对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用
一、对勾函数y =ax +
b
(a >0, b >0) 的图像与性质: x
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞) 2. 值域:(-∞, -2ab ]⋃[2ab , +∞)
3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状,
且函数图像关于原点呈中心对称,即f (x ) +f (-x ) =0 4. 图像在一、三象限, 当x >0时,y =ax +
且仅当x b
≥2ab (当
x
,即f (x ) 在x=b 时,取最小值2ab
a
由奇函数性质知:当x
a
5. 单调性:增区间为(b , +∞),(-∞, -b ), 减区间是(0,b ),(-b ,0)
a a a a
二、对勾函数的变形形式 类型一:函数y =ax +
b
(a
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞) 2. 值域:(-∞, -2ab ]⋃[2ab , +∞)
3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限, 当x
a
最小值2ab ;当x >0时,f (x ) 在x=-b 时,取最大值-2ab
a
5. 单调性:增区间为(0,b ),(-b ,0)减区间是(b , +∞),(-∞, -b ),
a a a a
b
类型二:斜勾函数y =ax +(ab
x ①a >0, b
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞) 2.值域:R
3. 奇偶性:奇函数4. 图像在二、四象限,无最大值也无最小值. 5. 单调性:增区间为(-∞,0),(0,+∞).
②a 0作图如下:
1. 定义域:(-∞, 0) ⋃(0, +∞) 2.值域:R
3. 奇偶性:奇函数 4. 图像在二、四象限,无最大值也无最小值. 5. 单调性:减区间为(-∞,0),(0,+∞).
2ax +bx +c 类型三:函数f (x ) =(ac >0) 。
x
c
此类函数可变形为f (x ) =ax +c +b ,可由对勾函数y =ax +上下平移得到
x
x
x 2+x +1
练习1. 函数f (x ) =的对称中心为
x
类型四:函数f (x ) =x +
a
(a >0, k ≠0) x +k
此类函数可变形为f (x ) =(x +k +练习 1.作函数f (x ) =x + 2.求函数f (x ) =x +
a a
) -k ,则f (x ) 可由对勾函数y =x +左右平移,上下平移得到 x +k x
1
与f (x ) =x +3+x 的草图 x -2x +2
1
在(2, +∞) 上的最低点坐标 2x -4x
3. 求函数f (x ) =x +的单调区间及对称中心
x -1
ax a a 类型五:函数f (x ) =2此类函数定义域为R ,且可变形为f (x ) = (a ≠0, b >0) 。=2x +b b x +b
x +
x x
a. 若a >0,图像如下:
1.定义域:(-∞, +∞) 2. 值域:[-a ⋅
12, a ⋅
12]
3. 奇偶性:奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当x >0时,f (x ) 在x =时,取最大值a ,当x
2时,f (x ) 在x=-b 时,取最小值-a
25. 单调性:减区间为(b , +∞),(-∞, -);增区间是
[-b , b ]
练习1. 函数
f (x ) =
x
x 2+1的在区间[2, +∞)上的值域为
b. 若a
1.定义域:(-∞, +∞) 2. 值域:[-a ⋅
1
23. 奇偶性:奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当x >0时,f (x ) 在x =时,取最小值-a ,
2a
当x
2b
, a ⋅
12]
5. 单调性:增区间为(, +∞),(-∞, -b );减区间是[-, ]
练习1. 如a +1=-
2x
x ∈(-1,2),则的取值范围是x 2+4
2a (x +m ) 2+s (x +m ) +t t ax +bx +c
=a (x +m ) ++s (at >0) , (a ≠0) . 可变形为f (x ) =类型六:函数f (x ) =
x +m x +m x +m
则f (x ) 可由对勾函数y =ax +
t
左右平移,上下平移得到 x
1x 2+x +1
练习1. 函数f (x ) =由对勾函数y =x +向、“右”)平移单位,向
x x +1
(填“上”、“下”)平移 单位.
2
x +7x +10
2. 已知x >-1 ,求函数f (x ) =的最小值;
x +12x +9x -9
3. 已知x
x -1
类型七:函数f (x ) =2x +m (a ≠0)
ax +bx +c
x -1
在区间(1, +∞) 上的最大值;若区间改为[4, +∞) 则f (x ) 的最大值为 2
x +x +2x 2+2x +3
2. 求函数f (x ) =2在区间[0, +∞) 上的最大值
x +x +2
x +a +b -a b -a
类型八:函数f (x ) =x +b . 此类函数可变形为标准形式:f (x ) ==x +a +(b -a >0)
x +a x +a x +a
练习1. 求函数f (x ) =
练习1. 求函数f (x ) =x +3的最小值;
x -1
2.求函数f (x ) =x +5的值域;
x +13. 求函数f (x ) =x +2的值域
x +3类型九:函数f (x ) =
x 2+b x +a
2
此类函数可变形为标准形式:f (x ) =
(a >0) 。
(x 2+a ) 2+b -a
x +a
2
=x 2+a +
b -a x +a
2
(b -a >o )
2x +5的最小值; 练习 1.求函数f (x ) =
x 2+42x 2. 求函数f (x ) =2+1的值域 x +17
三、关于求函数y =x +(x >0)最小值的十种解法
1. 均值不等式
1x
x >0,∴y =x +y min =2
2. ∆法
11
≥2,当且仅当x =,即x =1的时候不等式取到“=”。∴当x =1的时候,x x
y =x +
1
⇒x 2-yx +1=0 x
若y 的最小值存在,则∆=y 2-4≥0必需存在,即y ≥2或y ≤-2(舍) 找到使y =2时,存在相应的x 即可。通过观察当x =1的时候,y min =2 3. 单调性定义
x 1x 2-1 1⎫设0
x 1
x 2
⎝
x 1x 2⎭
x 1x 2
当对于任意的x 1, x 2,只有x 1, x 2∈(0, 1]时,f (x 1)-f (x 2)>0,∴此时f (x )单调递增; 当对于任意的x 1, x 2,只有x 1, x 2∈(1, +∞)时,f (x 1)-f (x 2)
∴当x =1取到最小值,y min =f (1)=2
4. 复合函数的单调性
1⎛1⎫
y =x += x -⎪+2 ⎪x ⎝x ⎭
2
t =x -
1x
在(0, +∞)单调递增,y =t 2+2在(-∞, 0)单调递减;在[0, +∞)单调递增
又 x ∈(0, 1)⇒t ∈(-∞, 0) x ∈[1, +∞)⇒t ∈[0, +∞) ∴原函数在(0, 1)上单调递减;在[1, +∞)上单调递增
即当x =1取到最小值,y min =f (1)=2
5. 求一阶导
11
y =x +⇒y ' =1-2 当x ∈(0, 1)时,y ' 0,函
x x
数单调递增。
∴当x =1取到最小值,y min =f (1)=2
6. 三角代换
π⎫,则1令x =tan α,α∈⎛=cot α 0, ⎪
⎝2⎭
x
y =x +
12
=tan α+cot α=x sin 2α
⎛π⎫
α∈ 0, ⎪⇒2α⎝
2⎭
∈(0, π)
∴当α=
π
4
,即2α=
π
2
时,(sin 2α)max =1,y min =2,显然此时x =1
7. 向量
y =x +
11⎛1⎫
=x ⋅1+⋅1=a ⋅b , = x , ⎪, =(1, 1) x x ⎝x ⎭
a
⋅b =
θθ
1
(x
>0)θ的几何意义为在上x
根据图象,为起点在原点,终点在y =的投影,
显然当a =
b θ取得最小值。此时,x =1,y min =
2⋅2=2
8.图象相减
y =x +
11⎛1⎫
=x - -⎪,即y 表示函数y =x 和y =-两者之间的距离
x x ⎝x ⎭
求y min ,即为求两曲线竖直距离的最小值
1
相切时,两曲线竖直距离最小。 x
11y =-关于直线y =-x 轴对称,若y =x 与y =-在x >1处有一交点,根据对称性,
x x
1
在0
x
平移直线y =x ,显然当y =x 与y =-况。
所以,切点一定为(1, -1)点。 此时,x =1,y min =2
9. 平面几何
依据直角三角形射影定理,设AE =x , EB =显然,x +
11,则AB =AD =x + x x
1
为菱形的一条边,只用当AD ⊥AB ,即AD 为直线AB 和CD 之x
1
间的距离时,x +取得最小值。即四边形ABCD 为矩形。
x 1
此时,x =,即x =1,y
min =2
x
10. 对应法则
设[f (x )]min =t f x 2=x +
2
()
1 x 2
x ∈(0, +∞),x 2∈(0, +∞),对应法则也相同 ∴f (x 2)min =t
11
⇒f 2(x )=x 2+2+2 x x
左边的最小值=右边的最小值 f (x )=x +
[]
∴t 2=t +2⇒t =-1(舍)或t =2 当x =P =x 2,即x =1时取到最小值,且y min =2
对勾函数练习:
1.若 x>1.求y =x +
1t t +2
≤a ≤2在t ∈(0, 2]上恒成立,的最小值. 11.若2则a 的取值范围是
x -1t +9t
116x x 2-2x +2
(x >1)的最值。 2. 若 x>1. 求y =的最小值 12. 求函数f (x )=x ++2
x x +1x -1
x 2-x +12x
1) 时,求f (x ) =x 的值域 3. 若 x>1. 求y =的最小值 13. 当x ∈(0,
x -14+1
4. 若 x>0. 求y =3x +
212
的值域 的最小值 14. 求f (x ) =x +x +2
x x +x +3
x 2+2x +a
(x ∈[1, +∞)) 5. 已知函数y =
x
(1) 求a =
1
时,求f (x ) 的最小值 2
(2)若对任意x ∈[1,+∞],f(x)>0恒成立, 求a 范围
π
6. : 方程sin x -asinx+4=0在[ 0 ,
2 ]内有解 ,则a 的取值范围是__________
2
7. 函数y =x +_________。
1010
(2≤x ≤7)的最小值为____________;函数y =x -(2≤x ≤7)的最大值为x x 4
的最大值为 x
8. 函数y =2-3x -
x 2-2x +2
9、若-4
2x -2
10. 函数y =
92
+4sin x 的最小值是 2
sin x