j级数理论_函数项级数
§2 函数项级数
I 基本概念
一 函数列及其一致收敛性
1 定义
定义1 设{f n (x )}是一列定义在同一数集E 上的函数,若x 0∈E ,数列{f n (x 0)}收敛,则称函数列{f n (x )}在点x 0收敛,x 0称为{f n (x )}的收敛点,否则称函数列{f n (x )}在点x 0发散.若{f n (x )}在D ⊂E 上每点都收敛,则称{f n (x )}在D 上收敛,全体收敛点所成之集称为收敛域,此时在收敛域上的每一点,都有数列{f n (x )}的一个极限值与之对应,由这个对应法则所确定的D 上的函数,称为{f n (x )}的极限函数.若记之为f ,则有
lim f n (x )=f (x ),x ∈D .
n →∞
函数列极限的ε−N 定义:lim f n (x )=f (x ),⇔x ∈D ⇔∀x ∈D ,∀ε>0,
n →∞
∃N (x , ε)>0,∀n >N ,有
f n (x )−f (x )
若对所有x ∈D ,存在公共的N >0,则称f (x )在D 一致收敛,即
定义2 设{f n (x )}与f (x )定义在同一数集D 上,若∀ε>0,∃N (ε)>0,∀n >N ,
∀x ∈D ,有
f n (x )−f (x )
则称{f n (x )}在D 上一致收敛于f (x ),记作
f n (x ) , f (x )(n →∞),x ∈D .
2 判定
除用定义判断一致收敛以外,还可以用下面几种方法.
定理1(柯西准则){f n (x )}于D 上一致收敛⇔∀ε>0,∃N >0,∀n , m >N ,
∀x ∈D ,有
f n (x )−f m (x
定理2 f n (x ) , f (x )(n →∞)(x ∈D )⇔lim sup f n (x )−f (x )=0
n →∞x ∈D
⇔
∀ε>0,∃N >0,∀n >N ,有sup f n (x )−f (x )
x ∈D
命题 在D 上,f n →f (n →∞) ,若存在数列{a n },使得f n (x ) −f (x ) ≤a n ,且
lim a n =0,则f n (x ) ,f (x ) (n →∞), x ∈D .
n →∞
注 定理2比定理1更为适用,其困难在于求上确界.先求出f (x )(把x 看成常数,令
n →∞求之),然后求f n (x ) −f (x ) 的极值和最值.
3 收敛与一致收敛的关系 (1)f n ,f ⇒f n →f ;
(2)在有限区间上,f n →f ⇒挖去充分小区间后,f n ,f . 4 一致收敛函数列的性质
定理3 设函数列{f n (x ) }在(a , x 0) ∪(x 0, b ) 上一致收敛于f (x ) ,且对每个n ,
x →x 0
lim f n (x ) =a n ,则lim a n 与lim f (x ) 均存在,且相等,即
n →∞
x →x 0
lim lim f n (x ) =lim lim f n (x ) .
n →∞x →x 0
x →x 0n →∞
此说明在一致收敛的条件下两种极限可交换顺序.
定理4(连续性)若函数列{f n (x ) }在区间I 上一致收敛于f (x ) ,且∀n ,f n (x ) 在I 上连续,则f (x ) 在上I 也连续.
注 若各项为连续函数的函数列{f n (x ) }在区间I 上其极限函数不连续,则此函数列
{f n (x ) }在区间I 上不一致收敛.如:{x n }在(−1, 1]上.常用此来证明非一致收敛.
定理5(可积性)若函数列{f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛,且每一项都连续,则
∫
b
a n →∞
lim f n (x ) dx =lim ∫f n (x ) dx .
n →∞a
b
注(1)该定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序; (2)一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件.如下例: 例 设函数
1⎧
2n αx , 0≤x
≤x
2n n ⎪
1⎪0, ≤x ≤1
⎪n ⎩
显然f n (x ) 在[0, 1]上连续,且f n (x ) →0(n →∞) ,而sup f n (x ) −0=αn ,因此,函数
x ∈[0, 1]
列一致收敛的充要条件是
αn →0(n →∞) .由于
∫
1
f n (x ) dx =
αn
2n
,因此,
∫
1
f n (x ) dx →∫f (x ) dx 的充要条件是
1
αn
2n
→0(n →∞) .这样当αn ≡1时,函数列非一
致收敛,但定理5的结论仍成立.
定理6(可微性)设{f n (x ) }为定义在[a , b ]上的函数列,若x 0∈[a , b ]为{f n (x ) }的收敛点,{f n (x ) }的每一项在[a , b ]上有连续的导数,且{f n ′(x ) }在[a , b ]上一致收敛,则
d d (lim f n (x )) =lim f n (x ) . n →∞n →∞dx dx
注 由定理的条件可证:{f n (x ) }在[a , b ]也一致收敛.
二 函数项级数及其一致收敛性
1 定义
定义3 设{u n (x )}是定义在数集E 上的一个函数列,表达式
u 1(x )+u 2(x )+ +u n (x )+ ,x ∈E (1)
称为定义在E 上的函数项级数,简记为
∞
∑u (x ),称S (x )=∑u (x ),x ∈E 为函数项级
n
n
k
n =1
k =1∞
n
∞n
数的部分和.若x 0∈E ,级数
∞
∑u (x )收敛,则称级数∑u (x )在点x 收敛,x 称为级
n
00
n =1n =1
数(1)的收敛点;若级数
∑u (x )发散,则称(1)在点x 发散.若(1)在点集D 上每
n
n =1
点都收敛,则称(1)在D 上收敛;级数(1)的全体收敛点所成之集称之为收敛域,这样收敛级数在收敛域D 上定义了一个函数,记为S (x ) ,称之为(1)的和函数,即
S (x )=∑u n (x ),x ∈D .
n =1
∞
定义4 设{S n (x )}是数S (x ),则称
2 判断
∞
∑u (x )的部分和函数列.若{S (x )}在数集D 上一致收敛于函
n
∞
n
n =1
∑u (x )在D 上一致收敛于函数S (x ),或称∑u (x )在D 上一致收敛.
n
n
n =1
n =1
∞
定理7(一致收敛的柯西准则)若
∑u (x )在D 上一致收敛⇔∀ε>0,∃N >0,
n n =1
∞
∀n >N ,∀p ∈Ν,∀x ∈D ,有u n +1(x )+ +u n +p (x )
定理8 若
∑u (x )在D 上一致收敛于S (x )⇔lim sup S (x )−S (x )=0
n n =1
n →∞x ∈D
n
∞
⇔lim sup R n (x )=0.(R n (x )=S (x )−S n (x )=
n →∞x ∈D ∞
k =n +1
. ∑u (x ))
k
∞
推论 级数
∑u (x )在D 上一致收敛的必要条件是:{u (x )}一致收敛于零.
n
n
n =1
定理9(M −判别法、优级数判别法、魏尔斯特拉斯判别法) 设
∑u (x )定为义在数集D 上的级数.若存在正项级数∑M
n n =1
n =1
∞∞
n
,使得
u n (x )≤M n ,n ≥N .
则当
∑M
n =1
∞
n
收敛时,
∑u (x )在D 上一致收敛.
n n =1
∞
定理10(狄利克雷判别法)设 (1)
∑u (x )的部分和函数列{S (x )}
n
∞
n
∞
在n =1
I 上一致有界;
n =1
(2)∀x ∈I ,{v n (x )}是单调的; (3)v n (x ), 0(n →∞),x ∈I , 则级数
∑u (x )v (x )在I 一致收敛.
n
n
n =1
∞
定理11(阿贝尔判别法)设 (1)
∑u (x )在I 一致收敛;
n n =1
∞
(2)∀x ∈I ,
{u n (x )}是单调的;
(3){v n (x )}在I 一致有界,即∃M >0,u n (x )≤M ,∀x ∈I ,n =1, 2, . 则
∑u (x )v (x )在I 一致收敛.
n
n
n =1
∞
3 和函数的分析性质
,且定理12 若u n (x )在x 0处连续(n =1, 2, )
∑u (x )在x
n n =1
∞
0某领域一致收敛,则
S (x )=∑u k (x )在x 0处连续.
k =1
n
,且定理13 若u n (x )在(a , b )内连续(n =1, 2, )则S (x )=
∑u (x )在(a , b )内闭一致收敛,
n n =1
∞
∑u (x )在(a , b )内连续.
k k =1
n
定理14(连续性) 若上也连续,即
且每一项都连续,则其和函数在[a , b ]∑u (x )在[a , b ]一致收敛,
n n =1
∞
⎛∞⎞∞⎛
lim ⎜∑u n (x )⎟=∑⎜lim u n (x )⎞⎟. x →x 0x x →⎠⎝n =1⎠n =1⎝0
即求和与求极限可以交换次序.
定理15(逐项求积)在定理14的条件下,有
∞b ⎛∞⎞
u n (x )⎟dx =∑∫u n (x )dx . ∑∫a ⎜a
n =1⎝n =1⎠b
即求和与求积分可交换次序.
定理16(逐项求导)若函数项级数
∑u (x )满足条件:
n n =1
∞
(1)u n (x )在[a , b ]上有连续的导函数,n =1, 2, ; (2)∃x 0∈[a , b ],
∞
∑u (x )在x 点收敛;
n
∞
n =1
(3)
∑u ′(x )在[a , b ]一致收敛,
n n =1
′∞
⎛∞⎞
′(x ). 则⎜∑u n (x )⎟=∑u n n =1⎝n =1⎠三 幂级数及其收敛域
形如
∑a (x −x )
n
∞
n
的函数项级数称为幂级数,通过变换可化为
n =1
∑a
n =1
∞
n
. x n
1 收敛半径、收敛区间、收敛域 定理17(阿贝尔引理)对幂级数
∞
∑a
n =1
∞
n
x n ,若它在点x 0≠0收敛,则对满足不等式
∞
x
n
n =1
n =1
满足不等式x >x 0的任何x 都发散.
由此易得幂级数
∑a
n =1
∞
n
x n 的收敛域是以原点为中心的区间,若以2R 表示区间的长度,
称R 为收敛半径,称(−R , R )为收敛区间,而收敛域可能包括收敛区间的端点.
2 收敛半径R 的求法
定理18 若lim a n =ρ,则当
n →∞
(1)0
1
ρ
;
(2)ρ=0时,R =+∞; (3)ρ=∞时,R =0.
注 当lim a n 不存在时,可以上极限代之,结论不变.
n →∞
定理19 若lim
n →∞
a n +1a n
=ρ,则当
(1)0
1
ρ
;
(2)ρ=0时,R =+∞; (3)ρ=∞时,R =0. 注 我们知道:若lim
n →∞
a n +1a n
=ρ,则lim a n =ρ.这样,从理论上讲,定理19是定
n →∞
理18的特例,但在实际应用中各有优势,当函数项级数的系数为n 次幂的形式,常用定理18;若系数含有阶乘或连乘积的形式,则常用定理19 .若定理18中的极限不存在,则可用上极限代之,结论仍然成立.
2 幂级数的性质 定理20 若
∞
∑a
n =1n
∞
n
则它在(−R , R )内任一闭区间都一致收敛且绝x n 的收敛半径R >0,
∞
对收敛;若
∑a
n =1
n
R 收敛,则∑a n x n 在[0, R ]一致收敛.
n =1
定理21 若幂级数
∑a
n =1
∞
n
x n 的收敛半径R >0,则其和函数在(−R , R )内连续、可积、
可微,且有任意n 阶导数,并满足逐项可积和逐项求导法则.
注 幂级数与其诱导级数(逐项求导或求积)具有相同的收敛半径,但其收敛域有可能变化,即收敛区间端点的收敛性可能发生变化.
四、函数的幂级数展开
1 泰勒级数
若f 在U (x 0)存在任意阶导数,称幂级数
f (n )(x 0)(x −x 0)n + f (x 0)+f ′(x 0)(x −x 0)+ +
n !
为函数f (x )在x 0的泰勒级数.
注(1)泰勒级数未必收敛;
⎧−x 1⎪
(2)泰勒级数即使收敛,亦未必收敛于f (x ).如f (x )=⎨e , x ≠0 在x =0点.
⎪⎩0, x =0
2 收敛定理
定理22 设f 在点x 0具有任意阶导数,那么f 在U (x 0)内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是:∀x ∈U (x 0) ,lim R n (x )=0.这里R n (x )是f 在x 0的泰勒公式余项.
n →∞
定理23 若函数f 在U (x 0)存在任意阶导数,且∃M >0,有
f (n )(x )≤M ,n =1, 2, ,x ∈U (x 0),
则f (x )=
∑
n =0
∞
f (n )(x 0)(x −x 0)n .
n !
若函数f (x )在x 0的泰勒级数收敛于f (x ),则称泰勒级数为f 在x 0的泰勒展开式或幂级数展开式,也称f 在x 0可展为幂级数或泰勒级数.当x 0=0时的泰勒级数又称为马克劳林级数.
3 初等函数的幂级数展开式
x n
,x ∈R ; (1)e =∑n ! n =0
x
∞
(2)sin x =
∑(−1)
n =1∞
∞
n −1
x 2n −1
,x ∈R ;
2n −1!
x 2n
(3)cos x =∑(−1),x ∈R ;
2n ! n =0
n
(4)ln (1+x )=
α
∑
n =1
∞
(−1)n −1x n ,x ∈(−1, 1];
n
(5)(1+x )=1+
∑
n =1
∞
α(α−1) (α−n +1)
n !
x n ,当α≤−1时,x ∈(−1, 1);当
−10时,x ∈[−1, 1];
∞
1
(6)=∑x n ,x
1−x n =0
∞
1n
(7)=∑(−1)x n ,x
1+x n =0
五、傅里叶级数
1 正交性与正交函数系
定义5 设f ,g 在[a , b ]上有定义,且可积.若在[a , b ]上正交.
性质 三角函数系{1, cos x , sin x , , cos nx , sin nx , }在[−π, π]或[0, 2π]上具有正交性,称之为[−π, π]上的正交函数系.
∫f (x )g (x )dx =0,则称f (x ),g (x )
a
b
a 0∞称形如 +∑(a n cos nx +b n sin nx ) 的函数级数为三角级数.
2n =1
2 傅里叶系数及级数
设函数f 是以2π为周期且在[−π, π]上可积的函数,称
a n =
1
π
1
∫πf (x )cos nxdx , n =0, 1, 2, ,
−
π
b n =
π
∫πf (x )sin nxdx ,n =1, 2, ,
−
π
为函数f 的傅里叶系数,以f 的傅里叶系数为系数的三角级数称为f 的傅立叶级数,记为
a 0∞
f (x )~+∑(a n cos nx +b n sin nx ) (1)
2n =1
3 傅立叶级数的收敛定理
则在每一点x ∈[−π, π],f 定理24 若以2π为周期的函数f 在[−π, π]上按段光滑,的傅立叶级数(1)收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值,即
f (x +0)−f (x −0)a 0∞
=+∑(a n cos nx +b n sin nx ).
22n =1
注 在区间端点则收敛于
1
[f (−π+0)+f (π−0)]. 2
4 奇偶函数的傅氏级数
设f (x )是以2π为周期,且在[−π, π]上按段光滑的函数,则 (1)若f 为偶函数,则b n =0,n =1, 2, ,a n =此时的傅氏级数常称为余弦级数;
2
π
∫f (x )cos nxdx ,n =0, 1, 2, ,
π
(2)若f 为奇函数,则a n =0,n =0, 1, 2, ,b n =此时的傅氏级数常称为正弦级数.
2
π
∫f (x )sin nxdx ,n =1, 2, ,
π
注 对给予[0, π]区间上的函数,常作奇(偶)延拓,使其傅氏级数简单. 5 以2l 为周期的函数的展开式
设函数f 是以2l 为周期,且在[−l , l ]上按段光滑的函数,则∀x ∈[−l , l ],有
f (x +0)−f (x −0)a 0∞
=+∑(a n cos nx +b n sin nx ),
22n =1
其中a n =
n πx n πx 1l 1l
(),,() cos dx n =0, 1, 2, =sin dx ,n =1, 2, .f x b f x n ∫∫−−l l l l l l
II 例题选解
一 函数列的收敛与一致收敛
例1 证明函数列f n (x ) =nx (1−x ) , n ≥1,在[0, 1]上收敛,但非一致收敛.
证 当x =0或x =1时,f n (x ) =0, n ≥1,当x ∈(0, 1) 时,0
n
lim nx (1−x ) n =0(级数∑nx (1−x ) n 收敛), 所以f (x ) =lim f n (x ) =0,即f n (x ) 在
n →∞
n →∞
[a , b ]上收敛.
111
sup f n (x ) −f (x ) ≥f n () =(1−n →≠0(n →∞) , x ∈[0, 1]
所以,f n (x ) 在[a , b ]上非一致收敛.
例2(哈尔滨工大1999)设连续函数列{f n (x ) }在闭区间[a , b ]上一致收敛于函数f (x ) ,
x n ∈[a , b ](n =1, 2, , ) ,且lim x n =x 0.证明:lim f n (x n ) =f (x 0) .
n →∞
n →∞
分析:f n (x n ) −f (x 0) ≤f n (x n ) −f (x n ) +f (x n ) −f (x 0) . 证 由一致收敛定义得:∀ε>0, ∃N 1>0, ∀n >N 1, ∀x ∈[a , b ],有
f n (x ) −f (x )
∃δ>0,又{f n (x ) }连续,且一致收敛于f (x ) ,所以f (x ) 在[a , b ]也连续,则对上述ε>0,
当x ∈U (x 0, δ) ∩[a , b ]时,有
f (x ) −f (x 0)
而lim x n =x 0,则对上述δ>0, ∃N 2>0, 当n >N 2时,有x n −x 0N 2
n →∞
时,有
f (x n ) −f (x 0)
取N =max {N 1, N 2},则当n >N 时,(1)和(2)式均成立,故有
f n (x n ) −f (x 0) ≤f n (x n ) −f (x n ) +f (x n ) −f (x 0)
即 lim f n (x n ) =f (x 0) .
n →∞
例3(武汉大学2001)设{f n (x ) }在[a , b ]上连续,且{f n (b ) }发散,证明:{f n (x ) }在
[a , b ]上非一致收敛.
证 假设
{f n (x ) }
在[a , b ]上一致收敛,则由柯西收敛准则得:
∀ε>0, ∃N >0, ∀n , m >N , 有
f n (x ) −f m (x )
又f n (x ) (n ≥1) 在[a , b ]上连续,令x →b −得
f n (b ) −f m (b ) ≤ε,
由数列的柯西收敛准则知{f n (b ) }收敛,矛盾,所以,{f n (x ) }在[a , b ]上非一致收敛.
例4(华东师大1999)设对每一个n ,f n (x ) 为[a , b ]上有界函数,且
f n (x ) ,f (x ) (n →∞), x ∈[a , b ].
证明:(1)f (x ) 在[a , b ]上有界;
(2)lim sup f n (x ) =sup f (x ) .
n →∞a ≤x ≤b
a ≤x ≤b
证(1)由一致收敛定义得:对ε=1, ∃N >0, 当n ≥N 时,∀x ∈[a , b ],有
f n (x ) −f (x )
特别地,有f (x )
(2)由题设及(1)知上确界都存在,且有
a ≤x ≤b
sup f n (x ) −sup f (x ) ≤sup f n (x ) −f (x ) ,
a ≤x ≤b
a ≤x ≤b
由此易得结论(2)成立.
思考题1(南开大学1999)设函数列{f n (x ) }在区间I 上一致收敛于f (x ) ,且存在数列{a n },使得当x ∈I 时,总有f n (x ) ≤a n .证明:f (x ) 在I 上有界.
例5(华东师大2000)设{f n (x ) }为[a , b ]上连续函数列,且
f n (x ) ,f (x ) (n →∞), x ∈[a , b ]. (1)
证明:若f (x ) 在[a , b ]上无零点,则当n 充分大时,f n (x ) 在[a , b ]上无零点,,且有
11
,(n →∞), x ∈[a , b ]. f n (x ) f (x )
证 由函数列一致收敛的性质知f (x ) 在[a , b ]上连续,又f (x ) 在[a , b ]上无零点,故由连续函数的零点定理知f (x ) 在[a , b ]上不变号,不妨设f (x ) >0.设m 为其最小值,则
m >0.由(1)得:对ε=m 2,∃N >0,当n >N 时,∀x ∈[a , b ],有
f n (x ) −f (x )
由此得:当n >N 时,有
f n (x ) ≥f (x ) −ε≥
m , 2
所以当n >N 时,f n (x ) 在[a , b ]无零点.同时,我们有
f (x ) −f (x ) 114
−=n ≤2f n (x ) −f (x ) , f n (x ) f (x ) f n (x ) f (x ) m
由一致收敛的定义立得
11
,(n →∞), x ∈[a , b ]. f n (x ) f (x )
例6(华东师大2001)设f (x ) 在[0, 1]上连续,f (1) =0.证明:
{}在[0, 1]上不一致收敛; (2){f (x ) ⋅x }在[0, 1]上一致收敛.
(1)x
n
n
证(1)由于
⎧0, 0≤x
f (x ) =lim x n =⎨
n ←∞
⎩1, x =1,
即f (x ) 在[0, 1]上不连续,而
{x }连续,故{x }在[0, 1]上不一致收敛.
n
n
n
(2)由f (1) =0及连续得:∀ε>0, ∃δ∈(0, 1) ,当x ∈(1−δ, 1]时,有f (x )
0,使得
∀x ∈[0, 1],有f (x ) ≤M ,于是有
lim sup f (x ) ⋅x n ≤M lim (1−δ) n =0,
n →∞x ∈[0, 1−δ]
n →∞
从而当n 充分大时,有
sup f (x ) ⋅x n −0≤ε,
x ∈[0, 1]
即f (x ) ⋅x
{
n
}在[0, 1]上一致收敛于0.
例7(河北师大)(1)设(i)f n (x ) (n =1, 2, ) 在[a , b ) 上连续; (ii){f n (x ) }在[a , b ) 上一致收敛于f (x ) ; (iii) 在[a , b ) 上f n (x ) ≤f n +1(x ), n ≥1 , 试证:e
{
f n (x )
}在[a , b ) 上一致收敛于e
f (x )
.
(2)若将(1)中条件(iii)去掉,(1)中结论是否还成立?试证明你的结论. 证(1)由例4的结论知,∃M >max a , b ,使得
{}
f n (x ) ≤M , f (x ) ≤M , ∀x ∈[a , b ), n ≥1.
令g (x ) =e ,则g (x ) 在[−M , M ]上连续,从而一致连续,即∀ε>0, ∃δ>0, 当
x
x 1, x 2∈[−M , M ],且x 1−x 2
e x 1−e x 2
又
{f n (x ) }在[a , b )
上一致收敛于f (x ) ,所以对上述
δ>0,∃N >0,当
n >N , ∀x ∈[a , b ) ,有 f n (x ) −f (x )
e f n (x ) −e f (x )
由定义知 e
{
f n (x )
}在[a , b ) 上一致收敛于e
f (x )
.
(2)结论仍然成立.这是因为在(1)的证明中根本没有用到条件(iii).
思考题2(北京科技大学2001)设{f n (x ) }在[a , b ]上连续,且一致收敛到f (x ) .证明: (1)∃M >0,使得∀n ≥1, ∀x ∈[a , b ],有f n (x ) ≤M , f (x ) ≤M ; (2)若g (x ) 在(−∞, +∞) 内连续,则g (f n (x )) 在[a , b ]上一致收敛到g (f (x )) . 例8(北京大学1996)设在[a , b ]上,f n (x ) 一致收敛于f (x ) ,g n (x ) 一致收敛于
g (x ) .若存在正数列{M n },使得
f n (x ) ≤M n , g (x ) ≤M n , x ∈[a , b ],n ≥1.
证明:f n (x ) ⋅g n (x ) 在[a , b ]上一致收敛于f (x ) g (x ) .
提示:仿例4可证f n (x ), f (x ) 和g n (x ), g (x ) 均在[a , b ]上一致有界,然后利用定义即可.
例9(中科院2000)设函数f (x ) 在[a , b ]上有连续的导函数f ′(x ) ,a
11
,定义函数:f n (x ) =n [f (x +) −f (x )].试证:f n (x ) 在[a , β]上b −β
一致收敛于f ′(x ) .
证 f ′(x ) 在[a , b ]上连续,从而一致连续,即∀ε>0, ∃δ>0,∀x 1, x 2∈[a , b ],当
x 1−x 2
f ′(x 1) −f ′(x 2)
取N >max ⎨,
⎧1
1⎫1
,则当n >N 时,∀x ∈[a , β],有x +∈[a , b ],从而由上式和
⎩δb −β⎭
微分中值定理得
f n (x ) −f ′(x ) =f ′(x +ξn ) −f ′(x )
即f n (x ) 在[a , β]上一致收敛于f ′(x ) .
思考题3(北航)证明:对任意实数x ,级数
sin x −sin sin x +sin sin sin x −
收敛.
提示:利用Leibniz 判别法.
二 函数列与函数级数的一致收敛判别法
1 定义法
例10 设f (x )在R 上有连续的导函数,f n (x )=e n f x +e −n −f (x )(n =1, 2, ).证明:{f n (x )}在任一有限区间(a , b )内一致收敛于f ′(x ).
解 由微分中值定理得
[()]
f x +e −n −f (x )f n (x )−f ′(x =−f ′(x )=f ′(ξ)−f ′(x ),x
e
,当x 1, x 2∈[a , b +1],又因为f ′在[a , b +1]上一致连续,即∀ε>0,∃δ>0(δ
()
x 1−x 2
1
δ
,则当n >N ,∀x ∈[a , b ],有
f n (x )−f ′(x )
故f n (x ), f (x )(n →∞),x ∈(a , b ).
例11设f n (x ) =
k 1
其中f (x ) 在(−∞, +∞) 上连续.求证:函数列{f n (x ) }f x (+,∑k =0
n −1
在有界闭区间[a , b ]上一致收敛.
分析:容易看出f n (x )→
,因此只需证:∀ε>0,∃N >0,∫f (x +t )dt (n →∞)
01
∀n >N ,x ∈I ,有
f n (x )−∫f (x +t )dt
1
证 由定积分定义知
lim f n (x ) =∫f (x +t ) dt .
n →∞
1
即∀ε>0, ∃δ>0, ∀x 1,由于f (x ) 在(−∞, +∞) 上连续,所以f (x ) 在[a , b +1]上一致连续,
x 2∈[a , b +1],当x 1−x 2
f (x 1) −f (x 2)
取N >δ−1,则当n >N 时,由上式得 f (x +n −1) −f (x )
f n (x ) −∫f (x +t ) dt =
1
∑∫
k =0
n −1
k +1
k k
(f (x +−f (x +t )) dt
≤
∑∫
k =0
n −1
k +1n k n
k
f (x +) −f (x +t ) dt ≤ε,
即{f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛. 思考题4(兰州大学)设f n (x ) =
1k cos(x +∑) , n =1, 2, .证明:{f n (x ) }在k =1
n
(−∞, +∞) 上一致收敛.
例12(北京大学)至少用两种方法证明级数
∑x
n =0
∞
n
在[0, 1) 上非一致收敛.
x n (1−n −1) n 1n
证法一 lim sup R n (x ) =lim sup lim n (1≥lim =−=+∞,n →∞x ∈[0, 1) n →∞x ∈[0, 1) 1−x n →∞1−(1−n −1) n →∞
所以
∑x
n =0
∞
n
在[0, 1) 上非一致收敛.
1−x n 1x n
,S n (x ) −S (x ) =.取, S (x ) =证法二 在[0, 1) 上,S n (x ) =
1−x 1−x 1−x
ε0=1>0, ∀N >0, ∃n 0=N +2>N , ∃x 0=1−(2n 0) −1∈[0, 1) ,有
S n 0(x 0) −S (x 0) =2n 0⋅(1−
由定义知
1n 011
) ≥2(1−) >2(1−=1=ε0, 2022
∑x
n =0
∞
n
在[0, 1) 上非一致收敛.
n
注 在证法二中运用了贝努里不等式:当x >−1时,有(1+x ) ≥1+nx .可用数学归纳法证明这个结论.
思考题5(同济大学)证明:
∑x
n =1
∞
n
(1−x n ) 在[0, 1]上处处收敛,但非一致收敛.
提示:当x =1时显然收敛,当x ∈[0, 1) 时,一致收敛类似上题证法一.
思考题6(中科院)证明:函数级数
−3
∑x
n =1
∞
n
(1−x ) =∑x −∑x 2n ,收敛.非
n
n n =1
n =1
∞∞
n
在(0, 1) 内收敛,但非一致收敛. ∑3
n =01+n x
∞
提示:证明非一致收敛时取x 0=n .
例13(吉林大学)设0
n →∞
(2)级数
∑x
n =1
∞
p n
当p >2时收敛,当p ≤2时发散.
证 由第一章例26得
lim
n →∞
x n 3=1,
由此立得结论成立.
2 放大法
对于函数列,将f n (x )−f (x )适当放大至一个与x 无关的收敛于零的数列(无穷小量),即
f n (x )−f (x )≤αn →0(n →∞)
其中αn 与x 无关.
对于级数,则讨论其余项R n (x ),即
R n (x )≤αn →0(n →∞),
其中αn 与x 无关.
实现放大有很多技巧,如通过已知的不等式,求极值,余项估计,递推放大等. 例14 设f n (x )在[a , b ]上可积,n =1, 2, ,f (x ),g (x )在[a , b ]上也可积,且
lim ∫f n (x )−f (x )dx =0,
2
b
n →∞a
记h (x )=
∫f (t )g (t )dt ,h (x )=∫
a
n
x x a
f n (t )g (t )dt ,则在[a , b ]上h n (x ), h (x )(n →∞) .
证(不等式法)由于
h n (x )−h (x )=
x
∫a (f n (t )−f (t ))g (t )dt ≤∫a f n (t )−f (t )g (t )dt
12
x x
22
≤⎛⎜∫a f n (t )−f (t dt ⎞⎟⋅⎛⎜∫a g (t )dt ⎞⎟ ⎝⎠⎝⎠
1
2
12
x
12
≤⎛⎜∫a f n (t )−f (t )dt ⎞⎟⋅⎛⎜∫a g (t dt ⎞⎟→0(n →∞) . ⎝⎠⎝⎠
2
2
b b
所以,h n (x ), h (x )(n →∞) ,∀x ∈[a , b ].
x (ln n )例15(广西大学)给定函数列f n (x )=(n =2, 3, 4, ).试求当α为何值时,
n x
α
{f n (x )}在[0, +∞)上一致收敛.
α+1
(ln n )⎛
解(极值法) 由f ′(x )=
n
n x
111⎞
()x 知:当时,f x 严增,当−x x ⎜⎟n
ln n ln n ⎝ln n ⎠
1⎛1⎞
处取最在值,最大值为f n ⎜⎟.此外,易求ln n ⎝ln n ⎠
时,f n (x )严减,因此函数f n (x )在x =
极限函数为f (x )≡0,于是,当n →∞时,有
⎛1⎞(ln n )sup f n (x )−f (x )=f n ⎜⎟=1
x ∈[0, +∞) ⎝ln n ⎠
n ln n
α−1
α−1
(ln n )=
(e )
1ln n ln n
⎧→0, α
1−1α−1⎪
=(ln n )⎨→e , α=1, e ⎪→+∞, α>1,
⎩
所以{f n (x )}当且仅当α
例16(湖北大学2002)试问k 为何值时,f n (x ) =xn k e −nx 在[0, +∞) 上一致收敛. 解 ∀x ∈[0, +∞) ,有
xn k
f (x ) =lim f n (x ) =lim nx =0,
n →∞n →∞e
且f ′′(n ) =−n 而f n ′(x ) =n k e −nx (1−nx ) ,令f n ′(x ) =0得x =n −1,
x →∞
−1k +1
e
为其极大值点,又f n (0) =0, lim f n (x ) =0,所以也是其最大值点,于是
x ∈[0, +∞)
sup f n (x ) −f (x ) =f n (n −1) =e −1n k −1,
由此可得,当k
例17 试证:
n
()1−∑n =1∞
n
在(−∞, +∞)内一致收敛.
n 2+x 2
x 2−y 2y
证(余项估计法) 设f (y )=2,则f ′(y )=.可见∀x ∈R ,当y 2222x +y x +y
充分大时,f (y )是单减的,即级数通项是单减的.因而是Leibniz 级数.因此,当n 充分大时,
R n (x )≤
n +11
, ≤→0(n →∞)22
n +1+x n +1
所以该级数在R 内一致收敛.
例18 讨论常数).
解 原级数可写成
∞
⎛nx 1nx ⎞⎜⎟=⋅∑∑⎜⎟, ++++++−+1x 12x 1nx 1x 12x 1n 1x 1nx n =1n =1⎝⎠∞
nx
在(0, a )与(a , +∞)内的一致收敛性(a >0为∑1+x 1+2x 1+nx n =1∞
∀x ∈(0, +∞),级数∑
数列⎨
nx 11收敛(),
1+x 1+n −1x 1+x 1+x 1+2x 1+nx n =1∞
⎧nx ⎫
⎬单增有界,由阿贝尔判别法知其收敛,此外, 1+nx ⎩⎭
∞
kx kx +1−1
R n (x )=∑=∑
++1x 1kx 1+x 1+k −1x 1+kx k =n +1k =n +1
∞
==
由此立得
⎡⎤11−∑⎢1+x 1+k −1x 1+x 1+kx ⎥
k =n +1⎣⎦1
.
1+x 1+nx 1
→0(n →∞).
1+a 1+na ∞
x ∈(0, a )
sup R n (x )=1,sup R n (x ) =
x ∈(a , +∞)
所以在(0, a )内非一致收敛,在(a , +∞)内一致收敛.
例19(吉林工业大学)设f 1(x )在[a , b ]上正常可积,f n +1(x )=明:函数序列{f n (x )}在[a , b ]上一致收敛于零.
证(递推方式放大) 由f 1(x )在[a , b ]上正常可积知f 1(x )在[a , b ]有界,即∃M >0,使得
证∫f (t )dt ,n =1, 2, .
a
n x
f 1(x )≤M ,∀x ∈[a , b ].
从而
f 2(x )≤∫
x a
x a
f 1(t )dt ≤M (x −a ),
x
f 3(x )≤∫f 2(t dt ≤M ∫(t −a )dt =
a
M
(x −a )2, 2!
一般地,若对n 有f n (x )≤
x
M
(x −a )n −1,则
n −1!
x M M n −1n
, ()()−=−t a dt x a
n −1! ∫a n !
f n +1(x )≤∫f n (t )dt =
a n
M (b −a ),故f n (x ), 0(n →∞),x ∈[a , b ]. 从而有f n +1(x )≤→0(n →∞)
n !
注 将区间[a , b ]换成[0, a ]便是北航1999年考研题.
例20(华中师大2002,东北师大)设G (x , t ) 在矩形D =[a , b ]×[a , b ]上连续,u 0(x ) 在[a , b ]上连续,令u n (x ) =一致收敛.
有G (x , t ) ≤M 1, ∀(x , t ) ∈D ;证 G (x , t ) 在D 上连续,从而在D 上有界,即∃M 1>0,又u 0(x ) 在[a , b ]上连续,则有界,故存在M 2>0,有u 0(x ) ≤M 2, ∀x ∈[a , b ].于是
∫u
a
x
n −1
(x ) dx , n =1, 2, , x ∈[a , b ].证明{u n (x ) }在[a , b ]上
u 1(x ) ≤∫G (x , t ) u 0(x ) dx ≤M 1M 2(x −a ) ≤M 1M 2(b −a ) ,
a
x
u 2(x ) ≤∫
x a
M 12M 2(b −a ) 2
, G (x , t ) u 1(t ) dt ≤M M 2∫(t −a ) dt ≤
a 2!
2
1
x
M 1n M 2(b −a ) n M 1n M 2(b −a ) n
, n ≥1.由比式判别法知∑u n (x ) ≤
n ! n ! M 12M 2(b −a ) n
收敛,所以lim =0,从而lim sup u n (x ) =0,即{u n (x ) }在[a , b ]上一
n →∞x ∈[a , b ]n →∞n !
致收敛.
例21(南京大学,吉林大学)假设 (i )f (x )在(−∞, +∞)内连续; (ii )x ≠0时,f (x
(iii )令f 1(x )=f (x ),f 2(x )=f (f 1(x )),……,f n (x )=f (f n −1(x )),……. . 试证{f n (x )}在[−A , A ]上一致收敛(其中A 为正常数)
证 由(ii )知0≤f (x )
连续),从而在[−A , A ]上,f (x )≤x .∀ε>0(ε
存在小于1的正数q ,使得M
f (x )≤max {ε, qA }.
由此易得:∀x ∈[−A , A ],若f (x )≤ε,则f 2(x )=f (f (x ))≤f (x )≤ε,若
f (x )∈[ε, A ]∪[−A , −ε],则f 2(x )=f (f (x ))≤q f (x )≤q 2A ,所以总有
f 2(x )≤max ε, q 2A .
依次下去,可得
{}
f n (x )≤max ε, q n A ,n =1, 2, .
由于0
n
{}
一致收敛.
例22 设αn >0,lim αn =0u n (x )≤αn (当x ∈I ),且u i (x )u j (x )=0(i ≠j ).试
n →∞
证:
. ∑u (x )在I 一致收敛(这里I 是任意区间)
n n =1
∞
证 ∀x ∈I ,由u i (x )u j (x )=0(i ≠j )知{u n (x )}中至多有一项不为零,因此,该级数的余项R n (x )满足:
R n (x )≤sup u k (x )≤sup αn →0(n →∞)
k >n
k >n
故
∑u (x )在I 上一致收敛.
n n =1
∞
3 Cauchy收敛准则
只需判定任意两个函数之差任意小,不需求出极限函数,这一点比用定义法优越. 例23(上海交大2000)设可微函数列{f n (x ) }在[a , b ]上收敛,{f n ′(x ) }在[a , b ]上一致有界.证明:{f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛.
证 由条件:∃M >0,使得∀x ∈[a , b ],∀n ≥1,有f n ′(x ) ≤M .于是,∀ε>0,
∃δ=
ε
3M
>0,∀x 1, x 2∈[a , b ],当x 1−x 2
f n (x 1) −f n (x 2) =f n ′(ξn ) x 1−x 2
ε
3
. (1)
将区间[a , b ]m 等分,使每一小区间的长度小于δ,记这m 个区间的中点为x 1, , x m .由于{f n (x ) }在[a , b ]收敛,从而在每个点x i 收敛,于是,∃N i =N i (ε, x i )>0,∀p ∈Ν,
∀n >N i ,有
f n (x i ) −f n +p (x i )
ε
3
,i =1, 2, , m . (2)
令N =max {N 1, N 2, , N m },则当n >N 时,∀p ∈Ν,∀x ∈[a , b ],∃i ,使x 属于第i 个小区间,于是由(1)和(2)式得
f n +p (x ) −f n (x ) =f n +p (x ) −f n +p (x i ) +f n +p (x i ) −f n (x i ) +f n (x i ) −f n (x )
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
=ε.
即 {f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛.
例24(华东师大)设{u n (x )}为[a , b ]上的可导函数列,且在[a , b ]上有
∑u (x ≤c ,
k k =1
n
其中c 为与x 和n 无关的正实数.证明:若
∞
∑u (x )在[a , b ]上收敛,则必为一致收敛.
n n =1
∞
证法一
∑u (x )在[a , b ]上收敛,则∀x ∈[a , b ],∀ε>0,∃N =N (ε, x )>0,当
n
00
n =1
n >N ,有
k =n +1
∑u k (x 0)
n +p
ε
2
,∀p ∈Ν.
取δ=
ε
4c
,则当x ∈[a , b ],x −x 0N ,∀p ∈Ν时,有
k =n +1
∑u (x )≤∑u (x )−∑u (x )+∑u (x )
k
k
k
k
k =n +1
k =n +1
k =n +1
n +p n +p n +p n +p
≤
即
εε′
(u ξx −x +
22k =n +1
n +p
k =n +1
∑u (x )N .
k
n +p
这样,当x 0取遍[a , b ]中所有点时,得[a , b ]的开覆盖U (x , δx )x ∈[a , b ],在每个小区间上式成立.由有限覆盖定理,存在有限子覆盖,设为U (x i , δi ),i =1, 2, , l .取
{}
N =max {N (ε, x i )},当n >N ,∀p ∈Ν,∀x ∈[a , b ],都有
k =n +1
∑u (x )
k
n +p
即一致收敛.
证法二 ∀ε>0,取m 充分大,将[a , b ]m 等分,使每个小区间的长度δ
∞
ε
4c
.顺次
∑u (x )在[a , b ]收敛,从而在每个x 收敛,于是,
n
i
n =1
∃N =N (ε, x i )>0,∀p ∈Ν,∀n >N ,有
k =n +1
∑u k (x i )
n +p
ε
2
,i =1, 2, , m
令N =max {N 1, N 2, , N m },则当n >N 时,∀p ∈Ν,∀x ∈[a , b ],∃i ,使x 属于第i 个小区间,有
′⎞⎛n +p
u k (x )=∑u k (x i )+∫⎜u k (t )⎟∑∑⎟dt x i ⎜k =n +1k =n +1⎠⎝k =n +1
n +p
n +p
x
≤
k =n +1
∑u k (x i )+∫
n +p
x
x i
εεε′
()u t dt
222k =n +1
n +p
ϕn (x ) }在[a , b ]上例25(云南大学)设函数f (x , y ) 在[a , b ]×[c , d ]上连续,函数序列{
一致收敛,且满足条件c ≤ϕn (x ) ≤d , n ≥1.证明:F n (x ) =f (x , ϕn (x )) (n ≥1) 在[a , b ]上一致收敛.
证 f (x , y ) 在[a , b ]×[c , d ]上连续,则在其上一致连续,即∀ε>0, ∃δ>0,
∀(x 1, y 1) ,(x 2, y 2) ∈[a , b ]×[c , d ],当x 1−x 2
f (x 1, y 1) −f (x 2, y 2)
设{ϕn (x ) }在[a , b ]上一致收敛于ϕ(x ) ,则对上述δ>0,∃N >0,当n >N 时,
∀x ∈[a , b ],都有
ϕn (x ) −ϕ(x )
从而当n >N 时,∀x ∈[a , b ],由(1)式得
F n (x ) −f (x , ϕ(x )) =f (x , ϕn (x )) −f (x , ϕ(x ))
即{F n (x ) }在[a , b ]上一致收敛.
例26(吉林大学)设函数序列f 0(x ), f 1(x ), ,在区间I 上有定义,且满足:
i) f 0(x )≤M , ii)
∑f (x )−f (x )≤M ,m =0, 1, 2, ,其中M 是常数.
n
n +1
n =0
m
试证:如果级数
∞
∑b
n =0
∞
n
收敛,则
∑b f (x )必在I 一致收敛.
n
n
n =0
∞
证
∑b
n =0
n
收敛,则∀ε>0,∃N >0,当n >N 时,∀p ∈Ν,有
n +p
k =n +1
∑b
k
记S i =
n +p
k =n +1
∑b
k
k
n +i
k
,于是S i
k =n +1
∑b f (x )≤S
1
f n +1−f n +2+S 2f n +2−f n +3+ +S p −1f n +p −1−f n +p +S p f n +p
≤M ε+εf n +p .
而f n +p =f 0+f 0−f 1+f 1−f 2+ +f n +p −1−f n +p
k =n +1
∑b f (x )
k
k
n +p
即
k =n +1
∑b f (x )在I 一致收敛.
k
k
n +p
用Cauchy 准则证明非一致收敛. 例27 证明:级数
n +p
sin nx
在x =0的任一邻域内非一致收敛. ∑n n =1
∞
n +p
sin kx 1
的麻烦在于每项因子有sin kx ,否则∑很容易证明其发散.因分析:估计∑k k =n +1k =n +1k
此,我们想:在x =0的任一邻域U (0, δ),当k 从n +1变化到n +p 时,sin kx 能否大于某常数,若能则必非一致收敛.事实上,当x ∈⎢
π⎡ππ⎤
, ⎥时,sin kx ≥sin ,因此,取
4⎣42⎦
x 0∈U (0, δ),使sin kx 0≥sin
可.
证 取ε0=
π
4
,即只需kx 0∈⎢
π⎡ππ⎤
即, ,k =n +1, , 2n .取x 0=4n 42⎣⎦
π2
,∀N ∈Ν,∃n >N ,∃p =n ,∃x 0=∈U (0, δ),有
4n 4
2n
sin kx 0π1π12
≥>==ε0, sin sin ∑∑k k 4244k =n +1k =n +12n
由柯西收敛准则知
sin nx
非一致收敛. ∑n n =1
∞
4 M 判别法
关键在于寻找适当的收敛的正项级数,常用方法除观察法之外,还有①求u n (x )在I 上的最大值;②利用已知的不等式;③Taylor 公式;④微分中值定理等.
例28(安徽大学)证明:
∑x (1−x )
n n =1
∞
2
在[0, 1]上一致收敛.
证(最大值法) 记u n (x )=x (1−x ),则
n
2
′(x )=nx n −1(1−x )−2x n (1−x ) u n
2
′(x )=0得稳定点x =0, 1, 令u n
上的最大值为u n ⎜
n ⎛n ⎞
,而u n ⎜⎟>u n (0)=u n (1)=0,所以u n (x )在[0, 1]n +2⎝n +2⎠
⎛n ⎞
⎟,从而 n +2⎝⎠
n
2
2
2
n ⎞⎛n ⎞⎛2⎞4⎛n ⎞⎛u n (x ≤⎜⎟⎜1−⎟≤⎜1−⎟=⎜⎟
n ⎝n +2⎠⎝n +2⎠⎝n +2⎠⎝n +2⎠
∞
42
由∑2收敛知∑x n (1−x )在[0, 1]上一致收敛. n =1n n =1
∞
例29 证明:
∑arctan x
n =1
∞
2x
在(−∞, +∞)内一致收敛. 23
+n
分析:(不等式法)arctan
2x 2x 1
≤≤. 2323x +n x +n n
∞
n
1⎡x ⎛x ⎞⎤
例30(北京大学)证明:函数项级数∑⎢e −⎜1+⎟⎥在任意有穷区间[a , b ]上一
⎝n ⎠⎥n =1n ⎢⎣⎦
致收敛,在(−∞, +∞)上非一致收敛.
分析:首先建立不等式:对任意自然数n ,当t ≤n 时,有
t 2−t ⎛t ⎞
(吉林工业大学) e −⎜1−⎟≤e ,n ⎝n ⎠
−t
n
n n 2
t 2⎡⎛t ⎞t ⎤⎛t ⎞t t
−⎢1−⎜1−⎟e ⎥,记f (t )=只需证f (t )≥0事实上,原式等价于:1−⎜1−⎟e ≤,
n n ⎢⎝n ⎠⎣⎝n ⎠⎥⎦
(当t ≤n ).而
2t f ′(t )=
n
t
⎛t ⎞−⎜1−⎟⎝n ⎠
n −1
n −1
n n −1
t ⎡t ⎞⎤⎛t ⎞t ⎛e +e ⎜1−⎟=⎢2−e ⎜1−⎟⎥. n ⎢⎝n ⎠⎝n ⎠⎥⎣⎦t
t
⎛t ⎞
用ξ表示方程2−e ⎜1−⎟
⎝n ⎠
=0的根(倘若存在的话),则极值点可能是t =0,t =ξ及
t =n ,但
f (0)=0,
n
ξ2⎡⎛ξ⎞ξ⎤ξ2⎡⎛ξ⎞⎤f (ξ)=−⎢1−⎜1−⎟e ⎥=−⎢1−2⎜1−⎟⎥(ξ所满足的方程)
n ⎢⎝n ⎠⎦⎦n ⎣⎣⎝n ⎠⎥
⎛ξ⎞ξ
=⎜1−⎟+2(n −1)≥0, ⎝n ⎠n
2
2
f (n )=n −1→+∞,
由此得f (t )≥min f (t )=f (0)=0.
t ≤n
其次,不妨设有限区间[a , b ]满足:a ≤M ,b ≤M ,则由所证不等式有
1⎡x ⎛x ⎞⎢e −⎜1+⎟n ⎢⎝n ⎠⎣
由此立得一致收敛.
n
⎤x 2x M 2M
⎥≤2e ≤2e
n ⎥⎦n
n 1⎡x ⎛x ⎞⎤
最后,在(−∞, +∞)上,∀n ∈Ν,当x →+∞时,⎢e −⎜1+⎟⎥→+∞,即通项
n ⎣⎝n ⎠⎦⎢⎥
在(−∞, +∞)上不可能一致收敛于零,从而非一致收敛.
例31(中国科技大学)设一元函数f 在x =0的某邻域内有二阶连续导数,f (0)=0,
0
n =1
∞
分析(Taylor 公式法):因为f 在x =0的某邻域内有二阶连续导数,取δ>0充分小时,则f ′′(x )在[−δ, δ]连续,故∃M >0,有f ′′(x )≤M .由泰勒定理得
f (x )=f (0)+f ′(0)x +
从而当x ∈[−δ, δ]时,有
11
(≤x ≤δ) f ′′(ξ)x 2=f ′(0)x +f ′′(ξ)x 2,
2! 2!
1⎛⎞
f (x )≤x ⎜f ′(0)+M δ⎟=q x ,
2⎝⎠
其中q =f ′(0)+
1
.由此可得 M δ.由δ的任意性可使q
2
f 2(x )=f (f (x ))≤q f (x )≤q 2x ≤q 2δ,
……
f n (x ≤q f n −1(x )≤ ≤q n δ,
……
由M −判别法知
. ∑f (x )一致收敛(且绝对收敛)
n n =1∞
例32(西南师大)证明:
∑x e
n =1
∞
2−nx
在(0, +∞)内一致收敛.
提示:x e
2−nx
x 2x 22
=
n 2x 2n 2x 2n 2
1+nx ++
22
例33(湖北大学2001)设{u n (x ) }是区间[a , b ]上的单调函数.证明:若级数和
∑u
n
(a )
∑u
n
(b ) 都绝对收敛,则∑u n (x ) 在[a , b ]上一致收敛.
提示:由单调性假设易得:u n (x ) ≤u n (a ) +u n (b ) . 5 Abel判别法:将通项拆分成两项之积
1x n −t
t e dt 在例34 设b >0,a 1, a 2, 均为常数,级数∑a n 收敛.试证:∑a n
∫0! n n =1n =1
∞
∞
[0, b ]上一致收敛.
分析:(1)
∑a
n =1
∞
n
收敛,从而一致收敛;
(2)0≤
1x n −t 1+∞n −t 1
t e dt ≤t e dt =Γ(n +1)=1,一致有界; ∫∫00n ! n ! n !
(3)
x 11x t n −t 1x n −t n +1−t
. t e dt =t e dt ≤t e dt (当n >b 时)∫∫∫000n +1! n ! n +1n !
1x n −t
即∫t e dt 关于n 单减.由阿贝尔判别法知其在[a , b ]上一致收敛. n ! 0
(−1) n −1x n 1
=ln 2. 例35(北师大)证明:lim ∑n x →1−2+x 1n =1
∞
(−1) n −1x n
证 级数∑收敛,从而一致收敛,又∀x ∈[0, 1],单调递减,且n 1+x n =1
∞
x n
1+x n
∞
x n (−1) n −1x n (−1) n −11∞(−1) n −11
lim ∑=∑(⋅lim =∑=ln 2, n n −→x →1−x 12n =121+x 1+x n =1n =1
∞
其中最后一步是由于ln(1+x ) =
6 Dirichlet判别法
∑(−1)
n =1
∞
∞
n −1
x n
, x ∈(−1, 1]. x
+n n e
在任何有限区间[a , b ]上一致收敛,例36(四川大学)证明:级数∑(−1)3n n =1
2
但在任何一点x 0处不绝对收敛.
分析:第二结论易证.下面仅分析证明第一结论.(也可用Abel 判别法) 证法一 (1)
2
∑(−1)
k =1
2
n
k
≤2,即部分和一致有界;
2
e x +n e x e x 11
(2),n =1, 2, ,单减; =+≥+232n n +1n n n +1e x +n e c +n
(3)当x ∈[a , b ]时,≤→0(c =max a , b })
n 2n 32
e x +n
因此 0(n →∞).由Dirichlet 判别法知其一致收敛.
n 32
x ∞∞∞
(−1)关n e n 1n 1
证法二 原级数可化为∑(−1)32+∑(−1),显然∑(−1)32与∑
n n n n n =1n =1n =1n =1
∞
2
2
22
n
于x 一致收敛,又e 在[a , b ]上有界,一致收敛级数各项同乘以一有界函数后仍一致收敛,
x 2
x
n e
故∑(−1)32一致收敛,从而原级数一致收敛.
n n =1
∞
2
证法三 容易证明原级数是Leibniz 级数(由证法一立明).则其余项和的绝对值满足:
e x +n +1e c +n +1
r n (x ≤≤→0 n +1n +1从而r n (x ) 0(n →∞),故一致收敛.
注:此例说明:一致收敛并不意味着绝对收敛.
22
x 2+n
在任何有限区间[a , b ]上一致收敛,思考题7(华中科技大学)证明:∑(−1) 2
n n =1
∞
n
但在任何一点都不绝对收敛.
Abel 判别法与Dirichlet 判别法有时连环使用.
x n ⎛1⎞
sin nx 例37 证明:∑(1−x )在⎜, 1⎟内一致收敛. 2n
1−x ⎝2⎠n =1
∞
∞
x n 1(1−x )x n 1⎛1⎞
=⋅sin nx sin nx 证 ∑(1−x ).显然:在⎜, 1⎟是关∑2n n n n
−+−1x 1x 1x 1+x ⎝2⎠n =1n =1
∞
于n 单调,且一致有界.根据阿贝尔判别法,只需证明收敛.
事实上, (1)
∑
n =1
∞
(1−x )x n sin nx 在⎛1, 1⎞上一致
1−x n
⎜⎟
2⎝⎠
⎛1⎞
的部分和在sin nx ⎜, 1⎟上一致有界, ∑⎝2⎠n =1
∞
∑sin kx ≤
k =1
n
1
sin 2
≤
1sin 4
.
(1−x )x n
(2)
1−x n
x n ⎛1⎞
n =关于单减(x ∈⎜, 1⎟,且 2n −1
1+x +x + +x ⎝2⎠
x n x n 1⎛1⎞0≤≤
1+x +x + +x nx n ⎝2⎠
即在⎜, 1⎟上一致收敛于0,由Dirichlet 判别法知其一致收敛.
7 Dini判别法
例38(Dini 定理)(东北师大、南京大学)设函数项级数
⎛1⎞
⎝2⎠
∑u (x )的每项均在有限区间
n n =1
∞n =1
∞
[a , b ]上连续,且收敛于连续函数f (x ) .若∀x ∈[a , b ],级数∑u n (x )为同号级数,则
∑u (x )在[a , b ]上一致收敛于f (x ).
n n =1
∞
证(反证法)假设在[a , b ]上非一致收敛,则∃ε0>0,使得∀N >0,∃n >N ,
∃x ∈[a , b ],r n (x )≥ε0.取N =1,∃n 1>1,∃x 1∈[a , b ],使R n 1(x 1)≥ε0;取N =n 1,∃n 2>n 1,∃x 2∈[a , b ],使R n 2(x 2)≥ε,……,如此下去得一子列{R n k },使得
R n k (x k )≥ε0,k =1, 2, . (1)
由致密性定理,有界数列{x k }中存在收敛子列x k j :x k j →x 0∈[a , b ].由题设知
{}
∑u (x )是同号级数,因此R
n n =1
∞
n
(x ) 关于n 单调递减,所以由(1)得:当n k j >m 时,
R m x k j ≥R n k j x k j ≥ε0
((由于R m (x )=f (x )−S m (x )连续,故当j →+∞时,R m (x 0)≥ε0,这与上收敛相矛盾,故一致收敛.
例39(武汉大学)在闭区间[0, 1]上,
n
⎧⎪⎛x ⎞⎫⎪
(1)证明:函数列⎨⎜1+⎟⎬(n =1, 2, 3, )一致收敛;
⎪⎭⎩⎝n ⎠⎪
∑u (x )在[a , b ]
n n =1
∞
(2)证明:函数列f n (x )=
1⎛x ⎞
e +⎜1+⎟
⎝n ⎠1
n
x n
n
(n =1, 2, 3, )一致收敛;
(3)求出极限:lim
n →∞0
∫
1
x n
⎛x ⎞e +⎜1+⎟
⎝n ⎠
n
(n =1, 2, 3, ) dx .
⎛x ⎞
解(1)证法一:⎜1+⎟↑e x ,且均在[0, 1]上非负连续,由Dini 定理知其一致收敛;
⎝n ⎠⎛x ⎞
,其次 证法二:首先⎜1+⎟→e x (n →∞)
⎝n ⎠
n −1
⎡x ⎛x ⎞n ⎤′⎛x ⎞x
⎢e −⎜1+⎟⎥=e −⎜1+⎟>0(x ∈[0, 1])
⎝n ⎠⎦⎝n ⎠⎢⎥x ⎣
n
⎛x ⎞
知e −⎜1+⎟关于x 单增,故x ∈[0, 1]时,
⎝n ⎠
x
n
⎛x ⎞⎛1⎞
0≤e −⎜1+⎟≤e 1−⎜1+⎟→0(n →∞)
⎝n ⎠⎝n ⎠
x
n n
⎛x ⎞
. 所以在[0, 1]上,⎜1+⎟单增趋于e x (n →∞)
n ⎝⎠
(2)由Dini 定理知其一致收敛.事实上,f n (x ) →
n
1
(n →∞) ,且
1+e x
x f n (x ) −f (x ) =
1x
e +(1+n
x −
1
≤x
1+e
x
e +(1+) n −1−e x x
(1+e x )[e +(1+) n ]
x
x n x n x x
≤(1+) −e +e −1≤e −(1++e n −1,
由已证结论(1)知上式右端一致收敛于0. (3)lim
x 1
n →∞0
∫
1
x n
dx ⎛x ⎞e +⎜1+⎟
⎝n ⎠
n
=∫
1
1dx de x 1
. ==1+ln x x x ∫01+e e 1+e 1+e