复合函数的单调性
复合函数的单调性
一、复合函数的概念
如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y =f (u ) ，u =g (x ) ，那么y 关于x 的函数
y =f (g (x )) 叫做函数y =f (u ) 和u =g (x ) 的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函
数值为y 。 例如：函数y =2x
2
+1
是由y =2u 和u =x +1 复合而成立。
2
二、复合函数单调性判定方法：在复合函数 y =f (g (x )) 中，若u =g (x ) 在区间[a , b ]上是单调增（减）函数，y =f (u ) 在区间[g (a ), g (b ) ]上（或在区间[g (b ), g (a ) ]上）是单调增（减）函数，那么复合函数y =f (g (x )) 在区间[a , b ]上一定是单调函数，它的增减性如下表：
规律：同增异减
三、基本初等函数的单调性、
1一次函数 y=kx+b（k ≠0）的单调区间是 。 2. 反比例函数y =
k
(k ≠0) 的单调区间是。 x
2
3．二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的单调区间是 4、指数函数y =a （a ＞0，a ≠1）的单调区间是。 5、对数函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）的单调区间是。 例1 求下列函数的单调区间： y=log4(x－4x+3)
2
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log1 (2x－x )
32
x
2
7-6x -x 例3 求y=的单调区间.
例4
12
() x -2x -1
求y=2的单调区间
练习题
求下列复合函数的单调区间.
1
22
1.y=log3(x－2x); 2.y=log2(x－3x+2)；
3.y=-x +5x -6, 4.y=0. 7;
2
1x
1x +3() 3-x
35.y=2; 6.y=, 12log (4x -x ) log x
2
π7.y=3； 8.y=；
2
2
x -6x ； 10.y=72x -x ； 9.y=
2
函数的基本性质
一、典型选择题 1．在区间
上为增函数的是（ ）
A ． B． C． D．
（考点：基本初等函数单调性） 2
．函数A ．
B．
是单调函数时，的取值范围 （ ） C ．
D．
（考点：二次函数单调性） 3．如果偶函数在
具有最大值，那么该函数在
有 （ ）
A ．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
（考点：函数最值） 4．函数
，
是（ ）
有关
A ．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与（考点：函数奇偶性） 5．函数A ．
在
和 B．
都是增函数，若
C．
，且
那么（ ）
D．无法确定
（考点：抽象函数单调性） 6．函数A ．
在区间
是增函数，则
C．
的递增区间是 （ ）
D．
B．
（考点：复合函数单调性）
7．函数在实数集上是增函数，则 （ ）
A ． B ． C ． D．
（考点：函数单调性） 8．定义在R 上的偶函数A ．C ．
，满足 B． D ．
，且在区间
上为递增，则（ ）
（考点：函数奇偶、单调性综合） 9．已知（ ） A ．C ．
（考点：抽象函数单调性） 二、典型填空题 1．函数
在R 上为奇函数，且
，则当
，
B．
D．
在实数集上是减函数，若，则下列正确的是
.
（考点：利用函数奇偶性求解析式） 2．函数
，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .
（考点：函数单调性，最值） 三、典型解答题 1．（12分）已知
（考点：复合函数单调区间求法）
，求函数
得单调递减区间.
2．（12分）已知，，求.
（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）