自由电子能带中的平均键能与费米能级X

第22卷　第1期

2002年2月

　　　　　　　　

V o l . 22,N o. 1固体电子学研究与进展　　　　　　　　

Feb . , 2002自由电子能带中的平均键能与费米能级

李书平　王仁智　郑永梅　蔡淑惠　何国敏

(厦门大学物理学系)

20000317收稿, Ξ

摘要:(、体心立方(bcc ) 晶体和6角密堆积(hcp ) 晶m F , 并得出自由电子能带的平均键能E m 相当于费米能级E F E m 的物理实质, 同时也为自由电子系统提供一种通过自由电F (k F ) 的方法。

:; 平均键能; 异质结

中图分类号:O 471. 5　　文献标识码:A 　　文章编号:100023819(2002) 012001204

Average -bond -energy and Ferm i L evel on Free Electron ic Band

L I Shup ing 　W AN G R enzh i 　ZH EN G Yongm ei 　CA I Shuhu i 　H E Guom in

(D ep a rt m en t of P hy sics , X iam en U n iversity , 361005, CH N )

Abstract :B ased on the free electron ic band m odel , w e study the relati on sh i p betw een

average 2bond 2energy E m and Ferm i level E F in face 2cen tered cub ic (fcc ) crystal , body 2cen tered . cub ic (bcc ) crystal and hexagonal clo sed 2p acked structu re (hcp ) crystal

It is concluded that

the average 2bond 2energy E m is equ ivalen t to the Ferm i level E F on free electron ic band . T he re 2su lts m ay help to understand the p hysical concep ti on of average 2bond 2energy E m and also sup 2p ly a m ethod to calcu late the Ferm i level E F o r Ferm i radiu s k F by electron ic band calcu lati on fo r free electron ic system .

Key words :Fer m i level ; average -bond -energy ; heterojunction PACC :7470

1　引　　言

在半导体异质结能带排列的理论计算中, 笔者

曾对于半导体能带结构E n (k ) , 计算其4个价带(基态) 和若干个(4个) 导带(激发态) 的能量平均值E m (称为平均键能) , 同时在超晶格中的平均键能研究中, 发现异质结两侧的平均键能相互“对齐”, 建立了以E m 作为参考能级的异质结的带阶

ΞE 2m ail :lsp @yanan . xm u . edu . cn

理论计算方法(简称平均键能方法) [1～3]。该方法已

在一系列的晶格匹配[3]、应变层异质结[4]的带阶理论计算中, 获得比较准确的结果。然而, 平均键能为什么在异质结中具有“对齐”行为? 平均键能的物理实质是什么? 还是有待进一步研究的问题。为此对自由电子能带、金属能带和半导体能带等不同类型的能带结构中的平均键能E m 与费米能级E F 之间的内在联系, 进行了系统性的研究工作, 本文报道关于自由电子能带的平均键能E m 就是费米能级

高校博士点基金(9538409) 和福建省自然科学基金(E 990005) 资助项目

2　固　体　电　子　学　研　究　与　进　展　　　　　　　　　　　　　　22卷

E F 的研究结果。

(-1, 1, 1) ,

(1, -1, 1) , (1, 1, -1) , 倒格矢就

a

a

K =l 1b 1+l 2b 2+l 3b 3

2　面心立方(fcc ) 的自由电子能带中

是:

(6)

的平均动量k m 与费米球半径k F

　　晶格常数为a 0的面心立方晶体, 其原胞体积

3

4, 如果在每个原胞中有z 0个价电子, 价电80=a 0

子的密度n v =Z 0 80, 将价电子近似为自由电子,

该自由电子系统的费米球半径k F 为:

3() ) k F =2Πn v F a 0F []22(2) (2) =k F 3Πn v 3

2m 2m

其中, n v 是自由电子的密度, C F 是用作为单位的

a 0

其中, l 1, l 2, l 3=0, ±1, ±2, ……(整数) :

2

(7) ) 2, N k 值, K 是倒格, 1个允许k 值) , 加上式(6) 的各个K 点, 再按(k +K ) 2值由小到大排列, 其排列次序n 即E n

E n ((k ) 的能带指标。从式(6) , (7) 可以了解到, 倒格矢4) 的大K 的大小与晶格常数a (或原胞体积8=a

3

费米球半径, m 是电子质量。

在面心立方(fcc ) 半导体中, 每个原胞中有8个价电子, 如果晶体中包含N 个原胞, 晶体中总共有8N 个价电子, 它们填充布里渊区的4个价带, 价带上方是对应激发态的导带。现把4个价带本征值能量的平均值E b 称为成键态能量, 把若干个较低导带本征值能量的平均值E a 称为反成键态能量, E b 与E a 的平均值E m 称为平均键能是:

E b =E a =

[1～3]

小有关, 因此, 原胞体积8值不同时, 自由电子的

E n (k ) 值也不同。

如果在式(3) ～(5) 的平均键能E m 计算中, E n

(k ) 值采用自由电子能带结构式(7) , 就得到自由电子能带模型的E m 值, 与E m 对应的平均动量k m 可由下式计算:

k m =

∂

2m E m =

a 0

C m

(8) a 0

, 这就

其中, 平均动量C m 与式(1) 的C F 一样, 都以作

M v N

M v

∑∑E

n =1k ∈B Z

n

(k ) (k )

(3) (4) (5)

M c N

M v +M c

n =M v +1k ∈B Z

∑∑E

n

为单位。

对原胞中包含8个价电子的半导体晶体, 将价电子近似为自由电子, 引用式(1) , (2) 计算它们的费米能级E F ; 同时采用式(3) ～(5) 计算自由电子能带的E m 值。发现, 由4个最低能带(M v =4) 和5个次低能带(M c =5) 按式(3) ～(5) 计算得到的E m 值与式(1) , (2) 所表示的费米能级E F 相同[6]。为进一步揭示上述研究结果的普遍适用性, 对于表1所列出的8种不同的电子密度n v (即考虑晶格常数a 0=0. 543nm 的面心立方晶体原胞中, 电子数Z 0分别是1, 2, 3, …, 8个电子的8种不同n v =Z 0 80情况) , 由式(1) , (2) 计算它们各自的费米半径k F , C F 和费米能级E F 值, 其中C F 的计算结果列于表1; 同时, 采用自由电子能带模型按式(3) ～(5) 计算它们的平均键能E m 和相应的平均动量。因为在式(3) 的求和计算中, M v 的取值为4, 表示原胞中应该有8个电子, 所以在计算中, 对于表1在原胞中电子数目(Z 0) 小于8个的7种不同情况, 需要在保持其电子密度不变的前提下, 适当增加原胞体积(8) (原胞中的电子数也随之按比例地增

E m =(E b +E a ) 2

其中, E n (k ) 是半导体的能带结构, n 是能带指标,

导带个数, B Z 是M v 、M c 分别是用于求和的价带、布里渊区,

k ∈B Z

∑表示对布里渊区的所有允许k 值求

和, N 是晶体的原胞个数, 它等于B Z 中k 允许值

的个数。对于每个原胞中有8个价电子(Z v =8) 的半导体, 价带数目E v =

2=4。

自由电子能带是晶体势趋于零时的能带结构, 即晶体能带结构的零级近似。在赝势能带计算方法中, 它就是用于建立久期方程的基函数(具有晶体的平移对称性的平面波) 的能量本征值。面心立方晶体的原胞基矢a 1, a 2, a 3为(0, a , a ) 2, (a , 0, a )

2, (a , a , 0) 2, 由此确定的倒格基矢b 1, b 2, b 3为

a

1期　　　　　　　　李书平等:自由电子能带中的平均键能与费米能级3

加) , 使Z v 达到8个。然后分别按式(7) 计算8种不同原胞体积(8) 的自由电子能带结构E n (k ) 并由式(3) ～(5) [取4个价带(M v =4) 和5个导带(M c =

5) ]计算它们的平均键能E m , 最后由式(8) 计算其

以

a 0

为单位的平均动量C m 值, 计算结果列于表1。

表1　a 0=0. 543nm 的fcc 晶体, 自由电子的费米球半径[式(1) ]C F 和平均动量C m [式(3) ～(5) , (8) ]计算结果的比较

. 1　The co m par ison of ca lcula ti ng Fer m i sphere rad ius C F and average m o m en tu m C m of fcc crysta ls a t a 0=0. 543nm Tab

(2 F =F 0) Bu lk of p ri m itive cell

N um ber of D en sity of valence valence electron s electron s

3

(2m =m 0)

Bu lk of

p ri m itive cell

N um ber s

3

Ferm i sphere radiu s F

N N

v

of band

N

c

A verage mom en tum

C m

80

nm -40. 02640. 02640. 02640. 02640. 02640. 02640. 02640. 026

-3

Z 0

n v

-3

145678

c m

. 9. 993612. 49214. 99017. 48919. 987

22

-3

-

Z 0. 9851. 1271. 2411. 3371. 4201. 4951. 563

160. 104106. 73680. 05264. 04253. 36845. 74440. 026

88888888

44444444

55555555

0. 7810. 9841. 1271. 2401. 3361. 4201. 4951. 563

　　从表1的费米球半径C F 和自由电子能带的动量C m 的计算结果看到, 在8种不同的电子密度情况下, 两种不同方法的计算数值都是相当吻合的。因为C F 和C m 都是用

a 0

和(a , -3a , 0) 2, (a , 3a , 0) 2, (0, 0, c ) , 由

这两组基矢确定它们各自的倒格基矢和倒格矢并最后得到bcc 和hcp 自由电子能带结构[见式

(7) ]。采用式(3) ～(5) (取M v =4、M c =5) 分别计算bcc 和hcp 的E m 值。fcc 、bcc 和hcp 的E m 值计算结果同时列于表2。表2的E F 值是采用表2中的电子密度n v 值, 由通常的费米能级计算公式(2) 的计算得到的结果。

从表2的计算结果看到, 对于表2所给出的8种不同的原胞体积8(因而电子密度n v 不同) , 由fcc 和bcc 自由电子能带计算得到的E m 值与费米

作为计量单位表示的计算

结果, 所以该计算的结果和所得到的结论与晶格常数a 0的取值无关, 也就是与电子密度无关。因此, 平均动量C m 相当于费米球半径C F 的研究结果, 适用于各种不同电子密度的自由电子系统。也就是对于面心立方(fcc ) 的自由电子能带结构, 由式(3) ～(5) 取M c =4、M v =5计算的平均键能E m 即费米能级E F 的结果普遍成立的。

3　不同结构晶体的自由电子能带中

能级E F 值吻合, hcp 的自由电子能带的E m 值也与

E F 值基本相同(差别不超过0. 05eV ) 。所以自由电子能带的4个最低能带和5个较低能带的能量平均值E m 即为费米能级E F , 不仅在fcc 结构中如此, 在bcc 和hcp 结构中也是成立的, 具有普遍性。

的平均键能E m 与费米能级E F

　　体心立方(bcc ) 晶体、6角密堆积(hcp ) 晶体与上述的面心立方晶体的原胞基矢不同, 因此bcc 、hcp 与fcc 的自由电子能带结构是不相同的。为进一步了解, 在它们的自由电子能带中, 采用式(3) ～(5) 和式(7) 计算得到的平均键能E m 是否都是等

4　结　　语

在上述研究中, 把fcc 、bcc 和hcp 3组不同的基矢作为赝势能带计算程序的输入, 将计算过程中的矩阵(对角化之前) 的对角元输出, 就得到其零级近似下的能带构[即自由电子能带E n (k ) ],然后由式(3) ～(5) 的布里渊区求和计算E n (k ) 的能量平

于费米能级E F , 进行了下面的计算工作:由表2所给出的(原胞中包含8个电子) 原胞体积确定bcc 和hcp 两者的晶格常数后, 将bcc 和hcp 的基矢分别取为(-a , a , a ) 2, (a , -a , a ) 2, (a , a , -a ) 2

4　固　体　电　子　学　研　究　与　进　展　　　　　　　　　　　　　　22卷

均值E m , 计算中采用特殊k 点方法, 对于fcc 、bcc 和hcp 分别采用10个、20个和18个特殊k 点, 对4个最低能带和5个较低能导带对布里渊区进行求和平均, 计算得到它们的E m (或平均动量k m ) 值。计算结果表明, 对于各种不同电子密度的自由电子系统, 其平均键能E m 值都接近与该系统的费米能级E F 。该研究结果, 一方面为自由电子系统提

供一种通过自由电子能带计算费米能级E F (或费米半径k F ) 的方法; 另一方面, 借助于数值计算方法, 在能带结构的零级近似中, 揭示了平均键能E m 相当于费米能级的事实, 因而, 有助于理解平均键能E m 为什么会在异质结的两侧相互“对齐”。

表2　面心立方fcc 、体心立方bcc 和6角结构hcp m E F . 2　The ca lcula ti ng average bond energy E m and i F of fcc , bcc and hcp crysta ls Tab

Bu lk of

p ri m itive cell 8-3-3320. 206280. 180240. 155200. 129160. 103120. 07780. 05240. 026

N um ber of Z v

D en sity of s

n v

um ber band

N

v

of conducti on band

N

c

E m E m E m E F

of fcc eV 3. 1143. 4043. 7724. 2594. 9435. 9887. 84612. 455

of bcc

eV 3. 1133. 4037. 7714. 2594. 9425. 9867. 84412. 452

of hcp

eV 3. 1053. 3953. 7624. 2484. 9305. 9727. 82512. 422

eV

3. 1163. 4063. 7754. 2634. 9475. 9927. 85212. 465

88888888

2. 49842. 85533. 33123. 99744. 99686. 66249. 993619. 987

22

-3

44444444

55555555

李书平(L I Shup ing ) 　男, 讲师。1973年

参考文献

1　王仁智, 黄美纯.

异质结价带边不连续∃E v 的理论计

11月出生。1996年毕业于厦门大学物理

系, 现于厦门大学物理系任教。主要从事半导体能带与电子态的理论研究。

算. 物理学报, 1991; 40(10) :1683～1688

2　王仁智, 黄美纯. 超晶格分子层中的键能和平均键能的

研究. 半导体学报, 1992; 13(4) :252～257

3　王仁智, 黄美纯. 异质结能带边不连续性的第一原理计

王仁智(W AN G R enzh i ) 　男, 1935年10月出生。1960年毕业于厦门大学物理系。长期从事半导体能带与电子态的理论研究。已在国内外科技刊物上正式发表论文

100多篇。

算. 中国科学, A 辑, 1992; (10) :1073～1078

4　Ke S H , W ang R Z , H uangM C . V alence 2band offsets

. and tailo ring in compound strained 2layer superlatices

～10501P hy s R ev , 1994; B 49(15) :10495

5　K ittel Charles . In In trod uction to S olid S ta te P hy sics ,

Six th editi on , Edited by John W iley &Son s Inc , N ew Yo rk , Ch ichester , B risbane , 1986:132

6　郑永梅, 王仁智, 蔡淑惠等. 自由电子能带模型中的平均

To ron to ,

Singapo re ,

郑永梅(ZH EN G Yongm ei ) 　男, 教授,

1941年1月出生, 1964年毕业于厦门大学

物理系。主要从事半导体物理与半导体器件物理、固体电子态理论研究, 为美国

A SSS 成员, 中国高等科学技术中心协联

键能与费米能级. 半导体光电, 1999; 20(2) :101～103、

107

成员, 已在国内外科技刊物上正式发表论

文40多篇。