数列(高三数学第二轮复习专题讲座)

数学复习专题讲座之数列

一、知识梳理

数列概念

1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2. 通项公式：如果数列通项公式，即a n

a n 的第n , 那么这个公式叫做这个数列的

{a n }的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n -1（或前几

=f (a n -1) 或a n =f (a n -1, a n -2) ，那么这个式子叫做数

=f (n ) .

3. 递推公式：如果已知数列

项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n 列

公式.

4. 数列的前n 项和与通项的公式

{a n }的递推公式. 如数列{a n }中，a 1=1, a n =2a n +1，其中a n =2a n +1是数列{a n }的递推

⎧S 1(n =1)

①S n =a 1+a 2+ +a n ； ②a n =⎨.

S -S (n ≥2) n -1⎩n

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何n ∈N +, 均有a n +1②递减数列:对于任何n ∈N +, 均有a n +1③摆动数列:例如: -1, 1, -1, 1, -1, . ④常数数列:例如:6,6,6,6,„„. ⑤有界数列:存在正数M 使

>a n .

a n ≤M , n ∈N +.

⑥无界数列:对于任何正数M , 总有项a n 使得a n >M

.

等差数列

1. 等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.

2. 通项公式与前项和公式

⑴通项公式a n

=a 1+(n -1) d ，a 1为首项，d 为公差.

⑵前n 项和公式S n 3. 等差中项

=

n (a 1+a n ) 1

或S n =na 1+n (n -1) d .

22

A 叫做a 与b 的等差中项.

即：A 是a 与b 的等差中项⇔2A =a +b ⇔a ，A ，b 成等差数列.

如果a , A , b 成等差数列，那么4. 等差数列的判定方法 ⑴定义法：a n +1

-a n =d （n ∈N +，d 是常数）⇔

{a n }是等差数列；

⑵中项法：2a n +1⑴数列

=a n +a n +2(n ∈N +) ⇔{a n }是等差数列.

5. 等差数列的常用性质

{a n }是等差数列，则数列{a n +p }、{pa n }（p 是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n , a n +k , a n +2k , a n +3k , 为等

差数列，公差为kd .

⑶a n

=a m +(n -m ) d ；a n =an +b (a , b 是常数) ；S n =an 2+bn (a , b 是常数，a ≠0)

⑷若m +n

=p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m +a n =a p +a q ；

⑸若等差数列

S n ⎫

{a n }的前n 项和S n ，则⎧⎨⎬是等差数列；

⎩n ⎭

⑹当项数为2n (n ∈N +) ，则S 偶-S 奇=nd ,

S 偶S 奇

=S 偶S 奇

a n +1

a n =

；

当项数为2n -1(n ∈N +) ，则S 奇-S 偶=a n ,

n -1

. n

等比数列

1. 等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q (q 列，常数q 称为等比数列的公比.

≠0) ，这个数列叫做等比数

2. 通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式：a n

=a 1q n -1，a 1为首项，q 为公比 .

=1时，S n =na 1

⑵前n 项和公式：①当q

a 1(1-q n ) a 1-a n q

=②当q ≠1时，S n =.

1-q 1-q

3. 等比中项

如果a , G , b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，

4. 等比数列的判定方法 ⑴定义法：

A ，b 成等差数列⇒G 2=a ⋅b .

a n +1

=q （n ∈N +，q ≠0是常数）⇔{a n }是等比数列； a n

2

⑵中项法：a n +1⑴数列

=a n ⋅a n +2(n ∈N +) 且a n ≠0⇔{a n }是等比数列.

5. 等比数列的常用性质

{a n }是等比数列，则数列{pa n }、{pa n }（q ≠0是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n , a n +k , a n +2k , a n +3k , 为等

比数列，公比为q .

⑶a n

k

=a m ⋅q n -m (n , m ∈N +)

⑷若m +n

=p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；

⑸若等比数列

{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k -S k 、S 3k -S 2k 、S 4k -S 3k 是等比数列.

二、典型例题

A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4=9, a 9=-6, S n =63，求n ；

2、等差数列{a n }中，a 4=10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20．

3、设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1=1, a 5=16，求数列{a n }前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间

两数之和为36，求这四个数.

2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6=100，则S 11= 2、设S n 、T n 分别是等差数列{a n }、{a n }的前n 项和，3、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

S n 7n +2a

，则5= . =

b 5T n n +3

a 55S

=, 则9=（ ） a 39S 5

S a 2n

4、等差数列{a n }, {b n }的前n 项和分别为S n , T n , 若n =, 则n =（ ）

T n 3n +1b n

5、已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S n =m , S m =n (n ≠m ) ，则S m +n =

6、在正项等比数列{a n }中，a 1a 5+2a 3a 5+a 3a 7=25，则a 3+a 5=_______。 7、已知数列{a n }是等差数列，若

a 4+a 7+a 10=17, a 4+a 5+a 6+ +a 12+a 13+a 14=77且a k =13, 则k =_________。

8、已知S n 为等比数列{a n }前n 项和，S n =54，S 2n =60，则S 3n = .

9、在等差数列{a n }中，若S 4=1, S 8=4，则a 17+a 18+a 19+a 20的值为（ ） 10、在等比数列中，已知a 9+a 10=a (a ≠0) ，a 19+a 20=b ，则a 99+a 100= . 11、已知{a n }为等差数列，a 15=8, a 60=20，则a 75= 12、等差数列{a n }中，已知

S S 41

=, 求8. S 83S 16

B 、求数列通项公式

1） 给出前几项，求通项公式

1,0,1,0, ……

1, 3, 6, 10, 15, 21, ,

3，-33,333，-3333,33333„„

2）给出前n 项和求通项公式

n 2

1、⑴S n =2n +3n ； ⑵S n =3+1. 2、设数列{a n }满足a 1+3a 2+3a 3+…+3a n =

2

n-1

n

(n ∈N *) ，求数列{a n }的通项公式 3

3）给出递推公式求通项公式

a 、⑴已知关系式a n +1=a n +f (n ) ，可利用累加法或迭代法；

a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +(a n -2-a n -3) + +(a 2-a 1) +a 1

例：已知数列{a n }中，a 1=2, a n =a n -1+2n -1(n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式；

b 、已知关系式a n +1=a n ⋅f (n ) ，可利用累乘法. a n =例、已知数列{a n }满足：

a n n -1=(n ≥2), a 1=2，求求数列{a n }的通项公式； a n -1n +1

a n a n -1a n -2a a

⋅⋅⋅ ⋅3⋅2⋅a 1

a n -1a n -2a n -3a 2a 1

c 、构造新数列

1°递推关系形如“a n +1=pa n +q ”，利用待定系数法求解

2°递推关系形如“，两边同除p

n +1

例、已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.

或待定系数法求解

例、

3°递推已知数列{a n }中，关系形如“a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n ”，利用待定系数法求解 例、已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=3a n +1-2a n ，求数列{a n }的通项公式.

（4°递推关系形如" a n -pa n -1=qa n a n -1p,q ≠0) , 两边同除以a n a n -1 例2、数列{a n }中，a 1=2, a n +1=

d 、给出关于S n 和a m 的关系

例1、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a , a n +1=S n +3(n ∈N +) ，设b n =S n -3，

n

n

a 1=1, a n +1=2a n +3n ，求数列{a n }的通项公式.

（例1、已知数列{a n }中，a n -a n -1=2a n a n -1n ≥2),a 1=2，求数列{a n }的通项公式.

2a n

(n ∈N +) ，求数列{a n }的通项公式.

4+a n

求数列{b n }的通项公式．

2

例2、设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =a n S n -

⑴求{a n }的通项； ⑵设b n =

⎛

⎝

1⎫

⎪(n ≥2) . 2⎭

S n

，求数列{b n }的前n 项和T n . 2n +1

C 、证明数列是等差或等比数列

1) 证明数列等差

例1、已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n =

S n

数列{b n }是等差数列. (n ∈N +) . 求证：

n

1. 2

例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1= 求证：{

1

}是等差数列； S n

2）证明数列等比

⎛1⎫

例1、设{a n }是等差数列，b n ＝ ⎪，求证：数列{b n }是等比数列；

⎝2⎭

例2、数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，若a n +S n =n . 设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等

a n

比数列；

例3、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =4a n +2.

⑴设数列{b n }中，b n =a n +1-2a n ，求证：{b n }是等比数列； ⑵设数列{c n }中，c n =

例4、设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知ba n -2=(b -1)S n

n

n -1

⑴证明：当b =2时，a n -n ⋅2是等比数列；

n 项和.

a n

，求证：{c n }是等差数列；⑶求数列{a n }的通项公式及前2n

{}

⑵求{a n }的通项公式

例5、已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N ).

*

⑴证明：数列{a n +1-a n }是等比数列； ⑵求数列{a n }的通项公式； ⑶若数列{b n }满足4142...4n

b -1b -1

b -1

=(a n +1) b n (n ∈N *), 证明{b n }是等差数列.

D 、求数列的前n 项和

基本方法： 1）公式法， 2）分组求和法.

例1、求数列{2+2n -3}的前n 项和S n . 例2、求数列123， ，(n +

n

1

214181) ， 的前n 项和S n . 2n

例3、求和：2×5+3×6+4×7+„+n（n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1111

=(-) ；

n (n +k ) k n n +k

1n +n +1

=n +1-n ；

111

++ +

1+21+2+31+2+3+ +n 1111

例2、求和：. +++ +

2+13+4+3n +1+例1、求和：S =1+

3）倒序相加法，

x 2

例、设f (x ) =，求：

1+x 211

⑴f (1) +f () +f () +f (2) +f (3) +f (4) ；

111

) +f () + +f (1⑵f () +f () +f (2) + +f (2009) +f (2010).

4）错位相减法，

例、若数列{a n }的通项a n =(2n -1) ⋅3，求此数列的前n 项和S n .

5）对于数列等差和等比混合数列分组求和

n

2

例、已知数列{a n }的前n 项和S n =12n－n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .

E 、数列单调性最值问题

例1、数列{a n }中，a n =2n -49，当数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n =例2、已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=25, a 4=16. 当n 为何值时，S n 取得最大值；

2

例3、数列{a n }中，a n =3n -28n +1，求a n 取最小值时n 的值.

例4、数列{a n }中，a n =n -n +2，求数列{a n }的最大项和最小项.

n

例5、设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n +1=S n +3，n ∈N *．

2

（Ⅰ）设b n =S n -3，求数列{b n }的通项公式；

n

（Ⅱ）若a n +1≥a n ，n ∈N ，求a 的取值范围．

例6、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=3，S n S n -1=2a n (n ≥2) .

*

⑴求数列{a n }的通项公式；

⑵数列{a n }中是否存在正整数k ，使得不等式a k >a k +1对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列{a n }中，前n 项和S n =-(a n -1) 2， （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =

14

1

(n ∈N *) ，T n =b 1+b 2+ +b n ，是否存在最大的整数m ，使得对任意

n (3-a n )

的n 均有T n >

m

总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由。 32

F 、有关数列的实际问题

例1、用砖砌墙, 第一层(底层) 用去了全部砖块的一半多一块, 第二层用去了剩下的一半多一块, „

依次类推, 每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块, 到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始, 计划每年将非绿化面积的

8％绿化, 由于修路和盖房等用地, 原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a 1=

4

, 经过n 年后绿化的面积为a n +1, 试用10

a n 表示 a n +1；

⑵求数列{a n }的第n +1项a n +1；

⑶至少需要多少年的努力, 才能使绿化率超过60%(参考数据:lg 2=0. 3010, lg 3=0. 4771)