运筹学实际应用--家庭暑假旅游套餐的设计.

XXX 大 学

运 筹 学

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家庭暑假旅游套餐的设计

摘要

本文研究家庭暑期旅游套餐的设计问题，设定城市为长沙，从自然景观、文化教育、历史遗迹的角度出发，选取了天心阁、世界之窗、橘子洲、海底世界、湖南省博物馆五个景点作为旅游地。

针对问题一：采用层次分析法，考虑路线、费用、时间、景色四个主要因素，建立多层次评价体系。利用MATLAB 软件，分别求出一组元素对其上一层中某元素的权重向量，通过层次单排序进行一致性检验后，自上而下地将单准则下的权重进行合成得到总排序权重，并进行一致性检验，得到一致性比例CR

针对问题二：建立0-1整数规划模型，以游玩的总综合评价为目标函数，在时间、费用的约束条件下，列出各式子，在对景点进行选择。又对家庭旅游的天数做一个简单分类，最终得到在时间、费用限制下，得出合理的旅游套餐。

针对问题三：对已得到的旅游套餐进行路线上的优化。利用长沙旅游百度地图，用画图板进行编辑，根据不同家庭的需求确定景点游览数目，又因不同景点之间的距离不同，利用MATLAB 软件，求得两种模型下的最短路径。

关键词：层次分析法 MATLAB 0-1整数规划模型

一、问题重述

暑假即将来临，很多家长会选择这个时间带孩子去某城市旅游，但考虑到家庭生活

水平、家庭成员人数、旅游时间等因素的差别，请任选一个旅游城市，综合考虑旅行路线，费用、时间以及其它你认为比较重要的因素，为有不同需求的家庭设计一份最佳旅游套餐。

二、问题分析

针对问题一，首先，先建立各景点的综合评价模型。通过查阅相关数据，可建立目标层—准则层—方案层分析模型，利用层次分析法分别各低层次对高层次的权系数，最终确定各景点对综合评价的权系数，从而得到各景点的综合评价模型。

针对问题二，因不同的家庭有不同的需求，受到人数、费用、时间等条件的限制，故在旅游时会对景点有一定的选择，以游玩的综合评价为目标函数，在时间、费用的约束条件下进行景点的选择。在对暑期家庭旅游时的费用限制时，通过查询相关统计数据，进行求解。

针对问题三，对上述过程所得到的景点进行路线上的优化，主要考虑各景点之间距离最短。利用高德地图找出长沙的各景点，用画图板进行编辑，将地图的左下角设置为坐标原点（0,0），得出各个景点的初始坐标。根据不同家庭的需求确定景点游览数目，构造不同景点之间的距离矩阵，即可求得所选景点之间的最短距离。

，

三、模型假设

1、在景点内游览时间为6h/天，而且考虑在旅游景点开放时间内。不考虑天气及其他因素的影响。

2、以家庭为单位出行，不跟旅行团。

3、考虑各项费用时以人均费用为单位，不考虑景点门票优惠政策。

四、符号说明

符号 T Y 1 Y 2 S 1 S 2 Q A i

含义

景区游览总时间 城市居民人均旅游费用 农村居民人均旅游费用

城市居民人均其他费用（包括交通费用等） 农村居民人均其他费用（包括交通费用等）

游玩综合评分 景点（i=1,2,3…5）

五、模型的建立与求解

5．1层次分析法确定景点游览先后次序 5.1.1建立层次分析模型

本题因涉及多目标、多准则的系统评价，通过利用层次分析法[1]的定性与定量方法有机结合的特点，使问题清晰明确。本文以综合评价为目标层，考虑准则有4个，即路线、费用、时间、景色。决策层为选取的五个景点。层次分析图如下：

构造成对比较矩阵，对于从属于（或影响）上一层每个因素的诸多因素，用成对比较法和Saaty 标度构造判断矩阵，便于定性到定量的转化。

表1：相对尺度参考表

Bi ：Bj 的重要性

相同

稍强

强

明显强

绝对强

若B i 与 Bj 的重要性之比为a ij , 则B j 与B i 的重要性之比为a ji 1/a ij 即：

B i :B j =a ij （1） 得到判断矩阵为：

A =(a ij ) （2） n *n 5.1.2 一致性检验

（1）计算列和权向量：

满足a ij *a jk =a ik ， i , j , k =1,2,3⋯, n 的正负反阵A 称一致阵，如

w i =

(a ij /∑a kj ) （3） ∑n j k

=1

=1

1

n n

一致阵的性质：

① A的矩阵的秩为1,A 的唯一非零特征根为n; ② A的任一列向量是对应于n 的特征向量; ③ A的归一化特征向量可作为权向量.

对于不一致(但在允许范围内) 的成对比较阵A, 建议用对应于最大特征根λ的特征向量作为权向量ω, 即

A ω=λω

(4)

(2) 根据（4）得出的w i , 计算矩阵的最大特征根： λmax =∑

i =1n

(AW ) i

(5) nW i

(3)一致性指标

CI =

λmax -n

n -1

(6）

CI 越大, 不一致越严重. 当λmax =n 时，CI =0，此时矩阵具有完全一致性。但一般情况下，当λmax >n 时，随λmax 逐渐变大，矩阵的一致性也越来越差。

为衡量CI 的大小, 引入随机一致性指标RI---随机模拟得到a ij , 形成A ，计算CI 即得RI 。

Saaty 的结果见表2

表2随机一致性指标

RI

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

1.49

5.1.3计算结果

(1)应用上述方法，建立准则层E 与目标层F 的判断矩阵，表示其对选址的重要程度，并做一致性检。使用MATLAB [1]计算结果见下表

表3准则层E 与目标层F 的判断矩阵

E-F E1 E2 E3 E4 权重 E1 1 2 1/4 1 0.1707 E2 1/2 1 1/3 1/2 0.1129 E3 4 3 1 4 0.5457 E4 1 2 1/4 1 0.1707

(2)用同样的方法得到准则层E 与决策层G 的判断矩阵见附录及最大特征值所对应的特征向量如下表4：

表4：准则层E 与决策层G 的判断矩阵

E-G E1-G E2-G E3-G E4-G G1 0.2994 0.1067 0.0450 0.1491 G2 0.0562 0.0635 0.1238 0.4394 G3 0.4249 0.5382 0.3930 0.0737 G4 0.0869 0.1067 0.0450 0.2888 G5 0.1326 0.1849 0.3930 0.0491

(3)准则层E 对目标层Z 权向量构的总权重，如下表 5：

表5准则层E 对目标层Z 权向量构的总权重

G G1 G2 G3 G4

E1 0.1707 0.2994 0.562 0.4249 0.0869 0.1326

E2 0.1129 0.1067 0.0635 0.5382 0.1067 0.1849

E3 0.5457 0.0450 0.1238 0.3930 0.0450 0.3930

E4 0.1707 0.1491 0.4394 0.737 0.2888 0.0491

0.1132 0.1593 0.3603 0.1008 0.2664 总权重

G5

得出总的一致性检验结果CR= 0.0322，CR

（4）结果分析

由以上计算结果可得出的权重值排序为世界之窗、海底世界、天心阁、橘子洲、省博物馆。

5.2根据不同家庭的需求来确定景点游览数目 5.2.1 模型的准备

查询不同景点的最佳推荐游览时间及各自的门票价格：

表6：游览时间及各自的门票价格

地点 门票（单位：元游玩时间（单

/人） 位：h ）

橘子洲 0 3

天心阁 长沙世界之窗 湖南省博物馆 海底世界

经查询大量数据，得出：

32 130 0 130

2 6 3 4

Y 1=500S 1=250

Y 2=250S 2=150

5.2.2模型求解

因为不同的家庭有不同的需求，受人数、费用、时间等条件的限制，在旅游时会对景点有一定的选择，故建立0—1整数规划模型[4]：

⎧0不选择该景区

设x i =⎨

1⎩选择该景区

此次游玩综合评分:

（7） MaxZ =0.1132x 1+0.1593x 2+0.3603x 3+0.1008x 4+0.2664x 5? 城市居民：

⎧3x 1+2x 2+6x 3+3x 4+4x 5≤T

⎪ ⎨T T

0x +32x +130x +0x +130x +s ⨯≤123451⎪55⎩

Y

（8）

1

农村居民：

⎧3x 1+2x 2+6x 3+3x 4+4x 5≤T ⎪

T T （9） ⎨

0x +32x +130x +0x +130⨯x +s ⨯≤Y 2123452⎪55⎩

在旅游时间的限制下，对不同家庭的旅游时间进行简单分类： 通过C 语言程序[2]，可得出各条线路的游玩综合评分，如表7

表7：各线路的游玩综合评分

天数 景点 游玩综合评分 G3 0.3603 1 G1 G4 0.2140 G2 G5 0.4257 G2 G3 G5 0.5265 2 G1 G3 G4 0.5743

G2 G3 G4 0.6204 G1 G2 G4 G5 0.6397

然后，根据公式（8）可得出城市居民旅游景点：

天数 景点 1 天心阁-海底世界 2 橘子洲-天心阁-海底世界-湖南省博物馆 3 海底世界-天心阁-世界之窗-橘子洲-湖南省博物馆

在根据公式（9）可得出农村居民旅游景点：

天数 景点 1 世界之窗 2 橘子洲-天心阁-海底世界-湖南省博物馆 3 海底世界-天心阁-世界之窗-橘子洲

-湖南省博物馆

5.3对所选景点进行线路优化

利用长沙旅游百度地图 [3] 对所选取的5个景点进行标注。然后，可知两两景点之间的路程和所需的时间，见表9：

表9：景点之间的路程和所需的时间

以城市居民旅游二天为例，游览的景点为橘子洲、天心阁、海底世界、湖南省博物馆。

根据以上数据，利用MATLAB 编程计算，可得出最优旅游线路，即：

橘子洲-天心阁-湖南省博物馆-海底世界

人均费用的组成为各景点门票费用和其他费用的总和，因此，上述事例中人均费用为：

0+32+130+0+250*2=662

重复上述步骤，得出不同天数下城市和农村居民游玩景点的最优旅游线路，见附录。

综上所述，得出家庭暑期旅游套餐如表10：

表10：家庭暑期旅游套餐

六、模型总结

6.1 模型的优点：

（1）对旅游地点和景点进行选择时，从历史遗迹、自然景观、文化教育三个角度出发，充分考虑到旅游对放松心情和陶冶情操的作用。

（2）题中采用的数据具有准确行。如各景点门票内的逗留时间，人均旅游各项费用的限制均是通过大量数据查询得出，具有参考性。 6.2模型的缺点：

（1）运用层次分析法构造判断矩阵式有一定的主观性，使得景点的综合评价结果又误差。

（2）对旅游时间、费用限制的划分有些笼统，可以更加详细的分类，使设计更加合理化。

七、参考文献

[1]刘卫国编著，《MATLAB 程序设计教程》，北京：中国水利水电出版社，2010 [2] 汪晓银 周保平 编著，《数学建模与数学实验》北京：科学出版社 2012 [3] http://map.baidu.com/ [4]汪晓银 周保平 邹庭荣 编著，《数学软件与数学实验》，北京：科学出版社，2010