社会经济领域中一类扩散现象的数学模型

第32卷第4期2002年7月　　　　　　

　

东南大学学报(自然科学版)

JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)

　

Vol132No14July2002

社会经济领域中一类扩散现象的数学模型

韩瑞珠　　　　　　　　　　盛昭瀚　　

(东南大学应用数学系,南京210096)　　(南京大学管理科学与工程研究院,南京210093)

摘要:利用数学模型讨论社会经济现象中两类群体在互动中的扩散现象规律,指出这种现象是

否保持取决于内增长率.当内增长率小于零时,扩散现象消除的平衡点总存在,并且这个平衡点全局渐近稳定,从而扩散现象逐渐消失.当内增长率大于零时,这个平衡点变得不稳定.但保持扩散现象的平衡点存在惟一.在平衡点,当两类群体人数相等时,它们的接触率与感染率相同.由此推出当内增长率大于零时,扩散现象保持,且在一定条件下有惟一的吸引子.关键词:扩散现象;社会经济领域;数学模型中图分类号:N94　　文献标识码:A　　文章编号:1001-(Mathematicalmodelofadi2economicregion

Zhaohan2

(1of,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)(2andEngineering,NanjingUniversity,Nanjing210093,China)

Abstract:phenomenonintheinteractionoftwocommunitiesisdiscussedthroughmathemati2calmethodsanditispointedoutthatthekindofphenomenonisdecidedbytheintrinsicgrowthrate.Whentheintrinsicgrowthrateislessthanzero,thediseasefreeequilibriumofthemodelexists,anditisglobalasymptoticstable.Sothekindofphenomenondisappearsgradually.Whentheintrinsicgrowthrateislargerthanzero,thediseasefreeequilibriumofthemodelisnotstable,andanonlyepidemicequilibriumofthemodelexists.Attheequilibriumpoint,thecontactrateisequaltotheinfectionratewhenthenumberoftwocommunitiesareequal.Thusthekindofphenomenonkeepsandthereisauniqueattractorundercertaincondition.

Keywords:　diffusionphenomenon;socialandeconomicregion;mathematicalmodel

　　在社会经济领域中,扩散现象时有发生.计算机网络的广泛应用、AIDS流行病在全球范围的肆意蔓延,它们对人类社会政治、经济、文化、生活产生了不同程度的影响.虽然具体现象有着天壤之别,传播方式各式各样,但是抽去其具体内容,它们都可以作为“传染”模型加以描述.在文献[1]中,把非义务教育系统作为一个多阶段传染的模型.在文献[2]中,将流行病与技术转移加以比较,给出在相关人群不加区分情况下的扩散现象模型.然而,在现实生活中,扩散现象受到不同的政治、经济和文化等背景的制约是显而易见的.因此根据实

　收稿日期:2002203214.　基金项目:国家自然科学基金资助项目(69874004,19971013)、

江苏省自然科学基金资助项目(BK99001).

),女,博士生,副教授.　作者简介:韩瑞珠(1959—

际问题的特点,对相关人群进行适当的分类也是必

要的[3,4].例如,网络的传播受到各国、各地区技术水平、市场需求等的影响,人群可以由地区来分类.AIDS受到道德观念、生理特点等的影响,人群可以由性别(sexi)来分类等.正因为如此,本文探讨两类群体互动中的扩散规律.

1　模　型

视研究的具体传播对象为一种“疾病”,并将相关人群分为两类.记Si是在第i类(i=1,2)群体中还未接受“疾病”,但有潜在接受能力的人群;Ii是在第i类(i=1,2)人群中接受“疾病”,并且可以传染给他人的人群

;A是已“感染”了这种“疾病”的人群,λ是进入Si(i=1,2)的吸收率,σ是进入A的速率,μ是与“疾病”无关的原因离开相关人群的

第4期韩瑞珠等:社会经济领域中一类扩散现象的数学模型669

速率,α是与“疾病”有关的原因离开相关人群的速率,β12,β21分别是S2与I1,S1与I2中每对接触伙伴的“感染”率,Ci(t)是在t时刻第i类(i=1,2)的接触率.如果

φi(t)=βjiCi(t)

I(t)

Tj(t)

2　平衡点的存在性和稳定性

引理1　如果连续函数f(t),g(t)满足

dt

)),且b>0,limg(t)=g(t)-bf(t)(t∈[t0,∞

t→∞

=0,则limf(t)=0.

t→∞

式中,Tj=Sj+Ij,i,j=1,2,i≠j

则φi(t)是Si类中,成员在t时刻单位容量的“感染”率.它们的传播过程如图1所示,可以建立如下模型:=λ-(μ+φ1(t))S1(t)dtS=λ-(μ+φ2(t))S2(t)dt(1)=φ1(t)S1(t)-(μ+σ)I1(t)

dt

I)I2(t)=φ2(t)S2(t)-(μ+σdt

)

=σ(I1(t)+I2(t))-(μ+α

dt

并且Si(t0)>0,IiA(t0i,1,2,i≠j.

证　若上述结论不成立,则记limf(t)=a.

t→∞

不妨假设a>0,进一步认为存在n,m,tm>tn,使

得当t>tn时,0

n

m

f(tm),|g(t)|

2

(a-

n

).

利用g,f的连续性,作[tn,tm]上的开复盖

()

S:任取tα∈[tn,tm],当

,

t时,

dt

(,Sα也为含有tα的一个开区

t

,使得当t∈Sα时,f(t)

n

理知,{Sα}有有限复盖.所以,f(tm)

t→∞

m

与tm

同理,f(t)=0,所以limf(t)=0.证毕.

t→∞

t→∞

2.1　平凡解

图1　传播过程图

进一步认为在任何小的时间段内,由第一类形成的伙伴关系总数等于由第二类形成的伙伴关系总数,则式(1)的解还应满足下列压缩条件

(2a)C1(t)T1(t)=C2(t)T2(t)令ρ(t)=T1(t)/T2(t),由式(2a)知存在函数(仍

记为Ci(t),i=1,2)为ρ(t)的函数,使得

(2b)C2(ρ(t))=C1(ρ(t))ρ(t)这里考虑两类群体最终相等的情况,即

limρ(t)=1.又视接触率为连续函数,则由式(2b)

t→∞

λλ

易知,式(1)有解(S1,S2,I1,I2,A)=(μ,μ,0,0,0),即使扩散现象消除的平衡点总是存在.为了讨论它的稳定性,记

β)BCC(ρR1=,　R2=

μ+σμ+R01=R1(1),　R02=R2(1)

R=R1R2,　R0=R01R02

2

2

()()并且作变换S′i(t)=μ-Sit-Iit,i=1,2.

则式(1)等价于

=-μS′I1(t)1(t)+σdt

=-μS′I2(t)2(t)+σdt

)I1(t)+φ=-(μ+σ1(t)1(t)-I1(t)μ-S′dt

)I2(t)+φ=-(μ+σ2(t)2(t)-I2(t)μ-S′dt

)A(t)=σ(I1(t)+I2(t))-(μ+α

dt

得C2(1)=C1(1).

特别,当传播现象为AIDS流行病时,将相关人群以sexi分类,则式(1)是异性AIDS流行病模型[3].其中,Si是sexi中的易感类;Ii是sexi中的传染类;A是AIDS感染类,i=1,2.

(1′)

λ

并且Ii(t0)>0,S′i(t)+Ii(t)

670

东南大学学报(自然科学版)

β12).

第32卷

λλ

)显然,式(1)的解(μ,μ,0,0,0)就是式(1′

的平凡解(0,0,0,0,0).下面讨论这个平凡解的稳定性.

定理1　使扩散现象消除的平衡点总是存在,并且当R0>1时,这个平衡点不稳定.当R0

)的Jacobian为证　容易算得式(1′

σ-μ00

σ0-μ00

)β00-(μ+σ021C100

00

证　由式(1)得在平衡点处有

λφS1=,I1=

μ+φ1(μ+σ)(μ+φ1)λφS2=,I2=

μ+φ2(μ+σ)(μ+φ2)

于是

φμσφμσ

=ρφ1+μφ2+μ

由函数

(3)

关于x是减函数知,ρφ2.x

2

β12C2σ

)-(μ+σ

)-(μ+σ

σ

由此可得

),从而式当R0>时,式(1′

(1)的平衡点

μ,μ,0,0,0不稳定;

),从而当R0

又在平衡点处

βφ=βφ122由函数

φμ

φ1+μ

,t>t0时,有μ+β1221C1C2

S2+βS=21C1dtdt1

β)I1)S2+1221C1C2(φ1S1-(μ+σμ+β)I2)S=21C1(φ2S2-(μ+σβ21C1I2S1

β-1+

μ+σT2

φ2Ζβ21>β12,

以下只对β21=β12=β的情况进行讨论.定理2　若R0>1,则使得扩散现象保持的平衡点惟一存在,否则不存在.

证　因为β21=β12,由引理2知,在保持扩散现象的平衡点处,ρ=1.于是,R01=R02=R0.由式(3)和φi(i=1,2)的定义可以解得式(1)的平衡点为

3

Si=

μ+(μ+σ)(R0-1)

Ii3=A

3

(x>x是减函数知:β212x

>φφ2.

λ(R)

μ+(μ+σ)(R0-1)μ+σ

Si　　i=1,2

3

β-

μ+σT1

从而

t→∞dtdtdt

0.于是limφ2=0,由式(1)和引理1知:limI2=0.β　　1221C1C2I1S2

t→∞

t→∞

=

σ()

λ)和引理1知:limS′又由式(1′2=0,即limS2=μ.t→∞t→∞

同理limS1=μ.

t→∞

所以limIi=0,limSi=μ(i=1,2),limA=

t→∞t→∞t→∞λλ

0.即μ,μ,0,0,0全局渐近稳定.2.2　非平凡解

)的非平凡解处Ii≠0(i=1或由于在式(1′

2),所以在式(1)的相应解处有Ii≠0(i=1,2),因而,它使扩散现象保持平衡点.

引理2　在保持扩散现象的平衡点处,ρ1)Ζφ1>φ2(φ1β12(β21

因为要保持扩散现象的发生,必须Ii3,Si3>

0(i=1,2,),所以R0>1成立.

引理3　当ρ→1时,I1-I2→0.

证　由式(1)得

d(I-I)

)(I2-I1)==φ2S2-φ1S1-(μ+σdt

βC()

T1

-

βC()

T2

-

(μ+σ)(I2-I1)=βI1I2

-+

T2T1

(C2-C1)I2+++β

T1T2

β)(I2-I1)=C2(I1-I2)-(μ+σ

β(T2-T1)

))(I2-I1)g(t)-(βC2+(μ+σ

其中,g(t)=βI1I-+β(T2-T1)

T2T+T1

第4期韩瑞珠等:社会经济领域中一类扩散现象的数学模型

由引理3和ρ→1知,Ci→Ci(1),所以g(t)→0.

同引理1类似方法可以证明结论成立.

671

→1,I1T2

+βI2(C2-C1),由ρ→1知T1-T2→0,C1-C2T2

→0,所以limg(t)=0,又由引理1知结论成立.

t→∞

定理3　当R0>1时,式(1)有惟一的吸引子

(S13,S23,I13,I23,A3),即limIi=Ii3,limSi=

t→∞

t→∞

3　结　论

在社会经济现象中,两类群体互动中的扩散现象是否保持取决于内增长率(σ+μ)(R0-1)[5],当内增长率小于零时,扩散现象以指数形式衰减,且

R0越靠近1,衰减速度越慢,最终消除.若内增长

Si,i=1,2,limA=A.

t→∞

33

证　由式(1)得　　　　

3

(Ii-Ii3)=-μ(Ti-Ti)-σ

dt

)Ii==φiSi-(μ+σdt

Ci-Ci(1)TjIiTjIi

3

33

率大于零时,则在潜在接受人群中由最初“感染”诱发的继发“感染”数大于1,从而扩散现象保持,(S13,S23,I13,I23,

=

3

A).

βIiβIi

=

Ci-Ci(1)+Ci(1)-C

TjIiTjiTj

TII-1+1-TjIiTj

3

3

,许多.,它们是盛极,.然而计算机网络技术却一马突飞猛进.计算机网络是由美国一项军事研究开始的,由于它能给各行各业带来无限的商机和益处,所以潜在“接受”群体S非常广泛,它们“接受”能力很强,导致“感染”率很高,从而内增长率

βIiCi

3

(Ci-Ci(1))+

()()()(j3-T-T+jiTjTjTjjC(I-Ij3Tjj

记G(Ti)=令V(T1,I1)=σ

()TjTj

T1T1

3

3

(Ti-Tj3)

1

远远大于0,使网络技术迅猛发展,传播全球,不过

3I1

G(x)dx+(I

-)ln

I1

从以上分析可以看到当它发展到一定时期有可能

,则

趋于平稳.

3333V(T1,I1)=0,V(T1,I1)>0,(T1,I1)≠(T1,I1)

　

=G(T1)+ln3+σdtdtI1I1dt

3

参考文献(References)

[1]RobertBBanks.Growthanddiffusionphenomena

[M].New

York:Springer2Verlag,1994.126.

[2]理查德・斯通.社会科学中的数学和其他论文[M].楼

=dt

β33

　σG(T1)-μ(T1-T1)-σ(I1-I1+ln

I1

I+

I-I1

3IβI1C1

33

-1+1-I1T2T2(T2-T1)-

3

×

　(C1-C1(1))+G(T1)+

()T2T2

βC(I2-I23)=g(t)-μσG(T1)(T1-T13)-T2T2ln

I1

(3)

+

I1

(I2-I23)-βI1ln

3

G(T1)I1

3

其中,g(t)=ln3()T2T2

3

I1

3

β+I1C1-+I1I1T2

3

(T2-T1)+1-(C1-C1(1))T2

克明等译.北京:首都经济贸易大学出版社,2000.173176.

[3]DoyleM,GreenhalghD.Asymmetryandmultipleendemic

equilibriainamodelforHIVtransmissioninaheterosexualpopulation[J].MathematicalandComputerModelling,1999,29:4361.

[4]BrauerF,vandenDriesscheP.Modelsfortransmissionof

diseasewithimmigrationofinfectives[J].MathematicalBio2sciences,2001,171:143154.

[5]MurrayJD.Mathematicalbiology[M].NewYork:Springer2

Verlag,1993.629.