含参变量的积分
含参变量的积分
1 含参变量的正常积分
1． 求下列极限：
(1) lim
a →0-⎰
1
；
(2) lim (3) lim
a →00
⎰
⎰
2
x 2cos ax dx ；
dx
. 22
1+x +a
1+a
a →0a
2．求F ' (x ) ，其中： (1) F (x ) =(2) F (x ) =(3) F (x ) =
⎰⎰
⎰
x 2
x
e -xy dy ；
e 2
cos x
sin x b +x
；
a +x
sin(xy )
； y
(4)
⎰
x
⎡x f (t , s ) ds ⎤dt
. ⎰⎢⎥t 2
⎣⎦
2
3．设f (x ) 为连续函数，
1
F (x ) =2
h
求F (x ) .
4．研究函数
''
⎰
x
⎡x f (x +ξ+η) d η⎤d ξ， ⎢⎥⎣⎰0⎦
F (y ) =⎰
1
yf (x )
x 2+y 2
的连续性，其中f (x ) 是[0，1]上连续且为正的函数.
5．应用积分号下求导法求下列积分：
π
(1) (2) (3)
⎰
20
ln(a 2-sin 2x ) dx (a >1) ;
⎰
⎰
π
ln(1-2a cos x +a 2) dx (|a |
ln(a 2sin 2x +b 2cos 2x ) dx (a , b ≠0) ；
π20
π
(4)
⎰
20
arctan(a tan x )
(|a |
tan x
6．应用积分交换次序求下列积分： (1)
⎰
1
x b -x a
(a >0, b >0) ； ln x
b a
⎛1⎫x -x
(2) ⎰sin ln ⎪ (a >0, b >0) .
0x ln x ⎝⎭
1
7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) F (x ) =(2) F (x ) =
⎰⎰
1
x
0b
(x +y ) f (y ) dy ； f (y ) |x -y |dy (a
1
a
22
11x -y x 2-y 2
8．证明：⎰dx ⎰≠⎰dy ⎰2dx .
00(x 2+y 2) 200(x +y 2) 2
9
．设F (y ) =
⎰
1
，问是否成立
F ' (0)=⎰
∂
y =0dx . 0∂y
1
10．设
F (x ) =⎰e x cos θcos(x sin θ) d θ
2π
求证F (x ) ≡2π.
11．设f (x ) 为两次可微函数，ϕ(x ) 为可微函数，证明函数
11x +at
u (x , t ) =[f (x -at ) +f (x +at )]+ϕ(z ) dz
22a ⎰x -at
满足弦振动方程
2
∂2u 2∂u =a ∂t 2∂x 2
及初始条件
u (x ,0) =f (x ), u t (x ,0) =ϕ(x ) .
2 含参变量的广义积分
1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1)
⎰⎰
+∞
cos(xy )
dy (x ≥a >0) ；
x 2+y 2
cos(xy )
dy (-∞
1+y
(2)
+∞
(3) (4)
⎰
⎰
+∞
1+∞
y x e -y dy (a ≤x ≤b ) ；
e -xy
cos y
dy (p >0, x ≥0) ； p y
1
(5)
⎰
+∞
sin x 2
dx (p ≥0) . 1+x p
2
2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：
(1) (2)
⎰
0+∞
-αx dx (0
xe -xy dy ，
（i ）x ∈[a , b ] (a >0) ，（ii ）x ∈[0,b ]；
⎰
(3)
⎰
+∞
-∞
e -(x -α) dx ，
（i ）a
2
(4)
⎰
+∞
e
-x 2(1+y 2)
sin xdy (0
3．设f (t ) 在t >0连续，求证：
⎰
+∞
t λf (t ) dt 当λ=a , λ=b 皆收敛，且a
⎰
+∞
t λf (t ) dt 关于λ在[a , b ]一致收敛.
4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) F (x ) =
⎰
+∞
x
dy ，x ∈(-∞, +∞) ；
x 2+y 2
(2) F (x ) =
⎰
+∞
y 2
dy ，x >3； 1+y x
(3) F (x ) =
⎰
π
sin y
dy ，x ∈(0,2) . x 2-x
y (π-y )
5．若f (x , y ) 在[a , b ]⨯[c , +∞) 上连续，含参变量广义积分
I (x ) =⎰
+∞
c
f (x , y ) dy
在[a , b ) 收敛，在x =b 时发散，证明I (x ) 在[a , b ) 不一致收敛.
6．含参变量的广义积分I (x ) =
⎰
+∞
c
f (x , y ) dy 在[a , b ]一致收敛的充要条件是：对任一
趋于+∞的递增数列{A n }（其中A ，函数项级数 1=c ）
∑⎰
n =1
∞
A n +1
A n
f (x , y ) dy =∑u n (x )
n =1
∞
在[a , b ]上一致收敛.
7．用上题的结论证明含参变量广义积分I (x ) =
⎰
+∞
c
f (x , y ) dy 在[a , b ]的积分交换次序
定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.
8．利用微分交换次序计算下列积分：
(1) I n (a ) =
⎰
+∞
dx
（n 为正整数，a >0）； 2n +1
(x +a )
(2)
⎰
+∞
e -ax -e -bx
sin mxdx （a >0, b >0）； x
(3)
⎰
⎰⎰
+∞
xe -αx sin bxdx (α>0).
2
9．用对参数的积分法计算下列积分： (1)
+∞
e -ax -e -bx
； dx （a >0, b >0）
x e -ax -e -bx
sin mxdx （a >0, b >0）. x
22
(2)
+∞
+∞1-y (1+x 2) =e dy 计算拉普拉斯积分 10．利用2⎰01+x
+∞cos αx L =⎰dx 201+x
和
L 1=⎰
11
+∞
x sin αx
dx .
1+x 2
=+∞
e -xy dy (x >0) 计算傅伦涅尔积分
2
F =⎰sin x 2dx =
+∞
1+∞ ⎰02和
F 1=⎰
12．利用已知积分
+∞
1+∞cos x dx =⎰.
202
⎰
计算下列积分：
(1)
+∞
+∞2sin x πdx =，⎰e -x dx =0x 22
⎰
+∞
sin 4x
dx ； 2
x
+∞
(2)
2
π
⎰
sin y cos yx
dy ； y
2
(3) (4)
⎰
+∞
0+∞
x 2e -αx dx (a >0) ；
⎰
⎰⎰
e -(ax
e
2
+bx +c )
dx (a >0) ；
(5)
+∞
-(x 2+
a 2x 2
)
-∞
dx (a >0) .
13．求下列积分： (1)
+∞
1-e t
cos tdt ； t
(2)
⎰
+∞
ln(1+x 2)
dx .
1+x 2
14．证明：
1[, b ] (b >1) 上一致收敛； 在ln(xy ) dy ⎰0
b
1dx
(2) ⎰y 在(-∞, b ] (b
0x
(1)
1
3 欧拉积分
1．利用欧拉积分计算下列积分：
(1)
⎰
1
；
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
⎰
；
;
x (a >0) ；
sin 6x cos 4xdx ；
⎰⎰
⎰
a
π20
⎰
+∞
dx
； 1+x 4
；
x 2n e -x dx （n 为正整数）
2
⎰
⎰⎰
+∞
π
；
sin 2n xdx （n 为正整数）；
1
n -1
π
(9)
20
⎛1⎫
(10) ⎰x m ln ⎪
⎝x ⎭
dx (n 为正整数).
2．将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1)
⎰
+∞
x m -1
dx ；
n
2+x
(2)
⎰⎰
1
π
(3)
20
tan n xdx ；
p
⎛1⎫
(4) ⎰ ln ⎪dx ；
⎝x ⎭
1
(5)
⎰
⎰
+∞
x p e -αx ln xdx (α>0) .
11
Γ() (n >0) ； n n
3．证明： (1)
+∞-∞
e -x dx =
n
(2) lim
n →+∞-∞
⎰
+∞
e
-x n
dx =1.
4．证明：
B (a , b ) =⎰
1
x α-1+x b -1
dx ；
(1+x ) a +b
Γ(α) =s α⎰
+∞
. x α-1e -sx dx (s >0)