对数 指数
课程标准：（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ
1．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义, 掌握有
理指数幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性, 掌握指数函数图象通过的特殊点；会画底数为2、3、10、1 、1 的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.
2
3
2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2、3、10、1 、1 的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.
2
x
3
(4)了解指数函数 y =a （a > 0,且 a≠1） 与对数函数y =log a x （a > 0,且a ≠1）互为反函数. 3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x ,y=x ,y=x , y =
2
3
1
1
x
情况.
5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方程根的存在性与根的个数. （2）根据具体函数的图象，能够借助计算器运用二分法求方程的近似解. （十三）不等式
1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会设计求解的程序框图.
了解它们的变化, y =x 2 的图象，
典型题例示范讲解
例1已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c , a +b +c =0,(a , b , c ∈R ) (1)A 、B ；
(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1⎧y =ax 2+bx +c
解： (1)⎨消去y 得ax 2+2bx +c =0
⎩y =-bx
Δ=4b 2－4ac =4(－a －c ) 2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +) 2+
2
3
c 34
c 2］
∵a +b +c =0,a >b >c , ∴a >0,c 0,∴Δ>0,
4
(2)ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2, 则x 1+x 2=－
2b a
2
, x 1x 2=
2
|A 1B 1|=(x 1－x 2) =(x 1+x 2) －4x 1x 2=(-
222
2b a
) -
2
4c a
=
4b -4ac
a
2
4(-a -c ) -4ac
a
2
c 2c c 123=4[() ++1]=4[(+) +]
a a a 24
∵a >b >c , a +b +c =0,a >0,c －a －c >c , 解得∵f () =4[() 2+
a
a
c
c
c a
+1]的对称轴方程是
c a
∈(－2, －
12
)
12
c a
=-
∈(－2, －) 时，为减函数
∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(3, 23) 点评：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力解答本题的关键点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合
例2已知二次函数f (x ) 的二次项系数为a ，且不等式f (x ) >-2x 的解集为（1，3）. （1）若方程f (x ) +6a =0有两个相等的根，求f (x ) 的解析式； （2）若f (x ) 的最大值为正数，求a 的取值范围.
解：（1）Q f (x ) +2x >0的解集为(1,3). f (x ) +2x =a (x -1)(x -3), 且a
解得a =1或a =-
15
15.
15x -
2
由于a
2
代入①得f (x ) 的解析式f (x ) =-
1+2a a .
2
65
x -
35
.
（2）由f (x ) =ax -2(1+2a ) x +3a =a (x -
及a
-
a +4a +1
a
2
) -
2
a +4a +1
a
⎧a 2+4a +1
>0, ⎪-
由⎨ 解得 a
3或-2+3
故当f (x ) 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(-∞, -2-3) (-2+3, 0).
点评：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.
例3. 已知函数y =f (x ) 的图象与函数y =a x （a >0且a ≠1）的图象关于直线
y =x 对称，记g (x ) =f (x )[f (x ) +2f (2) -1]．若y =g (x ) 在区间[
12
, 2]上是增函数，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[2, +∞) B ．(0, 1) (1, 2) C ．[, 1) D ．(0, ]
2
2
x
解析：已知函数y =f (x ) 的图象与函数y =a （a >0且a ≠1）的图象关于直线y =x 2
对称, 则f (x ) =log a x ，记g (x ) =f (x )[f (x ) +f (2)-1]=(loga x ) +(loga 2-1) log a x ．
11
（1）当a >1时，若y =g (x ) 在区间[, 2]上是增函数，y =lo g a x 为增函数，令
2
1
t =log a x ，t ∈[log a
12
, lo g a 2]，要求对称轴-
1
log a 2-1
2
≤log a
12
，矛盾；
（2）当0
2
t =log a x ，t ∈[log a 2, log a
2
12
]，要求对称轴-
log a 2-1
2
≥log a
12
，解得a ≤
12
, 所以实
数a 的取值范围是(0, 1], 选D.
点评：
例4 已知过原点O 的一条直线与函数y =log8x 的图像交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log2x 的图像交于C 、D 两点
(1) 点C 、D 和原点O 在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A
(1)证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,
由题意知 x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2 因为A 、B 在过点O 的直线上，
所以
log 8x 1
x 1
=
log 8x 2
x 2
, 点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),
log 8x 2log 82
=3log 8x 2,
由于log 2x 1=
log 8x 1log 82
=3log 8x 1, log 2x 2=
log log
2
所以OC 的斜率 k 1=
x 1x 2
x 2
2
==
3log 8x 1
x 13log 8x 2
x 2
, ，
OD 的斜率 k 2=
x 2
由此可知 k 1=k 2, 即O 、C 、D
(2)解 由BC 平行于x log 2x 1=log8x 2
即 log 2x 1=
13
log 2x 2, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,
由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 又x 1>1,∴x 1=3, 则点A 的坐标为(3，log 83)
点评：(1) k OC =k OD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标学生巩固练习
4)上是减函数，1．若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间 (-∞，则实数a 的取值范围是( B )
A ．a ≥3 B ． a ≤ C ． a ≥ D ． a ≤5 -3-3
2．将函数y =
12
x +3x +
2
52
的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数
的解析式为( C )
112()y =x +5-1(x +1)2-5 y = A ． B ． 22
112
(x +5)-1 y =()y =x +1+1 C ． D ．
22
3．二次函数f (x )=ax 2+bx +c 中，a >0且a ≠1，对任意x ∈，都有f (x +1)=f (2-x )，R 设m =f a
(
log
a
3
)，n =
2
⎛f log ⎝
a
1⎫
⎪，则（ B ） ⎪a ⎭
>n A ．m
C ．m =n
D ．m 、n 的大小关系不确定
4若不等式(a －2) x +2(a －2) x －4
A (－∞,2] B [－2,2] C －2,2] (－∞,－2) 解析当a －2=0即a =2时, 不等式为－4＜0, ∴a =2,
当a －2≠0时，则a 满足⎨
⎧a -2
, 解得－2＜a ＜2, 所以a 的范围是－2＜a
答案C
5设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )
A B C D
解析f (x )=x －x +a 的对称轴为x =
2
12
, 且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m ) ＜0, ∴m ∈(0,1),
∴m －1＜0, ∴f (m － 答案6 当a >1时，函数y =loga x 和y =(1－a ) x 的图像只可能是( )
解析 当a >1时，函数y =loga x 的图像只能在A 和B 中选，又a >1时，y =(1－a ) x 为减函数 B
1x
7． 设3=，则( )
7
（A ）-2
解析Q
19
17
13
2x
, \3
-2
-1
-1
A
8．已知函数y =e x 的图象与函数y =f (x )的图象关于直线y =x 对称，则( )
A ．f (2x )=e (x ∈R ) B ．f (2x )=ln 2 ln x (x >0) C ．f (2x )=2e (x ∈R ) D ．f (2x )=ln x +ln 2(x >0)
x
解：函数y =e x 的图象与函数y =f (x )的图象关于直线y =x 对称，所以f (x ) 是y =e x 的反函数，即f (x ) =ln x ，∴ f (2x )=ln 2x =ln x +ln 2(x >0) ，选D.
x
9. 函数f (x ) ＝a （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a =( ) 11(A) a =2 (B)a = (C) a =4 (D) a =
24
1
解析：由互为反函数关系知，f (x ) 过点(-1, 2) ，代入得：a -1=2⇒a =；故选择B .
2
x
10．把函数y =e 的图像按向量a =(2， 3) 平移，得到y =f (x ) 的图像，则f (x ) =（ C ）
A ．e
x -3
+2 B ．e
3
x +3
-2 C ．e
x -2
+3 D ．e
x +2
-3
11．若函数f (x ) =x (x ∈R ) ，则函数y =f (-x ) 在其定义域上是（ B ） A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数
12. 设P =log 23，Q =log 32，R =log 2(log32) ，则（ ） Ａ．R
Ｂ．P
Ｃ．Q
Ｄ．R
解析：P =log 23>1, 0
13. 已知0
a
m
a
n
(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m＜n ＜1 (D) n＜m ＜1 解析：由0
a
m
a
n n >1，故选择A.
0.2
1
⎛1⎫
14. 设a =log 13，b = ⎪，c =23，则（ A ）
⎝3⎭2
A ．a 15. 设α∈⎨-1, 1,
⎩
⎧1
⎫
, 3⎬，则使函数2⎭
y =x 的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为
a
（ A ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
16. 设a >1，函数f (x ) =lo g a x 在区间[a , 2a ]上的最大值与最小值之差为（ A ） A
．
B ．2 C
． D ．4
ln 2ln 3ln 5
, b =, c =17. 若a =, 则( C) 235
(A)a2
18. 设a ＞1, 且m =log a (a +1) ，n =log a (a -1) ，p =log a (2a ) , 则m , n , p 的大小关系为
12
，则a =
( B )
(A) n ＞m ＞p
(B) m ＞p ＞n (C) m ＞n ＞p
b
(D) p ＞m ＞n
c
⎛1⎫⎛1⎫
19．设a ，b ，c 均为正数，且2a =log 1a ， ⎪=log 1b ， ⎪=log 2c ．则( )
⎝2⎭⎝2⎭22
A. a 1a
解析: 因为a ，b ，c 均为正数，所以2>1⇒log 1a >1⇒a
22
1⎛1⎫
0
2⎝2⎭2
c ⎛1⎫
0
⎝2⎭
b
20. 在y =2, y =log
f (x 1+x 2
2
) >
x
2
x , y =x , y =cos 2x 这四个函数中，当0
2
f (x 1) +f (x 2)
恒成立的函数的个数是（ B ）
C ．2
D ．3
A ．0
2
B ．1
2
x
21. 函数f (x ) =cos x -3cos x +2的最小值为 ．（答案：0） 22．指数函数y =(a -1) 在R 上是减函数. 则实数a 的取值范围是
[--1]U .
2
23．若a >0，a 3=
49
，则log 1a =．3
4
24．函数y =a (
m x +
n -1y
=0(
1-x
a >，0
1m
a ≠1的) 图象恒过定点A ，若点A 在直线+1n
m >n 上，则0的最小值为
12007
25．设函数f 1(x ) =x 2，f 2(x ) =x -1，f 3(x ) =x 3，则f 1(f 2(f 3(2007)))=
26. f (x ) =-x 2+2ax +1-a 在[0，1]上有最大值2，则a 的值为． 解：f (x ) =-(x -a ) 2+a 2-a +1．
（1）当a
解得a =无解．
（3）当a >1时，f (x ) max =f (1)=2，得a =2． 综上：a =-1或a =2．
2[0，1]，故该方程在[0，1]上