原子物理学前三章课后习题答案

第一章．原子的基本状况

1. 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C' 放射的，其动能为7.68×106电子伏特. 散射

物质是原子序数Z=79的金箔. 试问散射角θ=150所对应的瞄准距离b 多大？

解：根据卢瑟福散射公式：

cot

而动能

=4πε0

Mv 2

b 2

2Ze

E k =

1

mv 22

则

cot

=4πε0

E k Mv 2

b =4πεb 022

2Ze Ze

由此，瞄准距离为

Ze 2cot b =

其中：

θ

4πε0E k

Z =79

ε0=8.8542⨯10-12A ⋅s ⋅V -1⋅m -1

e =1.60219⨯10-19C

θ=1500, cot π=3.14159

E k =7.68MeV =7.68⨯106⨯1.60219⨯10-19J

得到：

-192150

Ze 2cot θ79⨯(1.60219⨯10) cot b ==m -126-19

4πε0E k (4⨯3.14159⨯8.8542⨯10) ⨯(7.68⨯10⨯1.60219⨯10)

ο

θ

2

=cot 750=0.2680

2.

=3.9697⨯10-15m

的

已知散射角为θα粒子与散射核的最短距离为

r m

2Ze 21=() (1+) , 24πε0Mv sin 1

试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离r m 多大？

解：

r min

2Ze 21

=() (1+) 2 4πε0Mv sin 2

11

r min

Ze 21=() (1+) θ 4πε0E k sin θ

2

=sin 750=0.96593

其中，θ=150, sin

把上题各参数代入，得到

r min

179⨯(1.60219⨯10-19) 21

=⨯⨯(1+) m -126-19

4⨯3.14159⨯8.8542⨯107.68⨯10⨯1.60219⨯100.96593

=3.0147⨯10-14m

7

-7

4. 钋放射的一种α粒子的速度为1.597⨯10米/秒，正面垂直入射于厚度为10米、密度为

1.932⨯104公斤/米3的金箔。试求所有散射在θ>90ο的α粒子占全部入射粒子数的百分

比。已知金的原子量为197。

解：散射角在θ和θ+d θ之间的α粒子数dn 与入射到箔上的总粒子数n 的比是：

dn

=Ntd σn

其中，N 为金箔单位体积内原子个数，t 金箔的厚度，d σ有效散射截面. 单个原子的质量为：

m Au

197⨯10-3=kg =3.2713⨯10-25kg 236.02217⨯10

N 为金箔单位体积内原子数：

N =

ρ

m Au

1.932⨯104kg /m 3==5.9059⨯1028/m 3 -25

3.2713⨯10kg

而散射角大于90的粒子数dn 为：

'

dn ' =⎰dn =nNt ⎰πd σ

dn '

=Nt ⎰πd σ 所以有：n

=Nt (

14πε0

) 2π(

2Ze 2180ο

d θ ) ⎰90ο

2

Mv sin 3

2

2

cos

θ

积分：⎰

180ο90ο

cos sin 3

θ

d θ=2⎰180ο

90ο

d sin sin 3

θ

=1

22

故

dn ' 122Ze 22

=Nt () π() 2n 4πε0Mv

α粒子的质量为4倍氢原子的质量

M =4M H =4⨯1.67367⨯10-27kg =6.6947⨯10-27kg

已知α粒子的速度为：

v =1.597⨯107m /s

取

ε0=8.8542⨯10-12A ⋅s ⋅V -1⋅m -1

e =1.6022⨯10-19C

π=3.1416

则

dn ' 122Ze 22

=Nt () π() 2n 4πε0Mu

12⨯79⨯(1.6022⨯10-19) 22=5.9059⨯10⨯10⨯⨯3.1416⨯[]-122-2772

(4⨯3.1416⨯8.8542⨯10) 6.6947⨯10⨯(1.597⨯10)

28

-7

=8.4570⨯10-6=8.4570⨯10%

-4

即速度为1.597⨯10米/秒的α粒子在金箔上散射，散射角大于90以上的粒子数占总粒子数的8.4570⨯10

-47ο

.

-2

2

1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为1.05⨯10公斤/米的银箔上，α粒子与银箔表面成60角. 在离α入射线成θ=20的方向上，离银箔散射区距离

ο

L=0.12米处放一窗口面积为6. 0⨯10米的计数器. 测得散射进此窗口的α粒子是全部入射α粒子的百万分之29. 若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z. (有兴趣的同学可以看一下)

解：设靶厚度为t . 非垂直入射时引起α粒子在散射物质中通过的距离不再是散射物质的厚度t ，而是t

'

'

-52

=t ' /sin 60ο，如图1.1所示.

因为散射到θ与

dn

=n

而d σ为：d σ=把(2)式代入(1)dn 12Ze 22d Ω

=Nt () () ……(3) 2n 4πε0Mv 4sin

2

式中立体角元d Ω=ds /L 2, t =t ' /sin 600=2t ' /, θ=200 代入已知数据：

ds =6. 0⨯10-5米2

L =0. 12米

则

ds 6. 0⨯10-5

d Ω=2==4. 1667⨯10-3 2

L 0. 12

设N 为单位体积内原子的个数。则Nt 为单位面上的原子数， 一个银原子的质量为：

'

m Ag =

A Ag N 0

=

107.9-25

g =1.7917⨯10kg 23

6.02217⨯10

m Ag 是银原子的质量；A Ag 是银原子的原子量；N 0是阿佛加德罗常数。

根据已知条件，银箔单位面积上的质量为：

η=1. 0⨯10-2kg /m 2

则

Nt =η/m Ag

'

1. 0⨯10-2kg /m 2==5. 5813⨯1022/m 2， -251. 7917⨯10kg

将各量代入(3)式，得：

dn 21Ze 22d Ω 222

=⨯5. 5813⨯10⨯() ()

n 4πε0Mv 2sin 4

2

α粒子的动能为：

E k =

则

1

Mv 2 2

dn 21Ze 22d Ω 222

=⨯5. 5813⨯10⨯() ()

n 4πε02E k sin 4

2

代入数据

E k =3. 5Mev =3. 5⨯106⨯1. 6022⨯10-19J

ε0=8.8542⨯10-12A ⋅s ⋅V -1⋅m -1

e =1.6022⨯10-19C

π=3.1416

θ=200, sin

θ

2

=sin100=0.1737

dn

=2. 9⨯10-5 n

得到

-3

21Z ⨯(1. 0622⨯10-19) 222224. 1667⨯10 2. 9⨯10=⨯5. 5813⨯10⨯() []-126-194

4⨯3. 1416⨯8. 8542⨯102⨯3. 5⨯10⨯1. 0622⨯10(0. 1737) -5

由此，求得：Z=48.1992，约等于实际值47.

第二章 原子的能级和辐射

1. 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度.

解：电子在第一玻尔轨道上即n=1. 根据量子化条件，

p φ

h

=mvr =n

2π

(1)

当n=1时，电子在最小半径轨道上. 最小轨道半径a 1为：

4πε0h 2

a 1=22=0.5292⨯10-10m

4πme

上式中：

真空介电常数：ε0

=8.8542⨯10-12A ⋅s ⋅V -1⋅m -1

-34

普朗克常数：h =6.6262⨯10J ⋅s

电子静质量：m =9.10956⨯10电子电荷：e

-31

kg

=1.60219⨯10-19C

π=3.141593

设电子在第一波尔轨道上的速度为v ，由(1)式有

h

mva 1=

2π

(2)

-34h 6.6262⨯10v =m /s =-31-10

2πm a 12⨯3.141593⨯9.10956⨯10⨯0.5292⨯10

=2.1885⨯10m /s

6

v 2. 1885⨯106

=H z 频率: ν=-10

2πa 12⨯3. 141593⨯0. 5292⨯10

=6. 5818⨯1015H z

v 2v 2(2. 1885⨯106) 22

==m /s 加速度：w = r a 10. 5292⨯10-10

=9. 0505⨯1022m /s 2

2. 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.

解：电离能为E i =E ∞-E 1，把氢原子的能级公式E n =-Rhc /n 2代入，得：

11

E i =R H hc (2-) =R H hc

1∞

代入数据：

R H =1.0967758⨯107m -1 h =6.6262⨯10-34J ⋅s

c =2.9979⨯108m /s

得到：

E i =Rhc =1. 0967758⨯107⨯6. 6262⨯10-34⨯2. 9979⨯108J

=2.1787⨯10取电子电荷：e

-18

J

=1.60219⨯10-19C

E i 2. 1787⨯10-18电离电势：V i ==V -19

e 1. 60219⨯10

=13. 60V

第一激发能：E 1

1133

=R H hc (2-2) =Rhc =⨯2. 1787⨯1018J

4412

=1. 4360⨯1018J

E 11. 4360⨯10-18

=V 第一激发电势：V 1=-19e 1. 60219⨯10

=10. 20V

3. 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能级跃迁时，会出现哪些波长的光谱线？

解：把氢原子由基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

11

E =hcR H (2-2) 其中hcR H =13. 60电子伏特

1n

1

E 1=13. 60⨯(1-2) =10. 20电子伏特

21

E 2=13. 60⨯(1-2) =12. 09电子伏特

31

E 3=13. 60⨯(1-2) =12. 75电子伏特

4

其中E 1和E 2小于12.5电子伏特，E 3大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到n ≥4的能级上去，所以只能出现n ≤3的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

1

λ1

1

λ2

=R H (

11-) =5R H /362232

ο

λ1=6565A

=R H (

113-) =R H

41222

ο

λ2=1216A

1

λ3

=R H (

118

-) =R H

91232

ο

λ3=1026A

上面各式子中取R H

=1.0967758⨯107m -1.

+

++

4. 试估算一次电离的氦离子He 、二次电离的锂离子Li

的第一玻尔轨道半径、电离电势、

第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值 (三种情况里德伯常数都取R ∞).

解：

(1). 氢原子和类氢离子的轨道半径：

4πε0h 2n 2n 2r ==a 1, n =1, 2, 3⋯⋯22

Z 4πm Ze

4πε0h 2

其中a 1==0. 5292⨯10-10米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；22

4πm e

Z 是核电荷数，对于H , Z =1；对于He +, Z =2；对于Li ++，Z =3；因此，玻尔第一轨道半径之比是

(2). 氢和类氢离子的能量公式：

r He +r H

=

Z H Z 1r ++1

=, Li =H =Z He +2r H Z Li ++3

2π2me 4Z 2Z 2

E =-=E 12, n =1, 2, 3⋯⋯

(4πε0) 2n 2h 2n

2π2me 4

≈-13. 60电子伏特，是氢原子的基态能量。其中E 1=- 22

(4πε0) h

电离能之比：

0-E He +0-E H 0-E Li ++0-E H

22

0-E 1⋅Z He Z He ==2=4, 2

0-E 1⋅Z H Z H

=

20-E 1⋅Z Li ++

0-E 1⋅Z

2

H

=

2Z Li ++

Z

2

H

=9

(3). 第一激发能之比：

21E He +-E He +21E H -E H

21E Li ++-E ++

Li 21E H -E H

2222

E 12-E 12

=4=

1212E 12-E 12

21

3232E 12-E 12

=9=2112E 12-E 12

21

(4). 氢原子和类氢离子的赖曼系公式：

n 1=1112~{v =Z R (2-2) ，n 2=2, 3, 4, ⋯⋯

n 1n 2

2π2me 4

其中R =R ∞=是里德伯常数。 23

(4πε0) h

氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：

111H ~v 1=R (2-2) =H 12λ1

相应地，对类氢离子有：

111He +~v 1=22R (2-2) =He +

12λ1~v 1

因此，

Li ++

111=3R (2-2) =Li ++

12λ1

2

λ

λ

H e +1H 1

=

1λ, 4λ

++

Li ++1H 1

=

1 9

5 试问二次电离的锂离子Li

从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处

+

于基态的一次电离的氦粒子He 的电子电离掉？

解：Li

++

由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

E Li ++

1127271

=9hcR Li (2-2) =hcR Li =hcR ∞

m 44121+M Li

上式中m , M Li 分别为电子和Li 原子核的质量

He +的电离能量为：

111

E He +=4hcR He (2-) =4hcR He =4hcR ∞

m 1∞1+M He

M He 为He 原子核的质量

两个能量之比为

E Li ++E He +

=

27m m (1+) /(1+) 16M He M Li

，

1+由于M He

从而有E Li ++

m m >1+M He M Li

>E H e +，所以能将He +的电子电离掉。

6. 氢与其同位素, 氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线. 试问其巴耳末系的第一条（

H α

）光谱线之间的波长差∆λ有多大？已知氢的里德伯常数

R H =1. 0967758⨯107米-1，氘的里德伯常数R D =1. 0970742⨯107米-1。

解：

1

λH

1

=R H (

11

-) ，λH =36/5R H 2223

λD

=R D (

11-) ，λD =36/5R D 2232

3611(-) 5R H R D

∆λ=λH -λD ==1. 7856A

ο

7. 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“电子偶素”. 试计算“电子偶素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长λ为多少 (已知

R ∞=1.0973731⨯107m -1) ？

解：

1

λ

=R (

11-) =R ∞2212

33

=R m 48∞1+m

1

ο81

λ==m =2430A 7

3R ∞3⨯1. 0973731⨯10

8. 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n 轨道，发射光子的频率v n . 当n>>1时光子频率即为电子绕第n 玻尔轨道转动的频率 (里德伯常数R 取R ∞).

证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的波数为：

~=1=R [1-1] v n

λn n 2(n +1) 2

频率为：v n =

c

λ

=Rc [

112n +1

-]=Rc 2222n (n +1) n (n +1)

2

当n>>时，有(2n +1) /n

(n +1) 2≈2n /n 4=2/n 3，所以在n>>1时，氢原子中电子从

n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的频率为：v n 设电子在第n 轨道上的转动频率为f n ，则

=2Rc /n 3。

v mvr P nh 1

f n ====22

2πr 2πmr 2π2πmr 22πmr

而氢原子轨道半径为：

4πε0n 2h 2

r =

4π2m e 2

则

nh 1nh 1nh (4π2) 2m 2e 42⨯2π2me 42π2me 41f n =====2c

2π2πmr 2(2π) 2mr 2(2π) 2m (4πε0) 2n 4h 4(4πε0) 2n 3h 3(4πε0) 2h 3c n 3

2π2m e 4

而R =R ∞= 23

(4πε0) h c

所以 f n =

2Rc

3n

因此，在n>>1时，有v n =f n

9. Li 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：

~=v

R R +++

Li -。已知Li 原子电离成离子需要203.44电子伏特的22

(1+0. 5951) (n -0. 0401)

+

++

功。问如把Li 离子电离成Li

离子，需要多少电子伏特的功 (里德伯常数取R ∞) ？

解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以Li 离子电离成Li 离子时，有E 1

+

=

R ∞hc Rhc Rhc

-=22

∞(1+0. 5951) (1+0. 5951)

代入数据：

R ∞=1. 0973731⨯107米-1

h =6.6262⨯10-34J ⋅s c =2.9979⨯108m /s

R ∞hc 1. 0973731⨯107⨯6. 6262⨯10-34⨯2. 9979⨯108

E 1==J 22

(1+0. 5951) 1. 5951

=8. 5676⨯10-19J

8. 5676⨯10-19

E 1=eV =5. 35eV

1. 60219⨯10-19

Li ++是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此Li ++→Li +++时，电离能E 3为：

Z 2Rhc E 3=≈9R ∞hc =122. 45电子伏特。 2

1

设Li →Li

+

++

的电离能为E 2。而Li →Li

+++

需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有

E 2=E -E 1-E 3=75. 64电子伏特

12. 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命. 若已知原子束中原子速度v =10米/秒，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命.

解：设沿粒子束上某点A 和距这点的距离S=1.5毫米的 B 点，共振谱线强度分别为

3

I 0和I 1，并设粒子束在A 点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为N 20，原子束

经过t 时间间隔从A 到达B 点，在B 点处于激发态的粒子数为N 2。

光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱线的跃迁几率为A 21，则有：

I 1A N kA N N ∝212=212=2 I 0A 21N 20kA 21N 20N 20

k 为比例系数

由已知条件，可知

I 1N

=2=1/3. 32， I 0N 20

-A 21t

并注意到 N 2=N 20e 则有：

, 而t =S /v ，

N 2

=e -A 21t =1/3. 32 N 20

1v

A 21=(ln3. 32-ln 1) =ln 3. 32

t S 1S 1. 5⨯10-3

t ===3s

A 21v ln 3. 3210⨯ln 3. 32=1. 25⨯10-6s

第三章 量子力学初步

ο

由此求得：

1. 波长为1A 的X 光光子的动量和能量各为多少？

解：根据德布罗意关系式，动量为：

p =

h

λ

-34

取h =6.6262⨯10J ⋅s

6. 6262⨯10-34-24-1p ==6. 6262⨯10kg ⋅m ⋅s -10

10

能量为：E

=hv =hc /λ

取真空中光速c

=3⨯108m /s

E =hc /λ

=6. 6262⨯10-34⨯3⨯108/10-10J =1. 9879⨯10-15J 。

8. 有一粒子，其质量为m , 在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a 、b 、c 在势箱外，势能V =∞；在势箱内，V =0。式计算出粒子可能具有的能量。

解：势能分布情况，由题意知：

0≤x ≤a , V x =0; 0≤y ≤b , V y =0; 0≤z ≤c , V z =0.

x a , V x =∞; y b , V y =∞； z c , V z =∞.

在势箱内波函数ψ(x , y , z ) 满足方程：

∂2ψ∂2ψ∂2ψ2m

+2+2+2[E -(V x +V y +V z )]ψ=0 (1) 2

dx dy dz

解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。

令ψ(x , y , z ) =X (x ) Y (y ) Z (z )

代入(1)式，并将两边同除以X (x ) Y (y ) Z (z ) ，得：

1d 2X 2m 1d 2Y 2m 1d 2Z 2m 2m (-V ) +(-V ) +(-V ) =-E x y z 2222222X dx Y dy Z dz

方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。因此，每一部分都应等于一个常数。由此，得到三个方程如下：

1d 2X 2m 2m

-V =-E x x 222

X dx 1d 2Y 2m 2m

-V =-E y y 222

Y dy

1d 2Z 2m 2m

-V =-E z z

Z dz 2 2 2

其中E =E x +E y +E z , E x , E y , E z 皆为常数。

将上面三个方程中的第一个方程变形，得：

d 2X 2m

+2(E x -V x ) X =0 (2) dx 2

边界条件：X (0) =X (a ) =0

可见，方程(2)的形式及边界条件与一维箱完全相同 [解方程(2)的具体过程参照教材中

一维箱的例子(在课本93-98页)]，因此，其解为：

n π2

sin x x a a

22π 2

E x =n , n x =1, 2, 3⋯⋯x 2

2πa X =

类似地，有

n y π2

Y =sin y

b b π2 22

E y =n y , n y =1, 2, 3⋯⋯2

2πb

n π2

Z =sin z z

c c

π2 22

E z =n z , n z =1, 2, 3⋯⋯2

2πc

n y πy n πx n πz 8

∴ψ(x , y , z ) =sin x sin sin z

abc a b c n

E =(2+2+z 2)

2m a b c

可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量

相当于三个一维箱中粒子的能量之和。

对于方势箱，a =b =c , 波函数和能量为：

2

π2 2n x

n y

2

2

ψ(x , y , z ) =

E =

π2 2

2ma 2

n y πy n x πx n z πz 8

sin sin sin

a a a a 3

2

2

2

n 2, n 2=n x +n y +n z