数学应用精彩案例1

数学应用能力竞赛备选题

1 （名言的正确性）常言道： “三个臭皮匠，顶一个诸葛亮” ，这是对人多办法多，人 多智慧多的一种赞赏。试用概率论的方法并以数量形式来来说明这话的正确性．

解 不妨设 A i =第 i 个臭皮匠单独能解决问题 (i = 1, 2,3)  ，其概率为 { }

P A =0.45， P ( A ． 2 ) =0.55 ， P ( A 3 ) =0.6 1

再设 B = { 问题被解决 } ，则 ( )

P ( B ) =P ( A 1+A 2+A 3) =1-P A 1A 2A 3=1 - P A 1P A 2P A 3  ．

=1-0.55´0.45´0.4= 0.901 ．

本题结果表明，三个并不聪明的臭皮匠能解决问题的概率居然达到了90.1%，聪明的 诸葛亮也不过如此。

2 （新药效果问题）已知某地区人群患有某种病的概率为 0.20，某种新药对此种病有 防治作用．现有 15 人服用此药，结果都没有得病，根据这个结果能否作出结论“该种新药 有效”？

解 15 人服用此药，可看成是独立进行了 15 次试验．假定此药无效，则每人得病的概 率是 0.20，这时 15 人中得病的人数应服从参数为（15，0.20）的二项分布，所以“15 人都 不得病”的概率为 ) ) ) )

P (X =0) =C 15  0×0.20×0.815 » 0.035 .

这表明，在假定药无效的情况下，15 人都不得病的可能性只有 0.035，这个概率很小，在实 际情况下不大可能发生，而现在实际上发生了．这只能说明这个假定是错误的，即实际上可 以认为此药有效．

3 （分赌本问题）17 世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡（Blaisc Pascal， 1623—1662）提出一个分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注 50 法郎，每局无平 局。他们约定，谁先赢三局则得到全部 100 法郎。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中 止赌博，现问这 100法郎如何分配才算公平？

分析 第一种分法 1 1

2 2

2 1 第二种分法 甲得 100 法郎；乙得 100 法郎 3 3 甲得 100 法郎；乙得100 法郎

第一种分法仅以甲、乙两人的赌技相同为理由，平均分配赌本，没有考虑到甲已经比 乙多赢一局这个事实，显然对甲是不公平的。

第二种分法相比第一种分法不仅考虑到赌博已经发生的前提条件，而且考虑了已经进 行三局赌博的结果，当然更公平一些。但是，第二种分法还没有考虑在照顾现有结果的基础 上，如果赌局继续进行下去会出现怎样的结果，还是不够公平。

第三种分法。如果赌局继续进行，甲的最终所得X 有两个可能结果：0 或 100.再赌两 局就可结束，其结果不外乎以下四种情况：甲甲、乙甲、甲乙、乙乙（ “甲乙”表示第一局 甲胜，第二局乙胜）．因此甲的最终所得

的概率分布为

经过分析可知， 甲的 “期望” 收益所得应为 0´13 +100´= 75 法郎； 乙得25 法郎． 这 44

种方法既考虑到了已赌局数，又考虑了再赌下去的一种“期望” ，它比前两种分法更合理、 更科学．

4 (投资决策问题)某人有一笔资金，可投入两个项目：房地产和商业，其收益都与市 场状态有关． 若把未来市场分为好、 中、 差三个等级， 其发生的概率分别为0.2、 0.7、 0.1． 通 过调查发现，投资于房地产的收益X （万元）和投资于商业的收益Y （万元）的分布列分

请问该投资者如何投资为好？

解 随机变量X 和Y 的数学期望分别为

E ( X ) =11´0.2+3´0.7+( -3) ´0.1= 4.0 (万元)．

E ( Y ) =6´0.2+4´0.7+( -1) ´0.1= 3.9 (万元)．

从平均收益看，投资房地产收益大，比投资商业多得0.1 万元．

再从投资的风险性方面考虑，需研究它们的方差．

随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为 2 2

E ( X 2) =112´0.2+32 ´0.7+( -3) ´0.1= 31.4 , 2

E ( Y 2) =62´0.2+42 ´0.7+( -1) ´0.1= 18.5 . 2

随机变量X 和Y 的方差分别为

D ( X ) =

E ( X 2) -E 2( X ) =31.4-42 = 15.4 ,

D ( Y ) =E ( Y 2) -E 2( Y )

=18.5-3.9

2 = 3.29 .

并且有 ==== 1.81 ．

由于方差越大，收益的波动就越大，从而风险也越大．若综合权衡收益和风险，选择投

资房地产的平均收益比投资商业多了 0.1 万元，仅仅多 1/39,但风险却提高了一倍多，不划 算．因此从稳健投资的角度还是选择商业投资．

5（商品存储问题） 某商店某月销售一种易腐烂商品,每筐成本 20 元,售价 50 元．若 每天剩余一筐,则损失 20 元.现市场的需求情况不清楚,但有去年同月（该月为 30 天）的日 售量统计资料如下表所示：

试决定今年同月的日订货量.

解 根据日订货量的各种情况与对应的概率可计算出各种情况下的期望利润：

（1）若订货量为 100筐，则期望利润为

E (X 1 ) = 3000(元 )  ；

（2）若订货量为 110 筐，则期望利润为

E (X 2 ) =2800´0.2+3300´0.5+3300´0.2+3300´0.1= 3200(元 )  ；

E (X 3 ) = 3150(元 )  ；

E (X 4 ) = 3000(元 )  ．

比较各期望值可知,当订货量为 110 筐时,其期望利润为最大.因此,该商店每天应订货 110 筐.

2 6．某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为a (m ) 的宿

2 舍楼．已知土地的征用费为 2388 元/m ，且每层的建筑面积相同．土地的征用面积为第一层

2 的 2.5 倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/m ，以后每增高

2 一层，其建筑费用就增加 30 元/m ．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出

其最少费用（总费用为建筑费用和征地费用之和）．

答:当楼层为 20 层时，最少总费用为 1000a 元。

7. 某市发生一起凶杀案， 法医于晚8点20分赶到凶杀现场， 测得尸体温度为 32 . 6 o  C ． 一 小时后，当尸体被抬走时又测得尸体温度为 31 . 4 C ．室温在几小时内均保持在 21 . 1 C ．警 方经过周密的调查分析， 发现张某是此案的主要嫌疑人， 但张某声称自己无罪， 并有证人说： “下午张某一直在办公室，5 点钟时打了一个电话后离开了办公室” ．从办公室到凶杀现场 步行需要 5分钟，问张某是否能被排除在嫌疑人之外？

8．友谊商店每月可销售某种商品 2.4 万件，每件商品每月的库存费用为 4.8 元．商店 分批进货，每次订购费用为 3600 元. 如果销售是均匀的（即商品库存量为每批订购量的一 半），问每批订购多少件商品时，可使每月的订购费与库存费之和最少？这笔最少费用是多 少？

答：每批订购商品 6000件时，最少费用是 28800元。

9．李威同学利用业余时间在学院内的一家面包点兼职。经过一段时间统计，他发现某 种面包以每个 2 元的价格销售时，每天能卖出 500 个；价格每提高 1角，每天就少卖 10 个。 已知面包点每天的固定开销为40 元，每个面包的成本为 1.5 元。李威同学决定独自经营该 面包点。试问：李威如何确定面包的价格，才能使获得的利润最大？o  o

答：每个面包的价格为 4.25 元时，每天获得的最大利润为 716.25元。