椭圆.双曲线.抛物线答案
椭圆、双曲线、抛物线
1、答案 D 解析 由题意知：抛物线的焦点为(－2,0) ．又顶点在原点，所以抛物线方程为y 2＝－8x .
32、答案 B 解析双曲线中c ＝3，e ＝，故a ＝2，b c －a ＝5， 222x y 故双曲线方程为1. 45
⎧⎪2k －1>2－k ，3、答案 C 解析 ⎨∴10，⎩
4、答案 B 解析 由题知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴) ，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|
2＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝. 3
c c 5、答案 A 解析 由题意知e 1＝e 2＝ a a
c c c c 3∴e 1·e 2＝. a a a 2
22222又∵a 2＝b 2＋c 2c 21，c 2＝a ＋b ，∴1＝a －b ，
2a 4－b 4b 4c 2c 1－⎛⎝a ， a a
b 43即1－⎛⎝a 4
b 2b 2解得＝＝. a 2a 222x y 令－0，解得bx ±ay ＝0， a b
∴x 2y ＝0.
6、答案 B 解析 联立已知条件和双曲线的定义，建立关于a ，b ，c 的方程，求离心率． 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.
根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，
3b ＋2a 3b －2a 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝r 2＝. 22
3b ＋2a 3b －2a 99又r 1·r 2ab ，所以ab ， 4224
b 4解得＝(负值舍去) ． a 3a ＋b c ⎛2＋1＝ ⎛2＋15B. 故e ＝＝ ＝ ⎝a ⎝3a a 3
227、答案 9 解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c
＝4.
⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，⎪⎨∴ ⎪|PF |＋|PF |＝2a ＝10. ⎩12
解得|PF 1||PF 2|＝18，
11∴△PF 1F 2的面积为|PF 1|·|PF 2|＝18＝9. 22
8、答案 3－1 解析 由直线方程为y 3(x ＋c ) ，
知∠MF 1F 2＝60°，
又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，
所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，
所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，
所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .
c 即e ＝＝3－1. a
p 4330，， 解析 经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝x . 抛物线的焦点为F ⎛⎝233
2x 01313x 0，处的切线斜率为x 0，双曲线的右焦点为F 2(2,0)．y ′＝x ，由题意知在M ⎛2p ⎝p 3p 3
p p p －0262p 333
p ⎛⎫0，⎫，F 2(2,0)，M 所以x 0＝p ，点F ⎛共线，所以，即p ＝. ，⎝2⎭336⎭0－2⎝33p －03
10、答案 B 解析 9、答案
设出直线AB 的方程，用分割法表示出△ABO 的面积，将S △ABO ＋S △AFO 表示为某一变量的函
数，选择适当方法求其最值．
设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图) ，A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，
→→∵OA ·OB ＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.
22又y 1＝x 1，y 2＝x 2，∴y 1y 2＝－2.
2⎧⎪y ＝x ，联立⎨得y 2－ny －m ＝0， ⎪x ＝ny ＋m ，⎩
∴y 1y 2＝－m ＝－2，
∴m ＝2，即点M (2,0)．
11又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝OM ||y 1|＋OM ||y 2|＝y 1－y 2， 22
11S △AFO ＝|OF |·|y 1|＝y 1， 28
192∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋y 1＝y 1＋＝3， 88y 181y 1
4当且仅当y 1 3
11、答案 5 解析 由已知可得，△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2－4a 2＝4b 2，把|PF 1|＝2|PF 2|代入得，|PF 2|＝b ，|PF 1|＝2b ，代入|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2得5b 2＝5c 2－5a 2＝4c 2，
c ∴c 2＝5a 2，e ＝5. a
b 2b 2⎫a 3⎛12、解 (1)根据c a －b 及题设知M ⎝c ，a ⎭，＝，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝2c 4
c 1c 13ac ，解得，＝－2(舍去) ．故C 的离心率为a 2a 2
(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，
所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，
b 2故＝4，即b 2＝4a . ① a
由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.
设N (x 1，y 1) ，由题意知y 1
3⎧⎧⎪x 1＝－2c ，⎪－c －x 1＝c ，则⎨即⎨ ⎪－2y 1＝2，⎩⎪⎩y 1＝－1.
29c 1代入C 的方程，得1. ② 4a b a 2－4a 1将①及c ＝a －b 代入②得＋＝1. 4a 4a
解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝7.
13、解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c, 0) ．
3由|AB |＝|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 2
c 21222又b ＝a －c ，则＝. a 2
2所以，椭圆的离心率e ＝2
2222(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝c .
x 2y 2
故椭圆方程为1. 2c c
设P (x 0，y 0) ．由F 1(－c, 0) ，B (0，c ) ，
→→有F 1P ＝(x 0＋c ，y 0) ，F 1B ＝(c ，c ) ．
→→由已知，有F 1P ·F 1B ＝0，
即(x 0＋c ) c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ① 22x y 因为点P 在椭圆上，故＝1. ② 2c c
由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.
4而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－c ， 3
4c c c －⎫. 代入①得y 0＝，即点P 的坐标为⎛⎝33⎭3
设圆的圆心为T (x 1，y 1) ，
4c
－c ＋0＋c 3322则x 1＝c ，y 1＝c ， 2323
5所以圆的半径r ＝x 1－＋y 1－c ＝c . 3
222由已知，有|TF 2|＝|MF 2|＋r ，
225c ⎫2＋⎛0－c ⎫2＝8＋2，解得c 2＝3. 又|MF 2|＝2，故有⎛⎝3⎭⎝3⎭9
x 2y 2所以，所求椭圆的方程为1. 63
x 2214、解 (1)设点C 的坐标为(x ，y ) ，则y ＝1， a
→→→→→→→→连接CG ，由CA ＝CG ＋GA ，CB ＝CG ＋GB ＝CG －GA ，
又G (0,2)，
997→→→2→22可得CA ·CB ＝CG －GA ＝x ＋(y －2) 2－＝a (1－y 2) ＋(y －2) 2－＝－(a －1) y 2－4y ＋a ＋其444
中y ∈[－1,1]．
4因为a >1，故当y ≤－1，即1
727→→取y ＝－1，得CA ·CB 有最大值－(a －1) ＋4＋a ＋＝，与条件矛盾； 44
7a ＋－16－a ⎛⎝44→→当y ＝－1，即a >3时，CA ·CB 的最大值是 －a －a
7a －16－a ⎛⎝431＝，即a 2－7a ＋10＝0，解得a ＝5或a ＝2(舍去) ． 4－a
x 22综上所述，椭圆Ω的方程是y ＝1. 5
(2)设点P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2) ，PQ 的中点坐标为(x 0，y 0) ， 2x 1x 222则满足y 1＝1＋y 22＝1，两式相减， 55
y 2－y 1x 2＋x 1x 整理得＝－ 5y 0x 2－x 1y 2＋y 1
x 从而直线PQ 的方程为y －y 0＝－x －x 0) ， 5y 0
又右焦点F 2的坐标是(2,0)，
x 将点F 2的坐标代入PQ 的方程得－y 0＝－(2－x 0) ， 5y 0
因为直线l 与x 轴不垂直，
2故2x 0－x 0＝5y 20>0，从而0
假设在线段OF 2上存在点M (m, 0)(0
5y 则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是y －y 0＝(x －x 0) ，将x 0
5y 点M (m, 0) 代入得－y 0＝m －x 0) ， x 0
4⎛0，8. 得m 0，从而m ∈⎝55