华师大版九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结

第21章 二次根式

1. 二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质：

⎧___(a >0) ⎪

（1）(a ) 2=a ≥0）；（2

；（3）a 2=____=⎨___(a =0)

⎪___(a

3. 二次根式的乘除：

⎧___(a ≥0, b ≥0)

计算公式：⎪ ⎨⎪=___(a ≥0, b >0)

⎩

4. 概念：⎧⎨

1. 最简二次根式：(1) (2) (3)

⎩2. 同类二次根式：

5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式．

6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：

根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

第22章 一元二次方程

1. 一元二次方程：

1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0) ．

它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零．

ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数

项．

2. 一元二次方程的解法：

1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．

1

直接开平方法适用于解形如(x +a ) 2=b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，

x +a 是b 的平方根，当b ≥0时，x +a =±b ，x =-a ±b ，当b

2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a 2±2ab +b 2=(a +b ) 2，把公式中的a 看

做未知数x ，并用x 代替，则有x 2±2bx +b 2=(x ±b ) 2．

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

-b ±b 2-4ac 2

一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的求根公式：x =(b -4ac ≥0)

2a

4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

2

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．

3. 一元二次方程根的判别式：

b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 中，

的根的判别式，通常用“∆”来表示，即∆=b 2-4ac ． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 3) 当△

b c

如果方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-，x 1x 2=．也

a a

就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 5. 一元二次方程的二次函数的关系：

其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了．

第23章 图形的相似

1． 比例线段的有关概念

a c

在比例式=(a :b =c :d ) 中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项，d 叫第

b d

四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质

①基本性质：

a c

=⇔ad =bc b d

2

②更比性质(交换比例的内项或外项) ：

⎧a b

⎪c =d (交换内项) ⎪

⎪d =c (交换外项) ⎪b a a c

=⇒⎨

b d ⎪d =b (同时交换内外项)

⎪c a ⎪b d

⎪=(同时交换比的前项和后项) ⎩a c

②合比性质：

a c a ±b c ±d =⇒= b d b d a c m a +c +„+m a

③等比性质：==„=(b +d +„+n ≠0) ⇒=

b d n b +d +„+n b

AC BC

，即=

AB AC

3． 黄金分割

在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AC =4． 平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：

AB DE AB DE BC EF

=，=，=，„ l 1∥l 2∥l 3．则

BC EF AC DF AC DF ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定

①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等, 对应边成比例；

②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：

B

E C

B

E C

B

C -1

AB ≈0.618AB ． 2

DE ∥BC

∠B =∠AED

3

∠B =∠

ACD

D

A

B

C

C

A

D

B

B

C

AC ∥BD

8． 射影定理

X 型 ∠B =∠C 母子型

AD 是Rt △ABC 斜边上的高

由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．

B

9． 中位线

1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的

1

长是对应中线长的．

3

2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．

梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10． 位似

①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这

样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

C

第24章 解直角三角形

考点一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余．

可表示如下：∠C =90° ⇒∠A +∠B =90°

2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

∠A =30︒⎫1

⇒BCD =AB ⎬

∠C =90︒⎭2

3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

∠ACB =90︒⎫1

⎬⇒CD =AB =BD =AD

D 为AB 的中点⎭24. 勾股定理

直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2+b 2=c 2． 5. 摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．

4

⎧CD 2=AD ∙BD

∠ACB =90︒⎫⎪ 2

⎬⇒⎨AC =AD ∙AB

CD ⊥AB ⎭⎪2

⎩BC =BD ∙AB

6. 常用关系式

由三角形面积公式可得：AB ∙CD =AC ∙BC 考点二、直角三角形的判定

1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．

2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3. 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形． 考点三、锐角三角函数的概念 1. 如图，在△ABC 中，∠C =90°

①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记为sinA ，即sin A =

∠A 的对边a

=

斜边c

∠A 的邻边b

=

斜边c ∠A 的对边a

=

∠A 的邻边b ∠A 的邻边b

=

∠A 的对边a

②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cos A ，即cos A =③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tan A ，即tan A =④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cot A ，即cot A =2. 锐角三角函数的概念

锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数． 3. 各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系：sin A =cos(90°—A ) ，cos A =sin(90°—A )

tan A =cot(90°—A ) ，cot A =tan(90°—A )

（2）平方关系：sin 2A +cos 2A =1 （3）倒数关系：tan A ∙cot A =1

sin A cos A

（4）弦切关系：tan A =；cot A =

cos A sin A

4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 5. 一些特殊角的三角函数值

5

1. 解直角三角形的概念：

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2. 解直角三角形的理论依据

在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A +∠B =90° （3）边角之间的关系：

sin A =

a a

c ,cos A =b

c , tan A =,cot A =b b a sin B =b b

a c ,cos B =a

c , tan B =

a

,cot B =b

第25章 随机事件的概率

1. 概率

（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率． P (所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果． 2. 概率的预测

（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果． （2）要清楚所有机会的结果．

（1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率． 方法：画树状图、列表法．

事件的分类 1、确定事件

必然发生的事件：当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1 不可能发生的事件：当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=0

6

2、随机事件：当A 是可能发生的事件时，０＜P （A ）＜１ 概率的意义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率就叫做事件A 的概率。 概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，„，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P 概率的求解方法

１．利用频率估算法：大量重复试验中，事件A 发生的频率

n

会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p m

n

会稳定在某个常数p 附近，那么这个m

常数p 就叫做事件A 的概率（有些时候用计算出Ａ发生的所有频率的平均值作为其概率）．

２．狭义定义法：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=

m

n

３．列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标．

特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？

放回去 P （１和２）=

第二次第一次

22 不放回去P （１和２）=

69

第二1

(1,1)(2,1)(3,1)

2

(1,2)(2,2)(3,2)

3

(1,3)(2,3)(3,3)

结第一123

123

123

(2, 1)

(1, 2) (1, 3)

(2, 3)

(3, 1) (3, 2)

４．树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．

注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用１减——即正难则反易． 概率的实际意义

对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率．一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率．另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动．

7