为，①

⊙方程：．②

①-②得：

直线的方程为．

当时，直线

轴上的截距，

∵的函数在∴|FA|=

p.

： 42.(1) 由已知可得△BFD为等腰直角三角形, |BD|=2p, 圆F的半径

由抛物线定义可知Ad=|FA|=p.

4解得p=-2(舍去) , p=2.

, 所以

,

即²2p²p=4所以F(0, 1) , 圆F的方程为x2+(y-1) 2=8.

(2) 因为A, B, Fm上, 所以AB为圆F, ∠ADB=90°.

|AB|,

所以∠ABD=30°, m

或-.

当m的斜率为时, 由已知可设n: y=

x+b, 代入x2=2py得x2-

px-2pb=0.

由于n与C只有一个公共点, 故Δ=p2+8pb=0.

解得b=-.

因为m的截距b1==3, 所以坐标原点到m, n距离的比值为3.

当m的斜率为-时, 由图形对称性可知, 坐标原点到m, n距离的比值为3. ： 43.

(2007安徽, 18, 14分)设F是抛物线G:x2=4y的焦点. (Ⅰ)过点P(0, -4)作抛物线G的切线, 求切线方程; (Ⅱ)设A, B为抛物线G上异于原点的两点, 且满足

²

=0, 延长AF, BF分别交抛物线G

于点C, D, 求四边形面积的最小值. 40.

(Ⅰ)设切点

Q

. 由y'=, 知抛物线在Q, 故所求切线方程为

y-=(x-x0), 即y=x-. 因为点P(0, -4)=16, x0=±4.

所求切线方程为y=±(Ⅱ)设A(x1, y1), C(x2, y2).

由题设知, 直线AC, 由对称性, 不妨设 因直线AC所以直线AC

的坐标满足方程组得x2-4kx-4=0,

由根与系数的关系知

|AC|=

=

=4(1+k2).

因为AC⊥BD, 所以BD的斜率为-, 从而BD的方程为y=-x+1.

同理可求得|BD|=4=.

SABCD=|AC||BD|==8≥32.

当k=1时, 等号成立. , 四边形ABCD32. ： 44.解法一:()设A(x1, 2

把y=kx+2代入-kx-2=0,

x1+x2=

∴ xN=xM

==, ∴ N点的坐标为.

设抛物线在点Nl的方程为y-=m2代入上式得2x2-mx+

∵ 直线l与抛物线C相切,

∴ Δ=m2-8=m22=(m-k)2=0,

∴ m=k, 即l

(Ⅱ)假设存在实数k, 使又∵ M是AB的中点,

²

=0, 则NA⊥NB,

∴ |MN|=|AB|.

由(Ⅰ)知yM

=(y1+y2

)=(kx1+2+kx2+2)

=[k(x1+x2)+4]

==+2.

∵ MN⊥x轴,

∴N|=+2-=. 又|AB|=

²|x1-x2|

=²

=

=².

=², 解得k=±2. 即存在. k=±2使²=0.

解法二:(Ⅰ)设

2

, 2), 把2得2x2-kx-2=0,

x1+x2=, x1x2

∴xN=xM

==,

∴N点的坐标为

. ∵y=2x2, ∴y'=4x,

∴抛物线在N处的切线l的斜率为4³=k, ∴l∥AB. (Ⅱ)假设存在实数k, 使

²

=0,

由(Ⅰ)知=,

=, 则

²=+

=+4

²=²

=²

==0,

∵-1-

即存在k=±2, 使yF),

²

： 45.(Ⅰ)证明:设A(x

)、B(x2

, )、E(xE, yE)、F(xF,

的方程:y=即y=(x1+x2)x-x1x2,

(x-x1)+因为M(x0, y0)在AB上, 所以y0=(x1+x2)x0-x1x2①

又直线AP方程:y=

x+y0,

由

得x2-

x-y0=0,

所以x1+xE=⇒xE=-, yE

=.

同理, xF=-, yF

=,

所以直线EF的方程:y=-

y0x-.

令x=-x0得y=20-y0],

y=y0, 即N, E、F、N(Ⅱ)由已知A、B、M、N共线, 有A(-以AB0)2=y0,

, y0), B(, y0),

由

得y2-(2y0

-1)y+所以y=y0, y=y0-1,

要使圆与抛物线有异于A、B的交点, 则y0-1≥0,

所以存在y0≥1, 使以ABB的交点T(xT, yT), 则yT=y0所以交点T到AB0-yT=y0-(y0-1)=1. )由题意, 可设抛物线方程为y2A(2, 2)在抛物线C因此, 抛物线Cy2=2x. Ⅱ)由(Ⅰ)可得焦点F

, 又直线OA的斜率为OA率为-1. 因此, 所求直线的方程是x+y-=0.

(Ⅲ)解法一:设点D和E的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2), 直线DE的方程是y=k(x-m), k≠0. 将x=+m代入y2=2x, 有ky2-2y-2km=0, 解得y1, 2=1+

=2(

-1). 化简得k2=. 因此

(y1-y2)2

=

=(m2+4m).

. 由ME=2DM知

DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

所以f(m)=(m>0).

解法二:设D

=2

. 得

t2

-m=2

, t-0=2(0-s).

因此t=-2s, m=s2. 所以

f(m)=DE=4-

= 47.(Ⅰ)又m2=8p, 所以p=, m=±2.

(Ⅱ)由p=, 得抛物线的方程为y=x2. 由题意可知, 直线PQ的斜率存在且不为0. 设直线PQ的方程为:y-t2=k(x-t)(k≠0),

令y=0, 得M .

解方程组

得Q(k-t, (k-t)2).

由NQ⊥PQ, 得直线NQ的方程为:y-(k-t)2=-(x+t-k),

解方程组得

N在点N

y-=2 . ①

将点M的坐标代入式①, 得

时, t=k+>0,

故k>0, 此时, t=k+≥2=2;

当t-k-≠0时,

+t-=0,

即k2+tk+1-2t2=0, 此时, Δ=9t2-4≥0.

因为t>0, 所以t≥.

当t=时, k=-

, P, Q(-1, 1), N(4, 16), 符合题意. 综上, t的最小值为. ： 48.(Ⅰ)

-x=1(x>0). 设P(x, y)是曲线C上任意一点, 那么点P(x, y)满足:

化简得y2=4x(x>0).

(Ⅱ)设过点M(m, 0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1, y1), B(x2, y2).

设l的方程为x=ty+m, 由得y2-4ty-4m=0,

Δ=16(t2+m)>0, 于是

又=(x1-1, y1

), =(x2-1, y2). ①

²

又

+1

⇔+y1y

2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1

由①式, 不等式③等价于m2-6m+1

对任意实数t, 4t20, 成立等价于m2-6m+1

m, 对于过点

且与曲线C

有两个交点, 都有

(Ⅱ)l, 其方程为y=-2x+t,

由

l与抛物线C, 所以Δ=4+8t≥0, 解得t.

另一方面, 由直线OA与l的距离d=

1∈, 可得=, 解得t=±1. 因为-1∉,

所以符合题意的直线

l存在, 其方程为2x+y-1=0. ： 50.(Ⅰ

)因为抛物线C1的准线方程为:y=-, 所以圆心M到抛物线

C1准线的距离为:=.

(Ⅱ)设点P的坐标为(x0, ), 抛物线C1在点P处的切线交直线l

于点D.

再设A, B, D的横坐标分别为xA

, xB, xD,

过点P(x0, )的抛物线C1的切线方程为:

y-=2x0(x-x0). ①

当x0=1时, C2的切线PA为

=-, xB=1, xD=-1, xAD.

当x0=-1时, 过点P(-1, 1)与圆C2的切线PB为:y-1=-(x+1), 可得xA=-1, xB=, xDA+xB≠2xD. 所以-1≠

设切线k1, k2, 则

=k1(x-x0), ② PB:y-=k2(x-x0). ③

将y=-3分别代入①xD=00);xA=x0-;xB=x0

1, k2≠0).

从而xA+xB=2x0-(+3),

又=1, 即(-1)-2(+3)x0k1+(+3)2-1=0, 同理, (-1)-2(+3)x0k2+(+3)2-1=0.

所以k1, k2是方程(-1)k2-2(+3)x0k+(+3)2-1=0的两个不相等的根, 从而k1+k2=, k1²k2=.

因为xA+xB=2xD,

所以2x0-(3+

,

即+=.

=, 进而得=8, x0=±.

： 51.(Ⅰ)直线AB综上所述, 存在点P, 点P的坐标为(±

是y=

, 与y2=2px联立, -5px+p2=0, 所以x1+x2=.

由抛物线定义得|AB|=x1

所以p=4, y2=8x.

(Ⅱ)2-5px+p2=0 从而x1=1, x2=4, y1=-2

从而A(1, -2

设), B(4, 4, y2=4). )=(4λ+1, 4λ-2), , =(x3, y3)=(1, -2)+λ(4, 4

又=8x3, 即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1, 解得λ=0或λ=2.