因式分解初高中衔接讲义(含答案)
1. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a 2-b 2； （2）完全平方公式 (a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3； （2）立方差公式 (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；
（3）三数和平方公式 (a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ； （4）两数和立方公式 (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； （5）两数差立方公式 (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x +1)(x -1)(x 2-x +1)(x 2+x +1) ．
例2 已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a 2+b 2+c 2的值． 练 习 1．填空：
11119423
（2）(4m + ) 2=16m 2+4m +( ) ；
（1）a 2-b 2=(b +a ) （ ）；
(3 ) (a +2b -c ) 2=a 2+4b 2+c 2+( ) ． 2．选择题：
（1）若x 2+mx +k 是一个完全平方式，则k 等于 （ ）
（A ）m 2 （B ）m 2 （C ）m 2 （D ）
1112
m
4163
（2）不论a ，b 为何实数，a 2+b 2-2a -4b +8的值
12
（ ）
（A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数
也可以是负数
2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法 例1 分解因式：
（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）x 2-(a +b ) xy +aby 2； （4）xy -1+x -y ．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有
x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2) ．
x x
－1 －2
1 1
－1 －2
1 1
图1．2－3
－2 6
x x
－ay －by
图1．2－1
图1．2－2 图1．2－4
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6) ． （3）由图1．2－4，得
x 2-(a +b ) xy +aby 2＝(x -ay )(x -by ) （4）xy -1+x -y ＝xy ＋(x －y ) －1
＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：
（1）x 3+9+3x 2+3x ； （2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6．
（2）2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=2x 2+(y -4) x -y 2+5y -6
x y
图1．2－5
－1 1
=2x 2+(y -4) x -(y -2)(y -3) =(2x -y +2)(x +y -3) ．
或
2x 2+xy -y 2-4x +5y -6=(2x 2+xy -y 2) -(4x -5y ) -6
=(2x -y )(x +y ) -(4x -5y ) -6 =(2x -y +2)(x +y -3) ．
3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 若关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1、x 2，则二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0) 就可分解为a (x -x 1)(x -x 2) .
例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）x 2+2x -1； （2）x 2+4xy -4y 2．
练 习 1．选择题：
多
项
式
2x 2-xy -15y 2
的一个因式为
（ ）
（A ）2x -5y （B ）x -3y （C ）x +3y （D ）x -5y 2．分解因式：
（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；
（3）x 2－2x －1； （4）4(x -y +1) +y (y -2x ) ．
习题
1．分解因式：
（1） a 3+1； （2）4x 4-13x 2+9；
（3）b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ； （4）3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4．
2．在实数范围内因式分解：
（1）x 2-5x +3 ； （2
）x 2--3；
（3）3x 2+4xy -y 2； （4）(x 2-2x ) 2-7(x 2-2x ) +12． 3．∆ABC 三边a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，试判定∆ABC 的形状．
4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a ) ． 答案 1.1.2．乘法公式
1．（1）a -b （2）, （3）4ab -2ac -4bc 2．（1）D （2）A
1.2分解因式
1． B 2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）(2a -b )(4a 2+2ab +b 2) （3
）(x -1x -1 （4）(2-y )(2x -y +2) ．
习题1．2
1．（1）(a +1)(a 2-a +1) （2）(2x +3)(2x -3)(x +1)(x -1) （3）(b +c )(b +c +2a ) （4）(3y -y +4)(x +2y -1)
⎛x -x -2．（1
） ； （2
）x -x -； ⎭⎝⎭⎝
⎛⎫⎛⎫3x +y x +y ⎪ （3
） （4） ⎪ ⎪⎪； ⎝⎭⎝⎭
1
3
12
1124
(
(
x -3)(x +1)(x -1-
x -1+．
3．等边三角形
4．(x -a +1)(x +a )