小学奥数行程问题

奥数第七讲 行程问题（一） ——追及问题

四年级奥数教案

第七讲 行程问题（一） ——追及问题

本讲学习的追及问题与相遇问题同属于行程问题中的一类，它是同向运动问题。追及问题的基本特点是：两个物体同向运动，慢走在前，快走在后面，它们之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。追及问题属于较复杂的行程问题。追及问题中的各数量关系是：路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差；解答追及问题可适当的选择画图法、假设法、比较法等思考方法解题。 在解决同向问题时，要注意以下几点：

（1） 要弄清题意，紧扣速度差、追及时间和路程差这三个量之间

的基本关系；

（2） 对复杂的同向运动问题，可以借助直观图来帮助理解题意，

分析数量关系；

（3） 要注意运动物体的出发点、出发时间、行走方向、善于扑捉

速度、时间、路程对应关系。

（4） 要善于联想、转化、使隐藏的数量关系明朗化，找准理解题

目的突破口。

第一课时

教学内容：掌握简单的追及问题

教学目标：理解和掌握简单的追及问题

教学重点：掌握追及问题的基本公式

教学难点：利用公式求简单的追及问题

教学过程：

一、谈话导入。

今天我们来学习行程问题当中的追及问题，它属于同向运动中的一种，下面我们就通过一个例子来给大家讲叙怎样解决追及问题。 例子：兔子在狗前面150米，一步跳2米，狗更快，一步跳3米，狗追上兔子需要跳多少步？ 我们知道，狗跳一步要比兔子跳一步远3—2=1（米），也就是狗跳一步可以追上兔子1米，现在狗与兔子相距150米，因此，只要算出150米中有几个1米，那么就知道狗跳了多少步追上兔子的。不难看出150÷1=150（步），这是狗跳的步数。

这里兔在前面跳，狗在后面追，它们一开始相差150米，这150米叫做“追及距离”；兔子每步跳2米，狗每步跳3米，它们每步相差1米，这个叫“速度差”；狗追上兔子所需的步数叫做“追及步数”有时是以秒、分钟、小时计算，则叫“追及时间”，像这种包含追及距离、速度差和追及时间（追及步数）三个量的应用题，叫做追及问题。

解决追及问题的基本关系式是：

路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；

追及时间=路程差÷速度差

在解决追及问题中，我们要抓住一个不变量，即追赶者所用时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。大家还要注意区别“追及距离”与“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。就像刚才的例子，“追及距离”为150米，而狗追上兔一共走了3×150=450（米）

二、新授课：

1．明确公式中三个量的含义：

速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程即快车每小时比慢车多

行的或每分钟多行的路程。

追及时间：快车追上慢车相差的距离。

路程差：快车开始和慢车相差的路程。

2．熟悉追及问题的三个基本公式：

路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；

追及时间=路程差÷速度差

3．解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。

【例1】甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60

米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？

【思路分析】这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式：

追及时间=路程差÷速度差

150÷（75-60）=10（分钟）

答：10分钟后乙追上甲。

【小结】提醒学生熟练掌握追及问题的三个公式。

【例2】 骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？

【思路分析】这道题目，是同时出发的同向而行的追及问题，要求其中某个速度，就必须先求出速度差，根据公式：速度差=路程差÷追及时间：

速度差：450÷3=150（千米） 自行车的速度： 150+60=210（千米） 答：骑自行车的人每分钟行210千米。

【小结】这道题目在于灵活运用追及问题的三个基本公式求其中任意三个量。

【例3】两辆汽车从A 地到B 地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63 千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？

【思路分析】根据题意可知，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，

画线段图分析：从图中可以看出第一辆行2小时的路程为两车的路

程差，即54×2=108（千米），两车相差108米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千米），即为速度差，用

追及时间=路程差÷速度差。

解：（1）两车路程差为：54×2=108（千米）

（2）第二辆车追上所用时间：108 ÷（63-54）=12（小时） 答：第二辆车追上第一辆车所用的时间为12小时。

【小结】这道追及问题是不同时的，要先算出追及路程。

【及时练习】

1、哥哥和弟弟两人同时在一个学校上学，弟弟以每分钟80米的速度先去学校，3分钟后，哥哥骑车以每分钟200米的速度也向学校骑去，那么哥哥几分钟追上弟弟？

2、姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？

三、课堂小结：

追及问题的基本公式：路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；

追及时间=路程差÷速度差

四、作业：思维训练

五、课后反思：

第二课时

教学时间：

教学内容：环形跑道的追及问题

教学目标：掌握不同形式的追及问题的解题思路和基本规律 教学重点：通过图形分析追及问题

教学难点：找准解决环形路程的追及问题的突破口

教学过程：

一、复习：追及问题的三个基本公式。

二、新授课：

【例4】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?

【分析与解】 当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。

解：①甲乙的速度差：300-250=50（米） ②甲追上乙所用的时间：400÷50=8（分钟）答：经过8分钟两人相遇。

【及时练习】

两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，

乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

【例5】在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？

【分析与解】此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。

解：2小时=120分 甲第一次追上乙所用的时间：

400÷2÷（60-50）=20（分） 甲第二次开始每追乙一次所用的时间：

400÷（60-50）=40（分）

甲从第二次开始追上乙多少次：

（120-20）÷40=2次„„20秒

甲共追上乙多少次：2+1=3（次）

答：甲共追上乙3次。

【小结】这类环形跑道的追及问题一定要明确路程差和速度差。

【及时练习】在周长为300米得圆形跑道一条直径的两端，甲、乙

两人分别以每秒7米，每秒5米的骑车速度同时顺时针方向行驶，20分钟内甲追上乙几次？

【例6】在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？

同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。

背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。

这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少？

解：3分20秒=200秒

甲、 乙的速度和：400÷40=10（米）

甲、 乙的速度差：400÷200=2（米）

甲的速度为每秒多少米？（10+2）÷2=6（米）

乙的速度为每秒多少米？（10-2）÷2=4（米）

答：甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。

【小结】这类题目是相遇问题和追及问题的结合，以及和差问题的综合运用。

【及时练习】甲、乙两地相距450米，A 、B 两人从两地同时相向而行，经过5分钟相遇，已知A 每分钟比B 每分钟慢6米，求A 、B 两车的速度各是多少米？

三、课后练习：

反向而行

同向而行

1、一圆形跑道周长300米，甲、乙两人分别从A 、B 两端同时出发，若反向而行1分钟相遇，若同向而行5分钟，甲可追上乙，求甲、乙两人的速度。

2、甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑4米，经过20分钟两人共同相遇6次，问这个跑道多长？

3、甲、乙两人环绕周长400米的跑道跑，如果他们从同一地点背向而行，经过2分钟相遇，如果从同一地点同向而行，经过20分钟甲追上乙，求甲、乙两人每分钟的速度各是多少？

四、课后反思：

第三课时

教学时间：

教学内容：追及问题

教学目标：掌握复杂的追及问题

教学重点：

教学难点：

教学过程：

一、新授课：

【例7】 一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？

分析 要求一共要多少分钟，必须先求出从队尾赶到队头要多少分钟，再求出从队头到队尾要用多少分钟，把这两个时间相加即可。

【分析与解】

解：①赶上队头所需要时间：350÷（3-2）=350（秒） ②返回队尾所需时间：350÷（3+2）=70（秒） ③一共用多少分钟？350+70=420（秒）=7（分）

答：一共要用7分钟。

【及时练习】一支队伍长450米，以每秒3米的速度前进，一个通讯员骑车以匀速从队尾赶到队头用了50秒。如果他再返回队尾，还需要多少秒？

【例8】 某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？

【分析与解】 要求一共要用多少分钟，首先必须求出队伍的长度。 解：①这支路队伍长度：（202÷2-1）×0.5=50(米) ②赶上队头所

需要时间：50÷（5-3）=25（秒） ③返回队尾所需时间：50÷（5+3）=6.25（秒） ④一共用的时间：25+6.25=31.25（秒）答：一共要用31.25秒。

【及时练习】

有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。队伍行进速度是每秒3米，前后两排的间隔距离是1.2米。现有一通讯员从队头赶往队尾用了16秒钟。如果他再从队尾赶到队头送信还需要多少时间？

【例9】 甲、乙、丙三人从A 地出发到B 地。乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？

设丙的速度为1米/分钟. (1)当乙追上丙时，丙共行了1×（40+10）=50米，由此可知乙行50米用了40分钟，乙的速度为50÷40=1.25（米/分钟）； (2)当甲追乙时，乙已先出发走了20分钟，这时甲乙的距离差为1.25×20=25（米），甲乙的速度差为25÷100=0.25（米）; 甲的速度为1.25+0.25=1.5（米）; (3) 当甲追丙时，丙已经先出发走了10+20=30分钟，这时甲丙的距离1×(10+20)=30米，速度差为1.5-1=0.5（米/分钟），追及时间为30÷0.5=60(分钟) 。

【及时练习】

小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6时小明、小峰两人一起从甲地出发，小明每小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同时到达乙地。小光什么时候追上小峰？

三、课后练习

1、甲乙两人在周长400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100米，问多少分钟后，甲可以追上乙？

2、一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地, 两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地, 在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员. 问:甲乙两地相距多少千米?

3、自行车队出发12分钟后，通讯员骑摩托车去追他们，在距离出发点9千米处追上了自行车队。然后，通讯员立刻返回出发点，随后又返回去追上了自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，试求自行车队和摩托车的速度。

四、课后反思：

第四课时

教学内容：追击问题的练习题

教学目标：掌握各种类型的追击问题相遇问题

教学重点：会熟练解决基本的追击问题

教学难点：会解决复杂的追击问题

【例10】两艘渡船从南岸开往北岸，第一艘以每小时30千米的速度先开，第二艘渡船晚12分钟，速度为每小时40千米，结果两船同时到达，求南北两岸相距多少千米？

第一艘

【分析与解】根据题意画图：

要求南北岸的距离可用第一艘的速度乘以第一艘船所用的时间，或是用第二艘船的速度乘以第二艘船所用的时间。这两种时间等于追及时间，所以归为追及问题。

第五课时

教学内容：追击问题的练习题

教学目标：掌握各种类型的追击问题相遇问题

教学重点：会熟练解决基本的追击问题

教学难点：会解决复杂的追击问题

教学过程：

1、甲、乙两地相距54千米，A 、B 两人同时从两地相向而行，A 每小时行4千米，B 每小时行5千米，两人经过几小时相遇？

2、甲、乙两人同时从学校向相反方向行驶，甲每分钟行52千米，乙每分钟行50千米，经过7分钟后他们相距多少米？他们各自离学

校有多少米？

3、甲、乙两地相距480米，客车和货车同时从两地相向而行，经过5小时相遇，客车的速度是每小时50千米，求货车的速度是每小时多少千米？

4、小明和小红两人从相距2280米的两地相向而行，小明每分钟行60米，小红每分钟行80米，小明出发3分钟后小红才出发，小红出发几小时后与小明相遇？相遇时两人各行了多少米？

5、一列火车于下午4时30分从甲站开出，每小时行120千米，经过1小时后，另一辆火车以同样的速度从乙站开出，晚上9时30分两车相遇，问甲、乙两站铁路长多少千米？

6、A 、B 两地相距360千米，客车和货车从A 、B 两地相向而行，客车先行1小时，货车才开出，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车开出后几小时与货车相遇？相遇地点离B 地多远？

7、甲、乙两车从A 、B 两地同时相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，两车在距中点15千米处相遇，求AB 两地相距是多少？

8、甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行18千米，乙每小时行15千米，两人相遇距离中点3千米，起两地距离多少千米？

9、AB 两地相900千米，甲、乙两人同时从A 到B ，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米，当甲到达B 后立即返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇共经过多少分钟？

10、学生甲和乙同时住一楼，有一次他们同时从家到相距540米的

学校上学，甲每分钟行60米，乙每分钟行48米，甲到达学校后发现忘带文具盒，立即返回家去取，在途中遇到乙，那么从开始上学到两人相遇共用几分钟？

11、甲、乙两人从相距1800米的两地同时相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，乙带了一只小狗与他们同时行驶，狗以每分钟220米的速度向甲跑去，狗遇到甲时已行了多少米？狗遇到甲后立刻回头向乙跑去，这样狗在甲、乙两人之间来回奔跑，直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？

12、一辆客车与一辆货车同时从A 、B 两地相对开出，经过6小时相遇，相遇后两车都以原速继续前进，又经过4小时客车到达B 地，这时货车离A 地还有188千米，A 、B 两地相距多少千米？

13、小玲和小明家相距600米，这天两人同时从家出发向对方家走去，小玲走完全程需要12分钟，小明走完全程需要20分钟，相遇时两人各走了多少米？

14、A 、B 两地相距460千米，甲列车同时从A 地开出2小时后，乙列车从B 地开出，经过4小时与甲列车相遇，已知甲列车比乙列车每小时多行10千米，问甲列车平均每小时行多少千米？

15、甲、乙两人在相距90米的路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒种2米，如果他们同时分别从支炉两端出发，跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇几次？