抽象函数定义域问题的教学反思

抽象函数定义域问题的教学反思

【摘要】抽象函数定义域问题一直是学生学习的难点，如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者从四个方面提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。

【关键词】抽象 概念 形象化 具体化 逐步渗透

函数出现在苏教版必修一第二章节，作为高考的必考内容，函数占了相当大的比例和分量，而其中抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是初学时求其定义域，许多同学解答起来总感觉到棘手．所以如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。

1、理解函数概念，追溯问题源头

新课改以来，概念教学的重要性日益提高，李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”但在实际的一线教学中，许多教师并不重视概念教学，一到概念教学就觉得“没意思，没用，难教”等等，往往就走走过场，既没有在概念的背景上下工夫，也不让学生经历概念的概括生成过程，以解题教学代替概念教学。

抽象函数定义域问题归根结底还是要回归到函数概念上。抽象函数通常指一类没有给出具体解析式的函数, 其概念是非常简单的形式定义, 它的意象表征抽象而又比较灵活, 学生理解有相当难度, 很难明确概念的内涵, 并对概念的本质属性准确揭示。而抽象概念学习是整个抽象函数的基础, 概念不清就谈不上进一步讨论抽象函数的其它问题。一般地, 设A 、B 是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A 中的每一个数x, 在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f:A→B为集合A 到集合B 的一个函数, 其中x 叫做自变量,x 的取值范围也就是集合A 叫做函数的定义域. 因此任何函数的定义域都是指自变量x 的取值范围. 正是由于定义域中自变量x 的首先变化，引起了函数值的变化，所以，函数的定义域确切的说是函数中首先变化的那个量的所有取值组成的集合。

2、抽象知识形象化，激发学生的学习兴趣

本人任教农村中学的高中数学, 学生基础较差, 接受能力较弱。绝大多数同学学不好数学, 在于上课听不懂, 对抽象知识难以理解。这就需要教师时时刻刻地站

在学生的角度上去形象地理解知识, 要把抽象的知识形象化, 只有这样才能激发起学生的学习数学的兴趣。苏教版教材中对函数定义用了一个很形象化的图形, 笔者在授课时把它比作一个加工厂，其中x 看作输入的原料，f 看作加工的程序，对应的输出值f(x)就是相应的产品。

书中定义了所有的输入值函数f(x)的定义域，那么一个函数的定义域就是其中

自变量x 的范围，在相同的对应法则下输入值必须满足

在该范围下才能代入f (x ) x f f(x) 的小括号内。就好比我们加工厂

的原料应该满足的一定条件才能进入这套加工程序。如果不满足条件则不能进入加工程序。如：

输入值代入f (x ) =x +1, x ∈[1,3]，输入1，则输出f (1)=2，而4却不能作为x +1f (x ) 中，原因是4∉[1,3]，那么意味着如果输入的是，则x +1∈[1, 3才行。这就为我们后面讲解抽象函数定义域问题埋下伏笔。用了这样]

一个形象化的图形和比喻使抽象的概念更加生动化，更容易点燃学生学习的热情。

3、抽象知识具体化，贴近学生思维发展区

因为从初中到高中，学生在学习数学上的跨度比较大，初中数学相对高中数学更具体化，所以高中数学的抽象化成为学生学习路上的一道屏障。为了能够让学生顺利适应这样的学习，笔者认为在教学中可将抽象问题具体化，这样更符合学生的思维发展过程。在抽象函数定义域这一问题上笔者把它放到了求函数解析式问题中解决。

例1 已知函数f +1) =x +，求函数f (x ) 的解析式和定义域。

2解：（换元法）令t

所以

所以2=1（显然其中t ≥1），则x =(t -1) 2 f (t ) =(t -1) +2(t -1) =t -1（t ≥1） f (x ) =x -1，函数的定义域为[1,+∞) 2

=1的范围点评：显然函数y =f 1) =x +2的定义域是[0, +∞) ，故t 相当于f (t ) =t -12是[1,+∞) ，而函数

f 1) =x +f (x ) =x -1中的x 的t ，即相当于函数1 ， 所以x 的范围也是[1,+∞) ，即定义域是[1,+∞)

在这个问题后，笔者顺手一改，把题目变为“已知函数

[0, +∞) ，求函数f (x ) f +1) 的定义域为的定义域。”有了上面有具体解析式的函数的铺垫，学生随口而出.

变式：已知函数f (x ) 的定义域是[-1, 5]，求函数f (x -5) 的定义域。

解：由于f(x)的定义域为[-1,5]，即f 这个法则所要求的作用对象必须落在[-1,5]这个区间内，所求f(x-5)这个函数的定义域，是要求我们求x 的范围，但是这个函数的法则的作用对象变成了(x-5)这个整体，所以必须要求（x-5) 这个整体落在

[-1,5]的区间内，所以需要解-1≤x-5≤5 得4≤x≤10

4、抽象问题逐步渗透，循序渐进，环环相扣

数学是一门知识点环环相扣的学科，把新学知识纳入已有的知识框架中去形成一个知识链，交汇融合是非常重要的，而知识点的综合运用能力也是高考考察的目标。抽象函数定义域问题在函数学习中也在逐步渗透，旨在让学生逐步加深对函数的理解与应用。

例2 已知

围.

⎧x -2

⎪本题的正确解答是：由题意得⎨-1≤x -2≤1

⎪-1≤1-x ≤1⎩f (x ) 是定义在[-1,1]上的增函数，且f (x -2)

本题是抽象函数问题中单调性和定义域的简单综合，意在让学生理解概念的本质，考察学生思维的严谨性。

5 、结束语

课堂教学虽然仍是当前教学的注意形式，但长期以来却是教者一味地灌输，学生死记硬背，知其然，不知其所然。这种“填鸭式”的教学与“机械模仿式”的练习，显然能力是不可能提高的。要改变这种状况，必须下决心改进教学方法，努力实行启发式教学，注意有机的运用观察与比较、分析与综合、抽象与概括、归纳与演绎等方法。并在实施教学过程中要善于创设教学情境，调动他们的学习积极性。在教学过程中能够以学生为本，注重学生的思维发展，能力的培养，从多角度挖掘教材，最大限度的开发学生思维。

参考文献：

王庆丰 用继承和发展的眼光看函数概念的教学 中学数学教学参考上旬 2011.4

章士藻 高师数学教学应重视培养能力与发展智力 章士藻数学教育文集 2008.12