13解分式方程
13、解分式方程
一、教学目标
1、了解什么是分式方程。
2、分式方程的特征,知道分式方程的解法。 3、懂得应用分式方程解实际应用题。 二、教学重点、难点
重点:1、分式方程的概念。2、分式方程的步骤。3、分式方程的增根及产生的原因。 难点:1、分式方程的概念。2、分式方程的步骤。3、分式方程的增根及产生的原因。 三、分式方程的概念
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的速度为多少?
分析:设江水的流速为v千米/时,则:
轮船顺流航行速度为 千米/时,逆流航行速度为 千米/时,顺流航行100千米所用时间为 小时,逆流航行60千米所用时间为 小时。
根据“两次航行所用时间相等”,这一等量关系,可以得到方程
10020v
6020v
①
方程①的分母中含有未知数v,像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程(fractional equation).
分式方程①中各分母的最简公分母是(20v)(20v), 方程两边同乘以(20v)(20v),得100(20v)=60(20v) 解得 v=5.
检验:将v=5代入①中,左边=4=右边,因此v=5是分式方程①的解。 有以上可知,江水的流速为5千米/时。 在讨论一个分式方程
1x5
10x25
2
去分母,两边同乘最简公分母x5x5,得整式方程 x510. 解得 x5.
将x5代入原分式方程检验,发现这时分母x5和x225的值都为0,相应的分式无意
义。因此x5虽然是整式方程x510的解,但不是原分式方程上这个分式方程无解。
讨论:为什么会无解?
1x5
10x25
2
的解。实际
原因:把分式方程化为整式方程,解的范围扩大了,整式方程的解为全体实数,而分式方程的解是x5。我们把使得分式方程的分母为0的整式方程的根叫做原分式方程的增根。 增根的特点:(1)增根是去分母后所得整式方程的跟,(2)增根是使原分式方程分母为0的未知数的值.
四、解分式方程的步骤
1、解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数。 2、解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程;
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去。
3、 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程:
xx1
2x1
1
分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根。
解:方程两边都乘以(x1)(x1),得
x
2
2(x1)(x1)(x1),
2
即x2xx2
2
12,
x3
经检验:x
32
是原方程的根。
课堂练习:解下列分式方程 (1)
(3)
例2. 解方程
x1x2
x6x7
x2x3
x5x6
1x1
3x
; (2)
2x3
1x
0;
x1x1
4x1
2
1; (4)
5xx3
x54x
分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现
(x6)与(x7)、(x2)与(x3)的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相
差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。
解:原方程变形为: 方程两边通分,得
1(x6)(x7)
1(x2)(x3)
x6x7
x5x6
x2x3
x1x2
所以(x6)(x7)(x2)(x3)即8x36x
92
92。
经检验:原方程的根是x
例3. 解方程:
12x104x3
32x348x9
24x238x7
16x194x5
分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解:由原方程得:3
1
4x38x9
2222即8x98x68x108x7
4
2
3
28x7
4
14x5
,
于是
1
(8x9)(8x6)
1
(8x10)(8x7)
所以(8x9)(8x6)(8x10)(8x7)
解得:x1
经检验:x1是原方程的根。
例4. 解方程:
6y12y4y4
y4y4y4
2
2
y
2
2
y4
0
分析:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分解因式后,会发现分子与分母有相同的因式,于是可先约分。 解:原方程变形为:
6y2
6(y2)(y2)
2
(y2)(y2)(y2)
2
y
2
(y2)(y2)
0
约分,得
y2y2
y
2
(y2)(y2)
0
方程两边都乘以(y2)(y2),得 6(y2)(y2)2y20
整理,得2y16
y8
经检验:y8是原方程的根。
注:分式方程命题中一般渗透不等式,恒等变形,因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。
课后练习:解下列分式方程
(1)
(3) (5)
(7)
x1x1
2x12x
0; (2)
xx3
2
4x3
;
2xx2
3x2
2; (4)
7xx
2
3xx
2
1
7x
2
2
x1
5x42x4
2x53x2
12
(6)
1x1
1x5
1x2
1x4
xx2
x9x7
x1x1
x8x6
2
例5 若关于x的分式方程
x3
1
mx3
有增根,求m的值.
解: 方程两边都乘以x3,得
2x3m, 即xm5 因为方程有增根,所以x=3,代入上式,算得m
2
例6 若分式方程
2xax2
1的解是正数,求a的取值范围.
提示:x
2a3
0且
x2,a2
且a4.
解:方程两边都乘以
x2,得
2a3
2xa2x, 即x
x
2a3
0,
所以2a0,即a2,又因为x2, 所以a2且a4.
例7 解关于x的方程
xabx
cd
(cd0)
提示:(1)a,b,c,d是已知数;(2)c解:方程两边都乘以dbx,得 dxacbx,化简得 cdxadbc,因为c x
课后练习
解关于x的方程: (1)
1a1x2b
d0
d0,得
adbccd
; (2)
1a
ax
1b
bx
(ab).
3.如果解关于x的方程
4.当k为何值时,关于x的方程
5.已知关于x的分式方程
易错知识辨析:
(1)去分母时,不要漏乘没有分母的项.
(2)解分式方程的重要步骤是检验,检验的方法是可代入最简公分母,使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
(3)如何由增根求参数的值:①将原方程化为整式方程;②将增根代入变形后的整式方程,求
kx2
2
xx2
会产生增根,求k的值.
x3x2
k(x1)(x2)
1的解为非负数.
2a1x1
a无解,试求a的值.
出参数的值.
五、中考题解: 例1.若解分式方程 A. 1或2 C. 1或2
2xx1
m1xx
x1x
产生增根,则m的值是( )
B. 1或2
D. 1或2
分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:
22
x0或x1,化简原方程为:2x(m1)(x1),把x0或x1代入解得
m1或2,故选择D。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 分析:利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解:设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得:
60x
66x2
60x12066x
x20
经检验:x20是原方程的根x222
答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵。 说明:在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
六、题型展示:
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析:在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水,取水速正、负值,两次航行提供了两个等量关系。
解:设船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时
42807
xyxy
由题意,得
40707xyxy
x17
解得:
y3
x17
经检验:是原方程的根
y3
答:水流速度为3千米/小时,船在静水中的速度为17千米/小时。
例2. m为何值时,关于x的方程
2x2
mxx
4
3x2
会产生增根?
解:方程两边都乘以x24,得2x4mx3x6 整理,得(m1)x10
当m1时,x
10m1
2
如果方程产生增根,那么x40,即x2或x2
(1)若x2,则
2m4m110
(2)若x2,则2m6
m1
(3)综上所述,当m4或6时,原方程产生增根
10
说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1. 甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,则汽车的速度( ) A.
Sab
Savb1
Savab
2Sab
B.
2
C.
mx3
D.
2. 如果关于x的方程 A. 3 3. 解方程:
(1)
1x10
x3
有增根,则m的值等于()
B. 2 C. 1 D. 3
1(x1)(x2)
1(x2)(x3)
„
1
(x9)(x10)
2
(2)
x1x
x1x
2x1x
2
4x1x
4
0
(3)
xx1
4x4x
4;
(4)
x
y
x7x6
x9x8
x10x9
x6x51x6
提示:(1)换元法,设
4. 求x为何值时,代数式
x1
;(2)裂项法,
x7x6
1
2x9x3
1x3
2x
的值等于2?
5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的队单独完成各需多少天?
23
,求甲、乙两
【试题答案】
1. 由已知,此人步行的路程为av千米,所以乘车的路程为(Sav)千米。 又已知乘车的时间为b小时,故汽车的速度为 2. 把方程两边都乘以x3,得2x3m
Savb
千米/小时,应选B。
x5m.
若方程有增根,则x3,即5m3m2应选B。
3. (1)分析:方程左边很特殊,从第二项起各分式的分母为两因式之积,两因式的值都相差1,且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此,可利用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解:原方程可变为
1x1
12
12
2
1x10
1x1
1x2
1x2
1x3
„
1x9
1x10
2
1n(n1)
1n
1n1
裂项,即用
即2x21
x
经检验:原方程的根是x
(2)分析:用因式分解(提公因式法)简化解法 解:x(
11x
11x11x
21x11x
2
41x
2
4
)04
因为其中的
21x
1x
4
1x1x1x21x41x
42
2
21x
2
41x
4
21x41x
42
41x81x
84
0
x0
经检验:x0是原方程的根。 4. 解:由已知得
2x9x3
1x3
2x2
即2
3
3x3
1
1x32x
2x
2
x3x332
32
0
解得x
经检验:x是原方程的根。
2x9x3
1x3
2x
当x
32
时,代数式
的值等于2。
23x
5. 设:乙队单独完成所需天数x天,则甲队单独完成需 由题意,得
1x2(
1x
123x)1
天。
即
1x
2x
3x
1
解得:x6
经检验x6是原方程的根 x6时,
23x4
答:甲、乙两队单独完成分别需4天,6天。