电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第9章
第九章 导行电磁波
9-1 推导式(9-1-4)。
解 已知在理想介质中,无源区内的麦克斯韦旋度方程为
HjE, EjH
令 HexHxeyHyezHz, EexExeyEyezEz 则
HzHyHyHxHxHz
HexeezyyzxyzxEzEyEyExExEzEexeezyyzxy zx将上式代入旋度方程并考虑到
Ez
jkzEyjHx y
Ez
jHy x
jkz,可得 z
jkzEx
Eyx
Ex
jHz y
Hz
jkzHyjEx y
Hz
jEy x
jkzHx
Hyx
Hx
jEz y
整理上述方程,即可获得式(9-1-4)。
9-2 推导式(9-2-17)。
jkz解 对于TE波,Ez0, H zx,y,zH0zx,yz。应用分离
变量法,令
H0zx,yXxYy
由于H0zx,y满足标量亥姆霍兹方程,得
1d2Xx1d2Yy2
k0 c22
XxdxYydy
此式要成立,左端每项必须等于常数,令
1d2Xx2
kx;
Xxdx21d2Yy2
ky
Yydy2
22
显然,kxkykc2。由上两式可得原式通解为
H0zx,yA1coskxxA2sinkxxB1coskyyB2sinkyy
根据横向场与纵向场的关系式可得
E0xx,yE0yx,y
jkykc
2
A1coskxxA2sinkxxB1sinkyyB2coskyy A1sinkxxA2coskxxB1coskyyB2sinkyy
jkxkc
2
因为管壁处电场的切向分量应为零,那么,TE波应该满足下述边界条件:
E0xx,yy0,b0;
E0yx,yx0,a
0
将边界条件代入上两式,得
n
n0,1,2, bm
B20,kx m0,1,2,
aA20,ky
故Hz的通解为
m
Hzx,y,zH0cos
a
njkzz
xcosye
b
其余各分量分别为
Hxx,y,zj
kzH0mm
sin2
kcaa
nxcosb
yejkzz
Hyx,y,zjExx,y,zj
kzH0nmnjkzz
xsinyecos2babkc
2
H0n
kc
m
cosbanxsinb
yejkzz
Eyx,y,zj
H0m
kc
2
mnjkzz
xcosyesin
aab
9-3 试证波导中的工作波长、波导波长g与截止波长
c之间满足下列关系
1
2g
1
2c
1
2
解 已知波导中电磁波的波长为
g
c
2
1
g2
121
c
2
111
22则 2
gc11
22c
2
即
1
g
2
1
c
2
1
2
9-4 已知空气填充的矩形波导尺寸为8cm4cm,若工作频率f7.735GHz,给出可能传输的模式。若填充介质以后,传输模式有无变化?为什么? 解 当内部为空气时,工作波长为截止波长为
c
38.78mm,则 f
c
2mnab
2
2
800.25mn
2
2
mm
那么,能够传输的电磁波波长应满足c,若令
k0.25m2n2,则k应满足k4.256。满足此不等式的m,
n数值列表如下:
由此可见,能够传输的模式为
TE10,TE20,TE30,TE40,TE01,TE11,TM11,TE21,TM21,TE31,TM31,TE02,TE12,TM12
填充介质以后,已知介质中的波长为
,可见r
工作波长缩短,传输模式增多,因此除了上述传输模式外,还可能传输其它高次模式。
9-5 已知矩形波导的尺寸为ab,若在z0区域中填充相对介电常数为r的理想介质,在z0区域中为真空。当TE10波自真空向介质表面投射时,试求边界上的反射波与透射波。
解 已知波导中沿z轴传输的TE10波的电场强度为
iiEyeyEoysin(
a
x)ejkzz
那么,反射波和透射波的电场强度可分别表示为
rr
EyeyEoysin(
a
tt
x)ejkzz;EyeyEoysin(
a
x)ejkz
2
式中
kz00
0;k1
2a2a
2
考虑到边界上电场强度与磁场强度的切向分量必须连续的边界条件,因而在z0处,获知
irtirt
EoyEoyEoy; HoxHoxHox
根据波阻抗公式,获知z 0区域中的波阻抗分别为
Z
Ei
oyTE
iEr
tox
EoyHHr; ZTEt ox
oxHox
将场强公式代入,得
0
Z
0
TE
2
,z0; Z
TE
,z00
2
2a
12a
根据上述边界条件,得
Eioy
oy
Etoy
Z
Er
TE
Z
TE
Z
TE
那么,z0处的反射系数及透射系数分别为
REroy
ZZTETE
EiZ
;
TEtoy
2ZTE
oyTEZEi
Z
TE
oyZTETE
反射波与透射波的电场强度分别为
Erei
kzzyyREoysin(
a
x)ej;
Eti
kzyeyTEoysin(
a
x)ej
根据Ej0H,可得反射波的磁场强度为
jkzz
Hr1
Ery
kz
i
x
jzREoy
sin
x00a
1
Er
jkzHry
1
z
izjjREoycosx
0x0aa
根据EjH,可得透射波的磁场强度
Htx
1Et
jkzyjzkTEi
oysinax
jHt1Et
y1kzi
zjxjaTEoycosax
9-6 试证波导中时均电能密度等于时均磁能密度,再根据能速定义,导出式(9-4-9)。
解 在波导中任取一段,其内复能量定理式(7-11-14)成立。考虑到波导为理想导电体,内部为真空,因此内部没有能量损耗。因此式(7-11-14)变为
Sc(r)dSj2wmav(r)weav(r)dV
S
V
因为流进左端面的能量应该等于流出右端面的能量,故上式左端面积分为零,因而右端体积分为零。但是右端被积函数代表能量,只可能大于或等于零,因此获知
wmav(r)weav(r)
已知能速的定义为ve均能量密度为
WavWeavWmav2WeavExEy
Sav
,对于TE波,波导中平wav
2
2
波导中能流密度平均值仅与场强的横向分量有关。对于TE波,能流密度的平均值为
SavExEy
2
2
HxHy
2
2
波导中电场和磁场的横向分量关系为
EyEx
ZTEHyHx
c
2
将上述结果代入,求得TE波的能速为
S1veav
WavZTE
c
2
v1
c
2
同理对于TM波也可或获得同样结果。
9-7 试证波导中相速vp与群速vg的关系为
vgvpg
dvpdg
解 根据群速的定义vg
d
,对于波导,kkz。又知波dk
导的相位常数与相速的关系为 kz
vp
kzvp,则
vg
dvddkzvpvpkzp
dkzdkzdkz
根据波导波长与相位常数的关系,得
kz
2
g
dkz
2
g
dg
则
2
dvpdvp2gvgvpvpg g2dgdg
9-8 推导式(9-6-3)
解 将麦克斯韦旋度方程HjE,EjH在圆柱坐标系中展开,得
1HzH1rH1HrHrHz jEereezrzrrzrr1EzE1rE1ErErEz
jHerrzezrezrrr
将EerEreEezEz代入上式,并考虑到
1Hz
jkzHjEr
r
jkz,得 z
;
jkzHr
Hz
jEr
;
1rH1Hr
jEz
rrr
1Ez
jkzEjHr
r
;
jkzEr
Ez
jHr
;
1rErr1Er
r
jHz
上式整理后,即可求得横向分量的表示式为
E1
r
k2jkEzHz
zcrjr E1kzEz
Hzk2jjc
rr
H1Ez
Hzr
k2jjkz cr
rH
1
EzkzHzk2jjcrr
其中 k2
2
ck2kz
9-9 推导式(9-6-18)
解 对于TE波,Ez0, H z r,,zH0zr,ejkzz建立圆柱坐标系,H0z满足的亥姆霍兹方程为
2H0z1H0z12Hr2rr0zr2
2k2cH0z0 令H0zr,Rr,代入上式,得
r2d2RrrdRr1d2Rrdr222
ΦRrdrkcrΦd
2
令方程两边等于k2
,获得下述两个常微分方程:d2Φd2
k2
Φ0 r2
d2Rrdr2
rdRrdrk2cr2k2
Rr0
其中Φ的通解为
ΦB1coskB2sink
由于H0z随角度的变化周期为2,因此,k必须为整数。即
ΦB1cosmB2sinm
式中m = 1,2,3。考虑到圆波导具有旋转对称性,0的坐标轴可以任意确定,总可适当选择0的坐标轴,使上式中的第一项或第二项消失,因此,上式可表示为
cosm
m0,1,2, ΦB
sinmRr的通解为
RrA1JmkcrA2Nmkcr
考虑到圆波导中心处的场应为有限,但r0时,
Nm0,故常数A20,即RrA1Jmkcr。因此Hzr,,z的通解为
cosmjkzz
Hzr,,zA1BJmkcre
sinm
那么,根据圆波导的横向分量的纵向场分量表示式,即可求得各个分量Er,E,Hr,H的表示式。
9-10 已知空气填充的圆波导直径d50mm,若工作频率
f6.725GHz,给出可能传输的模式,若填充相对介质常
数r4的介质以后,再求可能传输的模式。 解 当圆波导内为空气时,工作波长为
c3108
44.6mm 9
f6.72510
已知TM波的截止波长为c
2a
,因此能够传输的Pmn
模式对应的第一类柱贝塞尔的根Pmn必须满足下列不等式
2a
cPmn
Pmn3.52
由教材表9-6-1可见,满足上述条件的只有P01因此只有
TM01波存在。
TE波的截止波长为c
2a
,那么能够传输的模式Pmn
必须满足下列不等对应的第一类柱贝塞尔的导数根Pmn式
n3.52 cPm
由教材表9-6-2可见,满足上述条件的只有P11和P21,因此只有TE11和TE21波可以传输。
填充介电常数为r4理想介质后,工作波长为
则能够传输的TM模式对应的第一类22.3mm,
r
2a
Pmn7.04
柱贝塞尔的根Pmn必须满足下列不等式
cPmn
由教材表
9-6-1可见,满足上述条件的模式为
TM01波,TM02波,TM11波,TM12波,TM21波。
能够传输的TE模式对应的第一类柱贝塞尔的导数
必须满足下列不等式 根Pmn
c
2a
7.04 Pmn
Pmn
那么,由原书表9-6-2可见,满足上述条件的模式为
TE01波,TE02波,TE11波,TE12波,TE21波,TE22波。
9-11 当比值(f/fc)为何值时,工作于主模的矩形波导中波导壁产生的损耗最小?(指获得最小衰减常数k)。 解 当矩形波导传播TE10波时,其衰减常数为
k
RS
fc
f
2
fc
a2bf12f2c
A2baffcfc
1ff
fc
,则求k的最小值f
2
式中A仅与波导的参数有关。令x问题转化为求函数Mx
a2bx2x1x
2
的最小值问题。由
dM
0,得2bx46b3ax2a0,解此方程,得 dx
x
2
6b3a6b3a28ab
4b
若取x
2
6b3a6b3a28ab
4b
1,则1x20。由于
x0,则x1x
2
0。故
x
2
6b3a6b3a28ab
4b
不
合理。应取
x
2
6b3a6b3a28ab
4b
12
即
6b3ax
6b3affc
6b3a28ab
4b
1
2
得
6b3a28ab
4b
9-12 已知空气填充的铜质矩形波导尺寸为
7.2cm3.4cm,工作于主模,工作频率f3GHz。试求:①
截止频率、波导波长及衰减常数;② 当场强振幅衰减一半时的距离。
解 当工作于主模TE10波时,则截止频率为
c3108
fc2.08GHZ 2
2a27.210
波导波长为
g
2a
2
101027.2
2
13.89cm
因矩形波导为空气填充,故仅需考虑波导壁产生的衰减,则衰减常数为
k
00
122 2ba2a
2aRS
对于铜制波导,波导壁表面电阻RS2.61107
f,则
2b2
k12.26103NPm 2a2a
120b
2a
1
设场强衰减一半时的距离为d,由ekd,求得
2
2.61107
f
d307.25m
9-13 已知空气填充的铜质圆波导直径d50mm,工作于主模,工作频率f4GHz,试求,① 截止频率、波导波长及衰减常数;② 当场强衰减一半的距离。 解 当圆波导工作于主模TE11波时,则截止频率为
fc
P112a
1.841
225103
1
10169
3.52GHZ
波导波长为
g
fcf
2
cffc
2
2
310843.5210
2
2
9
15.79cm
由于波导是空气填充,因此只需考虑波导壁的损耗。根据衰减常数k的定义,求得
2k2kc2 kP111akkz
RS
其中波导壁表面电阻RS2.61107
波数 k
f0.016
2fr
c24109183.73m1 8
310
传播常数
P111.841221
kzk83.7339.85m
0.025a
2
2
截止传播常数kc
P11
73.64m1,那么,求得 a
NPm k0.00425
设场强衰减一半时的距离为d,由ekd
d = 163(m)
9-14 已知空气填充的矩形波导尺寸为20mm10mm,工作频率f10GHz。若空气的击穿场强为3106(V/m),试求该波导能够传输的最大功率。
解 由于波导是空气填充,故工作波长为
1
,求得 2
c3108
0.03m
f10109
已知a0.02m,为了满足a2a,该波导只能传播TE10波,其截止波长为
c
2mnab
2
2
210.02
2
0.04m
abEb
此时,矩形波导能够传输的最大功率为Pb,式中
4ZTEEb为波导中空气的击穿强度,Eb3106m。
又知该矩形波导的波阻抗
2
ZTE
Zc
2
1200.0310.04
2
569.67
求得该矩形波导能够传输的最大功率为
0.020.013106
Pb
4569.67
2
0.79MW
9-15 若波导中填充介质的参数为,,,试证由于填充介质产生的衰减常数为
k2
fc
f
2
解 当波导中填充的媒质具有一定的电导率时,可以引入等效介电常数,即令ej导中的波数kee。
22
已知 kz2ke2kc2e
c
,k
2
1j。因此,波
那么
22
2222
kzk1jk1jcc
2
fcfc
kzkjk1ff
22
j
fc1f
考虑到通常
kzk
22
fcfc111jkjk22f2fcf2fc1ff
令传播常数kzkjk,那么,衰减常数为
1
kzk
2
122fcf
fc
f
2
9-16 已知空气填充的铜质矩形波导尺寸为
22.5mm10mm,工作于主模,工作频率f10GHz。若该波
导传输功率为1kW,试求:① 波导壁产生的衰减常数;② 波导中电场及磁场强度的最大值;③ 波导壁上电流密度的最大值;④ 每米长度内的损耗功率。
解 ①已知工作于主模的空气填充的矩形波导,波导壁产生的衰减常数为
k
2b21 2a2a0
b02a
RS
式中波导壁的表面电阻RS2.61107工作波长
f2.61102,
c
0.03m,那么衰减常数为 f
2.61102
k
1200.01
210301
22.5222.5
30222.5
2
2
0.013NPm
②设波导中的复能流密度为Sc,横截面为S,则波导中的传输功率为
PReScdSReScdS
S
S
由于波导中填充理想介质,波阻抗ZTE为实数,横向电场与横向磁场的相位相同,则 ReScEH。
已知矩形波导中TE10波强度的横向分量为
EEy
2H0
sinx 2
kcaa2kzH0
sinx kcaa
HHx
考虑到kc
,则由上述场强公式求得 a
aH0
Pkzab
2
因 则
fc
kzf156.1m
2
P14.24102H0W
2
那么,当传输功率P = 1000(W)时,则
H083.8m
由此求得波导中电场及磁场强度的最大值分别为
Ey
max
2
kc
2
a
H066982.4Vm
Hz
max
2H0118.5m
Hx
max
2
kz
H0132.5Am 2akc
③根据波导壁上磁场分量,即可求得波导壁上的表面电流。窄壁上表面电流为
Jsx0exezHzeyHzey2H0sintkzz JsxaexezHzeyHzey2H0sintkzz 其最大值为
Jsx0
max
Jsxa
max
2H0118.5Am
宽壁上表面电流为
Jsy0
eyexHxezHzezHxexHz Js
yb
eyexHxezHzezHxexHz
因此,宽壁上表面电流的振幅为
J
J
2
212
y0yb
HxHz
1
2
2
2
2Hkza011sin22xa
1
2H2x
2
0
10.25sina
令Fx10.25sin2xdFx
a
,则 dx2asinaxcosax由
dFxdx0,获知x0,a2
,a为极点。又因
d2Fx2dx22a2cos2
x
a
计算表明,当x0时,cos2
d2Fxax
1,dx2
0; 当xa时,cos
2
x
d2Fx2a
1,dx2
0; 当xa时,cos2
d2Fxax
1,dx2
0。
由此可见,当x
a
时,即宽边中部Fx取得最大值,求2
得表面电流最大值为
Js
y0max
Js
H
ybmax
2H00.25132.5Am
④因H
z
k2ke,损耗功率,那PPez0zz0
么,单位长度内的损耗功率为
PPz01e2k10001e20.013125.66W
9-17 试证式(9-8-8)。
解 已知表面电流JsenH,式中en为导体表面的外法线方向上的单位矢量。那么,表面电流的大小为JsHt,式中Ht表示表面磁场的切向分量。因此,损耗功率为
PlJsRSdsRSHtds
S
S
2
2
此面积分应沿谐振腔的6个内壁求积,即
PlRS2
ba
00
Hxz0dxdy2
d
2d
b
02
Hzx0dydz
dxdz
2
2
2
a
H
x
2
2y0
Hz
y0
已知式中 Hxz0
2
4kza2H0
2
2
2
sin2x
a
Hzx04H0sin2kzz
Hx
2y0
4kza2H0
22
2
cos2kzzsin2x
a
Hz
ba
2y0
2
4H0sin2kzzcos2x
a
2a3bkz
2
则
d0
00
Hxz0dxdy
2
2
2
2
H0
2
2a3b22H0 d
b
Hzx0dydz2bdH0
da
Hx
2y0
Hz
2y0
2a3dxdzadH0 d
2
代入后,求得
2a3b2d3ba3dad3
Pl2RSH02 d
9-18 推导式(9-8-10)及式(9-8-12)。 解 当圆波导传播TM波时,则
kz
2
P
k2mn
a
l
。那么, d
2
2
若谐振腔的长度为l,则kz
2
2
lPkmn
da
又知k2f,则谐振频率为
fTM
k2
12lPmn
da
22
同理,对于TE波的圆柱谐振腔,可以证明谐振频率为
fTE
k2
12
lPmn
da
22
9-19 已知矩形波导谐振腔的尺寸为8cm6cm5cm,试求发生谐振的4个最低模式及其谐振频率。 解 已知矩形波导谐振腔的谐振频率为
fmnl
12
mnl
abd
2
2
2
当腔内为真空时,根据题中给定的尺寸,则谐振频率为
fmnl1.51010
mnl 865
2
2
2
那么,发生谐振的4个最低模式为TM110,TE101,TE011,
TE111和TM111,对应的谐振频率分别为
f1103.125GHz; f0113.91GHz;
f1013.54GHz f1114.33GHz
9-20 已知空气填充的圆波导半径为10mm,若用该波导形成谐振腔,试求为了使30GHz电磁波谐振于TM021模式所需的波导长度。
解 已知圆波导谐振腔工作于TM波时,其谐振频率为
fTM
12lPmn
da
22
若要求fTM30GHz, a10mm, P025.52,令腔长为半波导波长,即l = 1,那么,谐振腔的最短长度d由下式
1.51085.529
3010
d0.01
2
2
求得 d = 10.5(mm)
9-21 已知空气填充的矩形波谐振腔尺寸为
25cm1.25cm60cm,谐振模式为TE102,在保证尺寸不变
条件下,如何使谐振模式变为TE103。 解 已知矩形谐振腔的谐振频率为
fmnl
12mnl
abd
2
2
2
由此可见,改变腔内介质的介电常数即可变更谐振腔的谐振频率。当腔内充满空气时,谐振于TE102模式的谐振频率为
f102
c12 2ad
2
2
若腔内充满介质,谐振于TE103模式的谐振频率为
f103
c2r
13 ad
22
由f102 = f103,求得填充介质的相对介电常数 r1.52。
9-22 试证波导谐振腔中电场储能最大值等于磁场储能最大值。
解 波导谐振腔内的电磁场应该满足无源区中的麦克斯韦方程,即
HrjEr ErjHr
设谐振腔的体积为
We
V
V,则电场最大储能为
1122
Edv,磁场最大储能为WmHdv,那么
V22
Wm
1122
Hrdv2Erdv V22V
因
E*rErE*rErE*rEr
ErE*rEr
2
故
V
ErdvE*rErdvE*rErdv
2
V
V
S
V
ErErdsE*rErdv ErErendsE*rErdv
S
V
利用矢量恒等式ABCABC,则式中第一项积分的被积函数可改写为
EirEirenenEirEirenEirEir 由于腔壁上电场强度的切向分量为零,即
enEr0
21
故面积分
ErEre
S
n
ds0,则
考虑到
V
ErdvE*rErdv
2
V
ErjHr2Er
Wm
1122
HrdvErdv
V222V
112
E*rErdvErdvWe
V22V
则
9-23 已知空气填充的黄铜矩形谐振腔的尺寸为
abc3cm,谐振模式为
TE111,黄铜的电导率
,试求该谐振腔的品质因素。 1.5107(S/)m解 矩形波导中TE11波的电场与磁场的各分量为
Hxj
kzH0jkzz
sinxcosye2
aabkckzH0cos2
kcba
xsinb
yejkzz
Hyj
HzH0cos
axcosb
yejkzz
Exj
H0
kc
2
cosba
xsinb
yejkzz
Eyj
H0
kc
2
sinxcosyejkzz aab
则在TE111谐振模式下的场分量为
Hxj
2H0
sin2
kcada
xcosbycosd
z
Hyj
2H0
cosxsinycosz 2
bdkcabd
22
Hzj2H0cosxcosysinz
abd
Ex
2H0
cos2
bkca
xsinbysind
z
Ey
2H0
sinxcosysinz 2
akcabd
2
2
其电场最大值为 EmExEy;电场储能密度的时间最大值为wem大值为
1
Em2,则整个腔内的电场储能的时间最2
Wwemdvdxdywemdz
V
abd
c22H02
2kc
4
2
已知表面电流JsenH,式中en为导体表面的外法线方向上的单位矢量。那么,表面电流的大小为JsHt,式中Ht表示表面磁场的切向分量。因此,损耗功率为
PlJsRSdsRSHtds
S
S
2
2
此面积分应沿谐振腔的6个内壁求积,即
22badxdy PlRS2Hxz0Hy
z000
2
d
Hz
0
b2x0
Hz
2x0
dydz
2
ba
d
a
H
x
2y0
Hz
2y0
dxdz
2
4
22dxdy2H0 其中 Hxz0Hy
4z000kcc2
d
H
yx0Hzx00
b
2
2
44
dydzH0kcc
4kcc2
2y0
44
dxdzH0kcc
kcc2
2
2
4
d
H
x0
a
2y0
Hz
4
23
则损耗功率为
Pl4RS
H024kcc4
kcc2
4
2
4
4
4
4
谐振腔的品质因数为 Q
0W
Pl
c30228RS2kcc
2
3
因 0
f1
,kc22,RS,3
ccc
2
c0.03(m),求得品质因数 Q2685。
9-24 试证由理想导电体制成的、介质填充的波导谐振腔品质因素Q数及电导率。
解 由于谐振腔是理想导体,故腔壁的损耗可以不计,仅需考虑填充介质的损耗。已知品质因数为
Q
,式中及分别为填充介质的介电常
W
Pl
式中 W又
1
Em2dv 2v111**2
PlJEmdvEmEmdvEmdv
2V2V2V
求得 Q
24