高一数学经典题型

高一下学期全科竞赛（数学）

提醒考生：1．本试卷共两大题（12小题），时间，全卷满分120分，考试时间90分钟． 2．填空题在空格处填最简结果，解答题书写在每题指定区域内． 3．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，否则无效。

一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分，把答案填在相应位置： 1．定义某种新运算⊗：S ＝a ⊗b 的运算原理如图所示，则5⊗4－3⊗6＝ ．

2．等差数列中，5a 8=3a 3，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为__________． 3．若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则

41＋的最小值为 ． A B +C

11

4．若|x -a |+≥对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围是 ．

x 2

cos C cos B

5．已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ, 若AB +AC =2mAO 则

sin C sin B

（用θ表示） m =．

6．数列{a n }的通项公式

为a n =

，则这个数列的前99项之和

S 99=_______．

7．已知实数x 1, x 2, x 3满足方程x 1+

1112122

x 2+x 3=1及x 1+x 2+x 3=3, 则x 3的最小2323

值是

8．定义函数f (x ) ＝[x [x ]]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数， 如：[1.5]＝1，[-1.3]＝－2．当x ∈[0，n ) (n ∈N *) 时，设函数f (x ) 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为a n ，则式子

a n +90

的最小值为 ．

n

二、解答题：本大题共4小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解

答写在指定区域内。 9．（本题满分14分）已知关于x 的不等式

ax -5

x -a

（1）当a =4时，求集合M ；（2）若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围。

10．（本题满分14分）下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，伪代码用来同时统计女生、

男生及全班成绩的平均分，试回答下列问题：

⑴ 在伪代码中，“k=0”的含义是什么？横线①处应填什么？ ⑵ 执行伪代码，输出S ，T ，A 的值分别是多少？ ⑶ 请分析该班男女生的学习情况．

11．（本题满分18分）已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足：S n ＝

a

(a n -1) (a 为常数，且a -1

a ≠0，a ≠1) ．

（1）求{a n }的通项公式；

（2）设b n ＝

2S n

＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值； a n

⎛11⎫

+（3）在满足条件（2）的情形下，设c n ＝2－ ⎪，数列{c n }的前n 项的

和为T T 1

n ．求证：n ＜3

．

⎝1+a n 1-a n +1⎭

→2→→→→→→

12．（本题满分18分）已知△ABC 中满足(AB ) ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，a 、b 、c

分别是△ABC 的三边．

（Ⅰ）试判断△ABC 的形状并求sin A ＋sin B 的取值范围；

（Ⅱ）若不等式a (b ＋c ) ＋b (c ＋a ) ＋c (a ＋b ) ≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，求k

的取值范围．

2

2

2

高一下学期全科竞赛数学试卷（参考答案）

提醒考生：1．本试卷共两大题（12小题），时间：全卷满分120分，考试时间90分钟． 2．填空题在空格处填最简结果，解答题书写在每题指定区域内． 3．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，否则无效。

一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分，把答案填在相应位置：

1．金陵中学2011年高考预测）定义某种新运算⊗：S ＝a ⊗b 的运算原理如图所示，则5⊗4－3⊗6＝ ．

解析：由题意知5⊗4＝5×(4＋1) ＝25，3⊗6＝6×(3＋1) ＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1．

2．等差数列中，5a 8=3a 3，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为___15___． 2008年交大冬令营

3．（金陵中学2011年高考预测）若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则为 ．

41

＋的最小值A B +C

941B +C A 10．．解析：因为A ＋B ＋C ＝π，且(A ＋B ＋C ) ·(＋) ＝5＋4＋

πA B +C A B +C

≥5

＋419B +C A

9，因此＋≥，当且仅当4·＝，即A A B +C πA B +C

＝2(B ＋C ) 时等号成立．

11

4．（2011年江苏高考数学试题预测）若|x -a |+≥对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围

x 2

是 ．

解析：本题主要是采用的是数形结合思想，首先将函数变形为x -a ≥-令y 1=x -a , y 2=-

11

+， x 2

11

+，如右图，所以a ≤2。

x 2

5．（泰州市2011届期末）已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ, 若

cos C cos B

（用θ表示） AB +AC =2mAO 则m = sin θ ．

sin C sin B

6．数列{a n }的通项公式

为a n =

，则这个数列的前99项之和

9

2008年交大冬令营 10

1112122

7．已知实数x 1, x 2, x 3满足方程x 1+x 2+x 3=1及x 1+x 2+x 3=3, 则x 3的最小

2323S 99=_______．

值是 -

21

11

解析：x 1+

111112122

x 2) , b =(1, )

x 2=1-x 3及x 1+x 2=3-x 3, a =(x 1,

232322

1212(a ∙b ) 2

= x 1+x 2=3-x 3=≥232

=

21

(1-x 3) 2 33

-

21

≤x 3≤3 11

8．（金陵中学2011年高考预测）定义函数f (x ) ＝[x [x ]]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数， 如：[1.5]＝1，[-1.3]＝－2．当x ∈[0，n ) (n ∈N *) 时，设函数f (x ) 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为a n ，则式子

a n +90

的最小值为 ． n

14．13．解析：当x ∈[0，1) 时，f (x ) ＝[x [x ]]＝[x ⋅0]＝0； 当x ∈[1，2) 时，f (x ) ＝[x [x ]]＝[x ⋅1]＝[x ]＝1；

5

当x ∈[2，3) 时，再将[2，3) 等分成两段，x ∈[2，) 时，f (x ) ＝[x [x ]]＝[x ⋅2]＝[2x ]

2

5

＝4；x ∈[，3) 时，f (x ) ＝[x [x ]]＝[x ⋅2]＝[2x ]＝5．

2

类似地，当x ∈[3，4) 时，还要将[3，4) 等分成三段，又得3个函数值；将[4，5) 等

分成四段，得4个函数值，如此下去．当x ∈[0，n ) (n ∈N *) 时，函数f (x ) 的值域中的元素个数为a n ＝1＋1＋2＋3＋4＋„＋(n －1) ＝1＋

a +90n (n -1) n 911

，于是n ＝＋－＝

n 2n 22

a +9011821

的最小值为13． (n +) －，所以当n ＝13或n ＝14时，n

2n 2n

二、解答题：本大题共4小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解

答写在指定区域内。

ax -5

x -a

（1）当a =4时，求集合M ；（2）若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围。

4x -5

解：（1）a =4时，不等式为2

x -4⎛5⎫

M =(-∞, -2)⋃ , 2⎪„„„„„„„„„„„„„„„„. 4’

⎝4⎭

⎧3a -5

59ora

（2）a ≠25时，⎨ ⇒⎨ ⎨3

⎩5∉M ⎪5a -5≥0⎪⎩1≤a

⇒a ∈⎢1, ⎪⋃(9, 25)„„„„„„„„„„„„„„„. „„„ 5’

⎣3⎭

25x -5⎛1⎫

a =25时，不等式为2

x -25⎝5⎭

则 3∈M 且5∉M ， ∴a =25满足条件„„„„„„„. „„„„..2’

⎡5⎫

综上，得 a ∈⎢1, ⎪⋃(9, 25] 。„„„„„„. „. „„„„„.1’

⎣3⎭

9．（本题满分12分）（2010年上海市）已知关于x 的不等式

10．（本题满分12分）下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，伪代码用来同时统计女生、男生及全班成绩的平均分，试回答下列问题：

⑴ 在伪代码中，“k=0”的含义是什么？横线①处应填什么？ ⑵ 执行伪代码，输出S ，T ，A 的值分别是多少？ ⑶ 请分析该班男女生的学习情况．

解：⑴ 全班32名学生中，有15名女生，17名男生．在伪代码中，根据“S ←S/15，T ←T/17”

可以推知，“k=1”和“k=0”分别代表男生和女生；S ，T ，A 分别代表女生、男生及全班成绩的平均分；横线①处应填“（S+T）/32”．

⑵ 女生、男生及全班成绩的平均分分别为S=78，T=77，A ≈77. 47 ．

⑶ 15名女生成绩的平均分为78，17名男生成绩的平均分为77．从中可以看出女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重．

11．（本题满分20分）（金陵中学2011年高考预测）已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足：

a

(a n -1) (a 为常数，且a ≠0，a ≠1) ． a -1

（1）求{a n }的通项公式； S n ＝

（2）设b n ＝

2S n

＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值； a n

⎛11⎫

+（3）在满足条件（2）的情形下，设c n ＝2－ ⎪，数列{c n }的前n 项的1+a 1-a n n +1⎭⎝

1

和为T n ．求证：T n ＜．

3a

解：（1）因为S 1＝(a 1-1) ，所以a 1＝a ．

a -1

当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝所以a n ＝a ⋅a n -1＝a n ．

a a a

所以n ＝a ，即{a n }是等比数列． a n -1，a n －

a n -1a -1a -1

2⋅

（2）由（1）知，b n ＝

a

(a n -1)

(3a -1) a n -2a ＋1＝， a n (a -1) a n

若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，

3a +23a +223a 2+2a +23a 2+2a +2

而b 1＝3，b 2＝，b 3＝，故(， ) ＝3⋅22

a a a a

111

解得a ＝，再将a ＝代入，得b n ＝3n 成立，所以a ＝．

333

1

（3）由（2）知，a n ＝() n ，

311113n 3n +1

所以c n ＝2－－＝1－n ＋1－n +1＝n －n +1，

n n +13+13-13+13-11+() 1-() 33

1111111111由n ＜n ，n +1＞n +1得n －n +1＜n －n +1，所以c n ＜n －n +1， 3+133+13-133333-13

111111111

从而T n ＝c 1＋c 2＋„＋c n ＜－2＋(2－3) ＋„＋(n －n +1) ＝－n +1＜．

333333333

→2→→→→→→

12．（本题满分20分）已知△ABC 中满足(AB ) ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，a 、b 、c 分别是△ABC 的三边．

（Ⅰ）试判断△ABC 的形状并求sin A ＋sin B 的取值范围；

222

（Ⅱ）若不等式a (b ＋c ) ＋b (c ＋a ) ＋c (a ＋b ) ≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，求k 的

取值范围．

→2→→→→→→

解：（Ⅰ）∵(AB ) ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，

→2→→→→→→2→→→→ (AB ) ＝AB ·(AC ＋CB ) ＋CA ·CB 即(AB ) ＝AB ·AB ＋CA ·CB ， →→

即CA ·CB ＝0，△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，

ππ

∴sinA ＋sin B ＝sin A ＋cos A 2sin(A ，A ∈(0，) ，

42∴sinA ＋sin B

的取值范围为．

（Ⅱ）在直角△ABC 中， a＝c sin A ，b ＝c cos A ．

222

若a (b ＋c ) ＋b (c ＋a ) ＋c (a＋b ) ≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，

a 2(b ＋c ) ＋b 2(c ＋a ) ＋c 2(a＋b ) 则有k ，对任意的a 、b 、c 都成立，

abc

a (b ＋c ) ＋b (c ＋a ) ＋c 2(a＋b ) ∵ abc

2

2

122222

[c sin A (c cos A ＋c ) ＋c cos A (c sin A ＋c ) ＋c (c sin A ＋c cos A )]

c sin A cos A

122

＝[ sinA cos A ＋cos A sinA ＋1＋cos A ＋sin A ] sinA cos A

1＋cos A ＋sin A

＝cos A ＋sin A ＋

sinA cos A ＝

令t ＝sin A ＋cos A ，t

∈，

a 2(b ＋c ) ＋b 2(c ＋a ) ＋c 2(a＋b ) 1＋t 22

设f (t ) ＝t ＋＝t ＋t －1＋1．

abct －1t －1t －1

2

2

f (t ) ＝t －1＋1，当t

－1∈1] 上时 f (t ) 为单调递减函数， t －1

∴当t 2时取得最小值，最小值为2＋32，即k ≤2＋32， 所以k 的取值范围为（－∞，2＋2]．

高一下学期全科竞赛数学试卷（参考答案）

一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分，把答案填在相应位置： 1． 1

2． ___15___．

9

． π

4． a ≤2 ． 5． sin θ ．

3． 6．

9

10

21

11

7． -

8． 13 ．

二、解答题：本大题共4小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解

答写在指定区域内。

ax -5

x -a

（1）当a =4时，求集合M ；（2）若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围。

4x -5

解：（1）a =4时，不等式为2

x -4

⎛5⎫

解之，得M =(-∞, -2)⋃ , 2⎪ „„„„„„„„„„„„6分

⎝4⎭⎧3a -5

59ora

（2）a ≠25时，⎨ ⇒⎨ ⎨3

5∉M 5a -5⎩⎪≥0⎪⎩1≤a

⇒a ∈⎢1, ⎪⋃(9, 25) „„„„„„„„„„„„11分

⎣3⎭

25x -5⎛1⎫

a =25时，不等式为2

x -25⎝5⎭

则 3∈M 且5∉M ， ∴a =25满足条件 „„„„„„„„„„„„13分

⎡5⎫

综上，得 a ∈⎢1, ⎪⋃(9, 25] 。„„„„„„„„„„„„14分

⎣3⎭

9．（本题满分14分）（2010年上海市）已知关于x 的不等式

5

, a >9 „„„„„„„„„„„„9分 3

5∉M ⇒1≤a ≤25 „„„„„„„„„„„„13分

法二:3∈M ⇒a

10．（本题满分14分）下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，伪代码用来同时统计女生、男生及全班成绩的平均分，试回答下列问题：

⑴ 在伪代码中，“k=0”的含义是什么？横线①处应填什么？ ⑵ 执行伪代码，输出S ，T ，A 的值分别是多少？ ⑶ 请分析该班男女生的学习情况．

解：⑴ 全班32名学生中，有15名女生，17名男生．

在伪代码中，根据“S ←S/15，T ←T/17”可以推知，

“k=1”和“k=0”分别代表男生和女生；„„„„„„„„„„„„2分 S ，T ，A 分别代表女生、男生及全班成绩的平均分；

横线①处应填“（S+T）/32”． „„„„„„„„„„„„4分 ⑵ 女生、男生及全班成绩的平均分分别为S=78，T=76.88，A ≈77. 4 ．

„„„„„„„„„„„„10分

⑶ 15名女生成绩的平均分为78，17名男生成绩的平均分为77．从中可以看出女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生； „„„„„„„„„„„„12分 男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重． „„„„„„„„„„„„14分

11．（本题满分18分）（金陵中学2011年高考预测）已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足：

a

(a n -1) (a 为常数，且a ≠0，a ≠1) ． a -1

2S

（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝n ＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值；

a n S n ＝

⎛11⎫

+（3）在满足条件（2）的情形下，设c n ＝2－ ⎪，数列{c n }的前n 项的1+a 1-a n n +1⎭⎝

1

和为T n ．求证：T n ＜．

3a

解：（1）因为S 1＝(a 1-1) ，所以a 1＝a ． „„„„„„„„„„„„1分

a -1

a a

当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝a n -1， a n －

a -1a -1

所以

a n

＝a ，即{a n }是等比数列． „„„„„„„„„„„„4分 a n -1

所以a n ＝a ⋅a n -1＝a n ． „„„„„„„„„„„„6分

2⋅

（2）由（1）知，b n ＝

a

(a n -1)

(3a -1) a n -2a ＋1＝，„„„„„„„7分 a n (a -1) a n

若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3， „„„„„„„„„„„„8分

3a +23a +223a 2+2a +23a 2+2a +2

而b 1＝3，b 2＝，b 3＝，故(， ) ＝3⋅

a 2a 2a a

111

解得a ＝，再将a ＝代入，得b n ＝3n 成立，所以a ＝．„„„„„„12分

333

1

（3）由（2）知，a n ＝() n ， „„„„„„„„„„„„13分

311113n 3n +1

所以c n ＝2－－＝1－n ＋1－n +1＝n －n +1，

1n 1n +13+13-13+13-11+() 1-() 33

„„„„„„„„„„„„14分 1111111111由n ＜n ，n +1＞n +1得n －n +1＜n －n +1，所以c n ＜n －n +1， 3+133+13-133333-13

„„„„„„„„„„„„16分

111111111

从而T n ＝c 1＋c 2＋„＋c n ＜－2＋(2－3) ＋„＋(n －n +1) ＝－n +1＜．

333333333

„„„„„„„„„„„„18分

→2→→→→→→

12．（本题满分20分）已知△ABC 中满足(AB ) ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，a 、b 、c 分别是△ABC 的三边．

（Ⅰ）试判断△ABC 的形状并求sin A ＋sin B 的取值范围；

222

（Ⅱ）若不等式a (b ＋c ) ＋b (c ＋a ) ＋c (a ＋b ) ≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，求k 的

取值范围．

→2→→→→→→

解：（Ⅰ）∵(AB ) ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，

→2→→→→→→2→→→→

(AB ) ＝AB ·(AC ＋CB ) ＋CA ·CB 即(AB ) ＝AB ·AB ＋CA ·CB ，„2分 →→

即CA ·CB ＝0，△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，„„„„„„„4分

ππ

∴sinA ＋sin B ＝sin A ＋cos A 2sin(A ，A ∈(0，) ，„„„„„„6分

42∴sinA ＋sin B

的取值范围为． „„„„„„„„„„„„8分

（Ⅱ）在直角△ABC 中， a＝c sin A ，b ＝c cos A ．

222

若a (b ＋c ) ＋b (c ＋a ) ＋c (a＋b ) ≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，

a 2(b ＋c ) ＋b 2(c ＋a ) ＋c 2(a＋b ) 则有k ，对任意的a 、b 、c 都成立，

abc

a (b ＋c ) ＋b (c ＋a ) ＋c 2(a＋b ) ∵ abc

2

2

122222

[c sin A (c cos A ＋c ) ＋c cos A (c sin A ＋c ) ＋c (c sin A ＋c cos A )]

c sin A cos A

„„„„„„„„„„„„10分

122

＝[ sinA cos A ＋cos A sinA ＋1＋cos A ＋sin A ] sinA cos A

1＋cos A ＋sin A

＝cos A ＋sin A ＋ „„„„„„„„„„„„12分

sinA cos A ＝

令t ＝sin A ＋cos A ，t

∈，

a 2(b ＋c ) ＋b 2(c ＋a ) ＋c 2(a＋b ) 1＋t 22

设f (t ) ＝t ＋2＝t ＋t －1＋1．

abct －1t －1t －1

2

„„„„„„„„„„„„14分

2

f (t ) ＝t －1＋1，当t

－1∈1] 上时 f (t ) 为单调递减函数， t －1

∴当t 2时取得最小值，最小值为2＋32， „„„„„„„„„„„„16分 即k ≤2＋32，

所以k 的取值范围为（－∞，2＋2]． „„„„„„„„„„„„18分