无穷小与极限
重要极限与无穷小
一、内容提要
1、两个重要极限公式
1
sinx1x
=1； (Ⅱ) lim(1+=e或 lim(1+t)t=e (Ⅰ) lim
x→0x→∞t→0xx
2、拓展定理：
设limu(x)=a>0,limv(x)=b，则limu(x)
x→x0
x→x0
v(x)
x→x0
=a=[limu(x)]
x→x0
b
x→x0
limv(x)
.
1
sin,1,
3、整体效应技巧：lim=1 ; lim(1+=e或lim(1++)+=e
,→0,→∞+→0,,
4、常用公式
tanxln(1+x)ex−1
(1) lim=1； =1 ; (2) lim=1； (3)lim
x→0x→0x→0xxxax−11−cosx1
(4)lim=lna(a>0)； (5)lim=
x→0x→0xx22 (6) lim
arcsinxarctanx
=1； (7)lim=1
x→0x→0xx
5、无穷小量、无穷大量的定义
(1) 若limf(x)=0,则称f(x)为当x→x0(x→∞)时的无穷小量(简称为无
x→x0
(x→∞)
穷小)
(2) 若∀M>0,∃δ>0(或X>0),当0X)时，有f(x)>M则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量(简称为无穷大)，记为
x→x0
(x→∞)
limf(x)=∞.
1
6、无穷小量的性质：
(1) 有限个无穷小量之和(或积)仍为无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量；
(3) 若f(x)≠0,limf(x)=0⇔lim
1
=∞ f(x)
7、函数极限与无穷小量的关系
limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limα(x)=0
8、无穷小量的比较
设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.
若lim
α(x)
=c≠0，则α(x)与β(x)是同阶无穷小. β(x)
α(x)
=0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β) β(x)
α(x)
=1，则α(x)的β(x)是等价无穷小，记为 α~β. β(x)
若lim
特别 lim
9、等价无穷小量的性质
⑴无穷小代换定理：设α1~α2,β1~β2且 lim
β2存在，则ββ
lim=lim2
α2αα2
⑵limβ=α⇔β=α+ο(α)
10、当 x→0时，常见的等价无穷小
1
x~sinx~tanx~arcsinx; 1−cosx~x2,
2
二、答疑解惑
2
(1+x)−1~
1n
1x n
问题1：如何用第二个重要极限的特征来计算极限？
1
答：解题步骤：(1)幂指函数 f(x)g(x)的极限;(2)属 1∞型；(3)设法写成 (1+),
,或 (1++)形式；(4)利用拓展定理.
问题2：能写出当x→0时，常用的等价无穷小吗？ 答：当 x→0时，有sinx~x,tanx~x,ln(1+x)~x,ex−1~x,
1+
ax−1~xlna,1−cosx~
12
x,arcsinx~x,arctanx~x 2
问题3：两个无穷小量的商是否一定是无穷小量？举例说明之.
答：不一定.例如当x→0时，α(x)=x,β(x)=2x都是无穷小，但
α(x)
不是β(x)
无穷小，因为lim
α(x)1
=.
x→0β(x)2
问题4：无穷大量与无界量是同一个概念吗？
答：是两个不同的概念，例如函数y=xcosx在(−∞,+∞)内无界，但当
时却
α(x)=x⋅sin,β(x)=x都是无穷小量，但
lim
1
x
α(x)1
=limsin不存在，故 α(x)与 β(x)无法比较.
x→0β(x)x→0x
3