高数2第九章习题[1]
高等数学(2)强化作业 班级_______________姓名_______________学号__________________
第九章 多元函数微分法及其运用
第一节 多元函数的基本概念
1. 已知函数 f (x , y ) =x 2+y 2-xy tan x
y ,试求 f (tx , ty ).
2. 求函数 z =ln(y -x ) +x .
-x 2-y 2的定义域。
3. 求函数的极限:3-xy +9
(x , y lim ) →(0, 0) xy
4. 求函数的极限:1-cos(x 2+y 2)
(x , y lim ) →(0, 0) x 2+y 2
证明极限x 2y 2
5. (x , y lim ) →(0, 0) x 2y 2+(x 2-y 2) 不存在
第二节 偏 导 数
1. 求下列函数的偏导数:
(1) z =sin(xy ) +cos 2(xy ) (2) z =(1+xy ) y
y
(3) u =x z (4) s =u 2+v 2
uv
2. 求函数 z =ln(x 3+y 3) 的偏导数∂z ∂
∂x , z
∂y .
3. 求函数 u =sin(xyz ) ⋅arctan(x -y ) z 的偏导数∂u ∂
∂x , u
∂y , ∂u
∂z .
4. 设z =x ln(xy ) ,求∂3z ∂3z
∂x 2∂y , ∂x ∂y 2。
5. 设f (x , y , z ) =xy 2+yz 2+zx 2+xyz 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f zzx (2, 0, 1)
-(1
6. 设z =e x +1
y ) ,验证:x 2∂z
∂x +y 2∂z
∂y =2z 成立。
7. 设y =e -kn 2t nx ,验证:∂y ∂2
sin y
∂t =k ∂x 2成立。
第三节 全 微 分
1. 求函数z =y
x 2+y 2的全微分。
2. 求函数u =x yz 的全微分。
3. 求函数z =ln(1+3x 2+2y 2) 当x =1, y =2时的全微分。
4. 求z =e x 2y 2当x =1, y =1, ∆x =0. 15, ∆y =0. 1时的全微分。
5. 求(1. 02) 3+(1. 97) 3的近似值。
第四节 多元复合函数的求导法则
1. 设z =arcsin(x 2-y 2) ,而 x =e 3t , y =4t 3,求dz
dt 。
2. 设z =u ln v ,而 u =x
y , v =3x +y 2,求∂z ∂z
∂x , ∂y 。
3. 设u =e ax (y -z )
a 2+1,而y =a sin x , z =cos x ,求du
dx 。
4. 设u =f (x 2-y 2, e xy , xyz 2) ,求其一阶偏导数。(其中f 具有一阶连续偏导数)
5. 设z =xy +xF (u ) ,而u =y
x , F (u ) 为可导函数,证明:x ∂z ∂z
∂x +y ∂y =z +xy
6. 设z =f (xy 2, x 2y , e x +y ) ,求其三个二阶偏导数。(其中f 具有二阶连续偏导数)
第五节 隐函数的求导公式
1. 设ln x 2+y 2=arctan y dy
x ,求dx 。
2. 设x +2y +z -2xyz =0,求∂z
∂x , ∂z
∂y 。
3. 设z 3-3xyz =a 3,求∂2z
∂x ∂y 。
4. 设φ(u , v ) 具有连续偏导数,证明由方程φ(cx -az , cy -bz ) =0所确定的函数
z =f (x , y ) 满足a ∂z
∂x +b ∂z
∂y =c
⎧⎨z =x 2+y 2
5. 设dy dz
⎩x 2+2y 2+3z 2=20 求dx , dx 。
第六节 多元函数微分学的几何应用
1. 求曲线x =t
1+t , y =1+t
t , z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程。
2. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点,使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4。
3. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。
4. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0 的切平面方程。
5. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦。
7. 试证曲面x +y +z =a (a >0) 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。
第八节 多元函数的极值及其应用
1. 求函数f (x , y ) =(6x -x 2)(4y -y 2) 的极值。
2. 从斜边之长为1的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形。
3. 要造一个体积等于k 的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,能使它的表面积最小。
4. 在平面xOy 上求一点,使它到x =0, y =0, x +2y -16=0三直线的距离的平方之和为最小。
第九章复习题
一.选择题:
1. 设f (x , y ) =xy ,则下式中正确的是( ) x 2+y 2
A )f (x , y ) =f (x , y ) B)f (x +y , x -y ) =f (x , y ) C)f (y , x ) =f (x , y ) D) f (x , -y ) =f (x , y ) x
2.
(x , y lim 1-xy +1 =( ) ) →(0, 0) xy
A) 0 B)1 C)-1
2 D) -1
3. 函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处存在偏导数是函数在该点可微分的( )条件
A)充分而不必要 B)必要而不充分 C)充要 D)既不充分也不必要
4. 设z =f (x , y ) 由方程e z -xyz =0所确定,则∂z
∂x =( )
A ) yz B)yz -e z
e z -xy xy C)yz +xy D) e z -yz
e z xy
5. 设z =e x cos y ,则∂2z =( ) ∂x ∂y
A ) e x sin y B)e x +e x sin y C)-e x cos y D)-e x sin y
6. 设u =f (t , x , y ), x =x (s , t ), y =y (s , t ) 可微,则∂u
∂t =( )
A )∂f ⋅∂x ⋅∂y B)∂f +∂f ⋅∂x
∂t C)∂f
t ∂t ∂t ∂t ∂x ∂t +∂f
∂y ⋅∂y
∂t D)∂f
∂t +∂f
∂x ⋅∂x
∂t +∂f
∂y ⋅∂y
∂∂t
二.填空题: 1. lim 1-xy = _____, sin xy 2-xy +4 = _____
(x , y ) →(0, 1) x 2+y 2(x , y lim = _____, ) →(0, 2) y (x , y lim ) →(0, 0) xy
2. z =x 2+3xy +y 2的偏导数∂z ∂z
∂x =_____________,∂y =________________
3.设 f (x , y ) =x 2y +4x sin y +y 2,则f y '(3, π) =________.
⒋ 设f (x , y ) =x 4+y 4+4x 2y 2,则f xx (x , y ) =___________, f xy (x , y ) =___________
5.设f (x , y ) =e 2x (x +y 2+2y ) ,则f xy (x , y ) =___________
6. 函数z =ln(x 2+y 2) 在点(1,1)处的全微分dz =______________________.
7. 曲线x =t 2, y =1-t , z =t 2在点(1,0,1)处的切线方程为________________________
8. 曲面z =x 2+y 2在点(1,0,1)处的切平面方程为________________________ 11