15最新圆锥曲线选择题填空题解答题配详解

高考专题---圆锥曲线的方程详细解析

一．选择题

1． 已知直线

x y

+=1（a ，b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那a b

B ．66条

C ．72条

D ．78条

么这样的直线共有 A ．60条

解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x 2+y 2=100上的整数点共有12个，分别为(6, ±8), (-6, ±8), (8, ±6)，(-8, ±6), (±10,0), (0, ±10)，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，

2有8条；12个点中过任意两点，构成C 12=66条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条

过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，选A

2．已知平面区域D 由以A (1,3),B (5,2),C (3,1)为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(x , y ) 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =

A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4

解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－

1

，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时， m

线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，∴m ＝1，选C 3．若圆x +y -4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =

0的距离为则直线l 的倾斜角的 取值范围是 A.[

22

2

ππ

124,

] B.[

π5ππππ, ] C.[, ] D. [0,] 1212263

解：圆x

+y -4x -4y -10=0整为(x -2) 2+(y -2) 2=2，∴圆心坐标为(2，2) ，半径为32， 要求圆上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴

2

a a a a

() 2+4() +1≤0，∴

-2-() ≤-2+k =-() ，

b b b b ∴

22l 的倾斜角的取值范围是[

2

2

]，选B.

1212

π5π

4． 从圆x -2x +y -2y +1=0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为

A ．

13 B ． C

D ．0 252

2

解：圆x -2x +y -2y +1=0的圆心为M(1，1) ，半径为1，从外一点P (3,2) 向这个圆作两条切线，则点P 到

1

1=4，该圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为tan θ=

32

1-4

3

角的余弦值等于，选B.

5

2⋅

5．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 1千克，

b 2千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各c 1、c 2千克。要计划本

月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为

⎧a 1x +a 2y ≥c 1⎧a 1x +b 1y ≤c 1⎧a 1x +a 2y ≤c 1⎧a 1x +a 2y =c 1

⎪b x +b y ≥c ⎪a x +b y ≤c ⎪b x +b y ≤c ⎪b x +b y =c ⎪1⎪2⎪1⎪122222222

（A ）⎨ （B ）⎨ （C ）⎨ （D ）⎨

x ≥0x ≥0x ≥0x ≥0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ≥0y ≥0y ≥0y ≥0⎩⎩⎩⎩解：设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，

⎧a 1x +a 2y ≤c 1⎪b x +b y ≤c 122，选C. 用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为⎪⎨

x ≥0⎪⎪y ≥0⎩

⎧x ≥0

⎪y ≥0⎪

6. 在约束条件⎨下，当3≤x ≤5时，目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是

y +x ≤s ⎪⎪⎩y +2x ≤4

A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解：由⎨

⎧x +y =s ⎧x =4-s

交点为A (0, 2), B (4-s , 2s -4), C (0, s ), C '(0, 4) ， ⇒⎨

⎩y +2x =4⎩y =2s -4

（1）当3≤s

7. 由直线y=x+1上的一点向圆(x -3) 2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为

A.1

B.22

C. 7 D.3

解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离 为d=

|3-0+1|

2

=22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2-r 2=8-1=，选C.

8. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪 都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都 是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是

Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6

解：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256, 故至少三个龙头。由于2R

由于2R =12>:B.

9. 已知圆C 1：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为

2

2

（A ）(x +2) 2+(y -2) 2=1 （B ）(x -2) 2+(y +2) 2=1 （C ）(x +2) 2+(y +2) 2=1 （D ）(x -2) 2+(y -2) 2=1

⎧a -1b +1

--1=0⎪⎧a =2⎪22

解:设圆C 2的圆心为（a ，b ），则依题意，有⎨，解得：⎨，对称圆的半径不变为1，故

⎩b =-2⎪b -1=-1

⎪⎩a +1

选B 。.

⎧⎪x =θ,

0,2π))交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜10. 直线

x +D

的圆⎨(θ∈⎡⎣⎪⎩y =1+θ

角之和为

A.

7545

π B. π C. π D. π 6433

解:数形结合∠1=α-30, ∠2=30+π-β 由圆的性质可

知

∠1=∠2, ∴α-30 =30 +π-β, 故α+β=

4π 3

11. 动点A (x , y )在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t =0时，点A 的坐

标是(1，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 2B 、[1,7]

C 、[7,12]

D 、[0,1]和[7,12]

A 、[0,1]

解:画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则t =0时α=在[7,12]上α∈[

π

3

，每秒钟旋转

πππ，在t ∈[0,1]上α∈[, ]，632

3π7π

, ]，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的。 23

x 2y 2

12．已知双曲线2-2=1(a >0,b

a b

交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

x 2y 2o

解：双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一

a b

2

a 2+b 2b b 2c ≥4，∴ e≥2，个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e =2=

a a a a 2

选C.

13．设过点P (x , y ) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A , B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA 且OQ AB =1，则点P 的轨迹方程是

323

y =1(x >0, y >0) B ．3x 2-y 2=1(x >0, y >0) 22323222

C ．x -3y =1(x >0, y >0) D ．x +3y =1(x >0, y >0)

22

2A ．3x +

解：设P （x ，y ），则Q （－x ，y ），又设A （a ，0），B （0，b ），则a >0，b >0，于是

3

＝2PA 可得a ＝x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0， ，由BP BP ＝（x ，y －b ），PA ＝（a －x ，－y ）

2

3322

又AB ＝（－a ，b ）＝（－x ，3y ），由OQ •AB ＝1可得x +3y =1(x >0, y >0) ，故选D.

22

y 2

14．过双曲线M:x -2=1的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C, 且

b

2

|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是

y 2

解：过双曲线M :x -2=1的左顶点A (1，0) 作斜率为1的直线l ：y=x－1, 若l 与双曲线M 的两条渐近线

b

2

y 2

x -2=0分别相交于点B (x 1, y 1), C (x 2, y 2) , 联立方程组代入消元得(b 2-1) x 2+2x -1=0,

b

2

21⎧⎧

x +x =x =⎪⎪⎪121-b 2⎪14∴ ⎨，x 1+x2=2x1x 2，又|AB |=|BC |, 则B 为AC 中点，2x 1=1+x2，代入解得⎨，∴ b 2=9，双曲

11⎪x ⋅x =⎪x =-

1222

⎪⎪1-b ⎩2⎩

线M 的离心率

e=

c

=A. a

x 2y 2

1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和 15．P 是双曲线－＝

916

（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为

A. 6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B

16．直线y =2k 与曲线9k x +y =18k x (k ∈R , 且k ≠0) 的公共点的个数为

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解：将y =2k 代入9k x +y =18k x 得：9k x +4k =18k x ⇒9|x |-18x +4=0，显然该关于|x |的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个，故选择答案D 。 17． 抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是

A ．

2

2222

222222222

478

B ． C ． D ．3 355

2

|4m -3m -8|2

解：设抛物线y =-x 2上一点为(m，－m 2) ，该点到直线4x +3y -8=0的距离为，当m=时，

35

取得最小值为

4

，选A. 3

1x 2

-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m= 18．若双曲线

3m

（A ）

1

2

（B ）

3 2

（C ）

1 8

（D ）

9 8

11m +1x 2

=9，m =，选-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则离心率e=3，∴ 解：双曲线

38m m

C.

x 2y 29

+=1上三个不同的点， 19． 设A (x 1, y 1), B (4,), C (x 2, y 2) 是右焦点为F 的椭圆

5259

则“AF , BF , CF 成等差数列”是“x 1+x 2=8”的

（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要

4449，F （4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x 1，|BF|＝5－×4＝，|CF|＝55555

4449

－x 2，故AF , BF , CF 成等差数列⇔（5－x 1）＋（5－x 2）＝2×⇔x 1+x 2=8故选A 5555

解：a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝

x 2y 2

20. 设F 1，F 2分别是双曲线2-2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF1|=3|AF2|，

a b

则双曲线离心率为

(A)

2

(B)

2

(C)

2

(D)

x 2y 2

解:设F 1，F 2分别是双曲线2-2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF1|=3|AF2|，

a b

设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a =|AF =

离心率e =1|-|AF 2|=

2，2c =，选B 。 x 2r 2

21. 如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆

a b

心，以O F 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双 曲线的离心率为 （A ）

（B ）5

（C ）

2

（D ）1+

3

x 2r 2

解:如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以

a b

O F 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF1|=c，

|AF2|=3c ，∴

2a =1) c ，双曲线的离心率为1+3，选D 。

x 2y 2

22. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该

a b

椭圆离心率的取值范围是

Ａ． 0⎥

⎛⎝1⎤2⎦

Ｂ． 0⎛ ⎝ ⎦

Ｃ．⎢，1⎪

⎡1⎫

⎣2⎭

Ｄ．⎫

1⎪ ⎪⎣⎭

x 2y 2

解：椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，

a b

⎫a 2a 22

1⎪≤2c 若|MN |=2，|F 1F 2|=2c ，MN ≤2F ，则，该椭圆离心率e≥，取值范围是，选D 。 1F 2⎪c c 2⎣2⎭

x 2y 2

23. 设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P , 使

a b

线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是

A

． 0⎛

⎝ 2⎦

B

． 0

⎛⎝⎦

C

．⎫

1⎪ ⎪⎣2⎭

D

．⎫

1⎪ ⎪⎣⎭

a 2b 2y

解：由已知P (, y ) ，所以F 1P 的中点Q 的坐标为(, ) ，由

2c 2c k F 1P

cy cy b 422

=2, k QF 2=2, k F P ⋅k QF 2=-1, ⇒y =2b -

2. b b -2c 21c

∴y 2=(a 2-c 2)(3-

11) >0⇒(3-) >0,1>e >当k F 1P =0时，k QF 2不存在，此时F 2为中点

，e 2e 23

a 2-c =2c ⇒e =

≤e

0) ，方程 24. 设椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为e =，右焦点为F (c ，

2a b

ax 2+bx -c =0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)

Ａ．必在圆x +y =2内

2

2

Ｂ．必在圆x +y =2上

22

Ｃ．必在圆x 2+y 2=2外

Ｄ．以上三种情形都有可能

解：由e =

1c b 3c 1=得a=2c，b=c ，所以x 1+x 2==, x 1x 2==，所以点P (x 1，x 2) 到圆心（0，0）2a a 2a 2

2

的距离为x 1+x 2=

2

(x 1+x 2) 2-2x 1x 2=

37

+1=

x 2y 2

25. 双曲线C 1:2-2=1(a >0，b >0) 的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛

a b

物线C 2的准线为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则

A ．-1

B ．1

C ．-

F 1F 2MF 1

-

MF 1MF 2

等于

1 2

D ．

1 2

解：由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上, 故 由定义可得

⎧

⎪MF 1-MF 2=2a ⎪

⎨MF 2=MD ⎪

⎪MF 1=c MD

a ⎩

2ac

2ac 2a 2

, 故原式2c ⇒MF 1=, MF 2==c -a -c =-1，选A. =-c -a c -a 2ac 2a 2a a

c -a

c -a

x 2y 2

P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，26. 已知双曲线2-2=1(a >0，b >0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，

a b

PF 1PF 2=

4ab ，则双曲线的离心率是

Ｂ．

Ｃ．2

Ｄ．3

解：设准线与x 轴交于A 点. 在Rt ∆PF 1F 2中, PF 1⋅PF 2=F 1F 2⋅,

4ab 2ab 4a 2b 2a 2a 22

∴===(c -)(c +) , 化简得c 2=3a 2 , ∴e = 又 =F 1A ⋅F 2A ∴2

2c c c c c

故选答案B.

27. 已知以F 1（2,0），F 2

（2,0）为焦点的椭圆与直线x +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （A ）32

（B ）26

2

2

（C ）27 （D ）42

22

⎧⎪mx +ny =1

, 消

x 得： 解：设椭圆方程为mx +

ny =1(m ≠n >0). ⇒⎨

⎪⎩x ++4=0

(3m +n ) y 2++16m -1=0, ∆=0⇒3m +n =16mn , 即：

3111

+=16. 又c =2⇒-=±4. 联立解得n m m n

1⎧m =⎧m =1⎪⎪7⎪

或⎨1. 由焦点在x

轴上，故长轴长为 ⎨

1n =⎪n =⎪5⎩⎪3⎩

y 2

=1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|:|PF 2|=3:2，则△PF 1F 2的面积28. 设P 为双曲线x -12

2

为

A

． B ．12

C

．

D ．24

解：因为|PF 1|:|PF 2|=3:2，设|PF 1|=3x , |PF 2|=2x ，|PF 1|-|PF 2|=3x -2x =x =2a =2,

|PF 1|=6, |PF 2|=4, |F 1F 2|=2，(2) 2=52=62+42，△PF 1F 2为直角三角形，其面积

为

1

⨯6⨯4=12，选B. 2

29. 已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则AB 等于

（A ）3 （B ）4 （C

） （D

）⎧y =-x 2+3

⇒x 2+x +b -3=0⇒x 1+x 2=-1，进而可求出AB 的中解：设直线AB 的方程为y =x +b ，由⎨

⎩y =x +b

点M (-

1111

, -+b ) ，又由M (-, -+b ) 在直线x +y =0上可求出b =1，∴x 2+x -2=

0，由弦长公式可求出2222

AB ==

30. 已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于

A.3 B.4 C.32 D.42

⎧y =-x 2+3解：设直线AB 的方程为y =x +b ，由⎨⇒x 2+x +b -3=0⇒x 1+x 2=-1，进而可求出AB 的中

⎩y =x +b

点M (-

1111

, -+b ) ，又由M (-, -+b ) 在直线x +y =0上可求出b =1，∴x 2+x -2=

0，由弦长公式可求出2222

AB ==C ．

x 2y 2

31. 设双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于

a b

（A

（B ）2 （C

（D

解：设切点P (x 0, y 0) ，则切线的斜率为y

'

|x =x 0=2x 0. 由题意有

y 0

=2x 0又y 0=x 02+1, 解得: x 0

b x 02=1, ∴=2, e ==

a x 2

+y 2=1的右焦点为F , 右准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点 32. 已知椭圆C :2B ，若FA =3FB , 则|AF |=

(A)

(B) 2 (C)

(D) 3

2

. 又由椭3

解:过点B 作BM ⊥l 于M, 并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意FA =3FB , 故|BM |=

圆的第二定义,

得|BF |=

2⋅

=|AF |故选A. 233

x 2y 2

33. 过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为

a b B , C ．若AB =

1

BC ，则双曲线的离心率是 2

A

B

C

D

解:对于A (a ,0)，则直线方程为x +y -a =0，直线与两渐近线的交点为B ，C ，

⎛a 22a 2b 2a 2b ab ⎫ab ⎫a 2ab ⎛ab

，则有BC =(, -), AB =-, B , , C (, -) ⎪ ⎪，

2222

a -b a -b a +b a +b a +b a +b a -b a -b ⎝⎭⎝⎭

因2AB =BC , ∴4a 2=b 2, ∴e

34. 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0) 的焦点F, 且和y 轴交于点A, 若△OAF(O为坐标原点) 的面积为4, 则抛物线方程为

A. y =±4x B. y =±8x C. y =4x D. y =8x

2

解:抛物线y =ax (a ≠0) 的焦点F 坐标为(,0) , 则直线l 的方程为y =2(x -) , 它与y 轴的交点为A (0,-) ,

2

2

2

2

a 4a 4a 2

所以△OAF 的面积为

1a a

||⋅||=4, 解得a =±8. 所以抛物线方程为y 2=±8x , 故选B. 242

2

35. 已知直线y =k (x +2)(k >0) 与抛物线C:y =8x 相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若=2FB , 则k=

(A)

12222 (B) (C) (D) 3333

解:由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由FA =2FB 及第二定义知x A +2=2(x B +2) 联立方程用

根与系数关系可求

k=

。 3

x 2y 2x 2y 2

-=1的准线过椭圆+2=1的焦点，则直线y =kx +2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 36. 已知双曲线

224b

A. K ∈⎢-, ⎥ B. K ∈ -∞, -⎥222C. K ∈⎢⎡11⎤⎣⎦⎡⎣

⎛

⎝

1⎤⎦⎡1⎫, +∞⎪ ⎢

⎣2⎭

⎫+∞⎪⎪ ⎣⎭

⎛K ∈-∞,

D. ⎦⎝⎦

a 22x 2y 222222

解:易得准线方程是x =±=±=±1, 所以c =a -b =4-b =1 即b =3所以方程是+=1

b 243

联立y =kx +2 可得 3x 2+(4k2+16k)x +4=0 由∆≤0可解得A.

x 2y 2

-=1(b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y =x ，点P (, y 0) 在双曲37. 已知双曲线

2b 2

线上. 则PF 2＝ 1·

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

22

解:由渐近线方程为y =x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x -y =2，于是两焦点坐标分别是（－2，

0）和（2，0），且P (3, 1) 或P (, -1) . 不妨去P (3, 1) ，则PF 1=(-2-3, -1) ，

PF 2=(2-, -1) . ∴PF PF 2＝(-2-3, -1)(2-3, -1) =-(2+)(2-) +1=0 1·

38. 已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y =8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的

2

焦点，若|FA |=2|FB |，则k =

A.

1 B.

33

2

C.

2 D. 33

解：设抛物线C :y =8x 的准线为l :x =-2直线 y =k (x +2)(k >0)恒过定点P (-2,0) .如图过

A 、B 分 别作AM ⊥l 于M , BN ⊥l 于N , 由|FA |=2|FB |, 则|AM |=2|BN |, 点B 为AP 的中点. 连结OB , 则

|OB |=

1

|AF

|, ∴|OB |=|

BF |

点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为 2

∴k =

0故选D. =

1-(-2) 3

x 2y 2

39. 已知双曲线C 2-2=1

(a >0, b >0)的右焦点为F , 过F

a b

交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 则C 的离心率为A ．

6759 B. C. D. 5585

x 2y 2

解：设双曲线C 2-2=1的右准线为l , 过A 、B 分 别作AM ⊥l 于M , BN ⊥l 于N ,

a b BD ⊥AM 于D , 由直线AB

知直线AB 的倾斜角为60︒∴∠BAD =60︒,|AD |=

由双曲线的第二定义有|AM |-|BN |=|AD |=又

1

|AB |, 2

111

(|AF |-|FB |)=|AB |=(|AF |+|FB |). e 22

156

AF =4FB ∴⋅3|FB |=|FB |∴e =, 故选A.

e 25

40. “m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1”表示焦点在y 轴上的椭圆”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

x 2y 211+=1, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足>0, >0, 所以解:将方程mx +ny =1转化为 m n m n

2

2

11

>，故选C. n m

x 2y 22

1相切，则该双曲线的离心率等于 41. 设双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x ＋

a b

（A

（B ）2 （C

（D

bx x 2y 22

解:由题双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =，代入抛物线方程整得ax -bx +a =0，

a a b

22

因渐近线与抛物线相切，所以b -4a =0，即c =5a ⇔e =

2

2

5，故选择C 。

x 2

+y 2=1的右焦点为F, 右准线l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B 。若FA =3FB , 则AF =

42. 已知椭圆C :2

(A)

(B) 2

(C) (D) 3

2

. 又由椭圆3

解:过点B 作BM ⊥l 于M, 并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意FA =3FB , 故|BM |=

的第二定义,

得|BF |=

2

2

=|AF |=故选A. 233

43. 设抛物线y =2x的焦点为F ，过点M

0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比

S ∆BCF

= S ∆ACF

（A ）

4241

（B ） （C ） （D ） 5372

解:由题知

S ∆BCF S ∆ACF

1

BC =2x B +1，又|BF |=x +1=2⇒x =3⇒y =-3 ==B B B

12x A +122AC

x A +

2

x B +

0-2x A y M -y A y M -y B 0+3即，故x A =2， ==

3x M -x A x M -x B 3-x A

3-

2

由A 、B 、M 三点共线有

∴

S ∆BCF 2x B +13+14

===，故选择A 。

S ∆ACF 2x A +14+15

44. 已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是

A.2 B.3 C.

1137 D. 516

解:直线l 2:x =-1为抛物线y 2=4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1, 0) 的距离，故本题化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F (1, 0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1, 0) 到直线l 1:4x -3y +6=0的距离，即d min =

|4-0+6|

=2，故选择A 。

5

⎧⎪x ∈(-1,1]

45. 已知以T =

4为周期的函数f (x ) =⎨，其中m >0。若方程3f (x ) =x 恰有5个实数解，则m

⎪⎩1-x -2, x ∈(1,3]

的取值范围为

A

．8

) 33

B

． 3

2

C ．(, )

4833

D

．(

43

y 2

解:因为当x ∈(-1,1]时，将函数化为方程x +2=1(y ≥0) ，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在

m

坐标系中作出当x ∈(1,3]得图像，再根据周期性作出函数的图像，由图易知直线y =

2

其它部分

x

与第二个椭圆3

y 2

(x -4) +2=1(y ≥0) 相交，而与第三个半椭圆

m

x y 2y 22

(x -4) +2=1(y ≥0) 无公共点时，方程恰有5个实数解，将y =代入(x -4) +2=1(y ≥0) 得

3m m

2

(9m 2+1) x 2-72m 2x +135m 2=0, 令t =9m 2(t >0) 则(t +1) x 2-8tx +15t =0

由∆=(8t ) -4⨯15t (t +1) >0, 得t >15, 由9m >15, 且m >0得m >

2

2

x y 22

同样由y =与第二个椭圆(x -8) +2=1(y ≥0) 由∆

0可计算得m

3m

综上知m ∈. x 2y 246. 已知椭圆C :2+2=1(a ＞b ＞

0) 的离心率为，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0) 的直线与C 相交于A 、B 两

a b 点．若AF =3FB ，则k =

（A ）1 （B

（C

（D ）2

解:设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得

，

，

由

，

得

，

即k=，故选B.

47. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（A

（B

（C

（D

x 2y 2

解:选D. 不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：2-2=1(a >0, b >0) ，则一个焦点为F (c ,0), B (0,b ) , 一条

a b

b b b b

渐近线斜率为：，直线FB 的斜率为：-，∴⋅(-) =-1，∴b 2=ac

a c a c c 2-a 2-ac =

0，解得e =

c =a 48. 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离

心率为

(A)

(D) b x 2y 2

解:设双曲线方程为2-2=1(a >0, b >0) ，则F （c,0）,B(0,b).直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=x 垂直，

a a b

所以-

b b =-1，即b 2=ac, 所以c 2-a 2=ac, 即e 2

-e -1=0,所以e

=或e =（舍去） c a

x 2y 249. 已知椭圆C ：2+2=1（a>b>0

F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两

a b 点，若AF =3FB 。则k =

（A ）1 （B

（C

（D ）2 解:B ：A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，∵AF =3FB ，∴ y 1=-3y 2，

∵e =

，

设a =2t , c =2

t ，b =t ，

∴x 2+4y 2-4t 2=0，直线AB

方程为x =sy 。代入消去x

，∴(s 2+4) y 2+-t 2=0，

1t 2t 222

s =

∴y 1+y 2=-2，-2y 2=-2，解得，k =, y 1y 2=-2, -3y 2=-2

2s +4s +

4s +4s +4

x 2y 2

50. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平

a b

分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 （A

） ⎝⎛

⎛1⎤⎡1⎫

1,1 （D ）⎢,1⎪ （B ） 0, ⎥ （C ）

⎦⎝2⎦⎣2⎭

)

解:由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等

a 2b 2b 2

-c =,|PF |∈[a －c , a ＋c ],于是∈[a －c , a ＋c ],即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2. 而|FA |＝c c c

⎧c

≤1222⎪⎧ac -c ≤a -c ⎪⎪a ⎡1⎫

∴⎨2⇒, 又e ∈(0,1),故e ∈,1⎪ ⎨⎢22⎣2⎭⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1

⎪a 2⎩a

x 2y 2

+=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一 51. 若点O 和点F 分别为椭圆43

点，则OP FP 的最大值为

A ．2

B ．3 C ．6

D ．8

x 02y 02x 022

+=1, 解得y 0=3(1-) ， 解: 由题意，F （-1，0），设点P (x 0, y 0) ，则有434

因为FP =(x 0+1, y 0) ，OP =(x 0, y 0) ，所以OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +y 02

x 02x 02

) =+x 0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-2，因为-2≤x 0≤2，=OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +3(1-4422

+2+3=6，选C 。 所以当x 0=2时，OP ⋅FP 取得最大值4

022

P 6052. 已知F 、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则|PF F F F x -y =112121||PF 2|=

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2

解: cos ∠F 1P F 2=

2|PF 1||PF 2|

⇒cos60

PF (

=

1

-PF 2

)

2

+2PF 1PF 2-F 1F 2

2

2PF 1PF 2

12+2PF 1PF 2-⇒=22PF 1PF 2

2

(2

, |PF 1||PF

2|=4.

解析二: 由焦点三角形面积公式得：

S ∆F 1PF 2

60011, |PF =b cot =1cot ==PF 1PF 2sin 600=PF 1PF 1||PF 2|=4.

22222

θ

2

x 2y 2

53. 椭圆2+2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直

a b

平分线过点F

，则椭圆离心率的取值范围是 （A ）（0，

11] （B ）（0，]

（C ）1，1） （D ）[，1）

222

解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等. 而|FA |＝

a 2b 2b 2

-c =,|PF |∈[a －c , a ＋c ],于是∈[a －c , a ＋c ],即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2 c c c

⎧c

≤1⎪⎧ac -c ≤a -c ⎪a ⎪⎡1⎫

∴⎨2⇒, 又e ∈(0,1),故e ∈,1⎪ ⎨⎢

22⎣2⎭. ⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1

⎪a 2⎩a

2

2

2

54. 若直线y=x+b与曲线y =3

有公共点，则b 的取值范围是

A. ⎡-1,1+

B. ⎡1-+

C. ⎡1-⎤ D. ⎡1-⎤

⎣

⎣⎣⎦

⎣⎦

解：曲线方程可化简为(x -2) 2+(y -3) 2=4(1≤y ≤3) ，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y =x +b 与此半圆相切时须满足圆心（2

，3）到直线y=x+b距离等于

2，解得

b =1+b =1-

，因为是下半圆故可得b =1+

，当直线过（0，3）时，解得b=3,

故1-≤b ≤3, 所以C 正确.

x 22

55. 若点O 和点F (-2,0) 分别是双曲线2-y =1(a>0)的中心和左焦点, 点P 为双曲线右支上的任意一点, 则

OP ⋅FP

a

的取值范围为

A ．+∞

) B ．[3++∞) C ．[-

77

, +∞) D ．[, +∞) 44

x 2

-y 2=1，设点解：因为F (-2, 0) 是已知双曲线的左焦点，所以a +1=4，即a =3，所以双曲线方程为3

2

2

x 02x 0222

-y 0=1(x 0≥

，解得y 0=-1(x 0≥，因为FP =(x 0+2, y 0) ，OP =(x 0, y 0) ，所P (x 0, y

0) ，则有33x 024x 023

-1=+2x 0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-，

以OP ⋅FP =x 0(x 0+2) +y 0=x 0(x 0+2) +

433

2

因为x 0

，所以当x 0=时，OP ⋅

FP 取得最小值

4

⨯3+

1=3+，故OP ⋅

FP 的取值范围是3

[3++∞) ，选B 。 二. 填空题

⎧x +y ≤1．已知点P (x , y ) 的坐标满足条件⎪

4⎨y ≥x ，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于

⎪⎩

x ≥1____________.最大值等于____________.

解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA

＝B （1，3），OB

，C （1，1），OC

故|OP|

2．已知实数x 、y 满足⎨

⎧⎪y ≤1,

则⎪x +2y ⎩

y ≥x -1, 的最大值是____________.

解：已知实数x 、y 满足⎧⎪⎨y ≤1,

在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1) ，B(1，0) ，

⎪⎩

y ≥x -1, C(2，1) ，∴ x +2y 的最大值是4.

⎧x 3．已知⎪≥1,

⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2

的最小值是____________.

⎪⎩

2x -y -2≤0⎧x ≥解：由⎪1⎨x -y +1≤0，画出可行域，得交点A(1，2) ，B(3，4) ，则x 2+y 2

的最小值是5.

⎪⎩

2x -y -2≤04. 已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； (B) 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；

(C)对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切 （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是____________.（写出所有真命题的代号）

解：选（B ）（D ）圆心坐标为（－cos θ，sin θ），

d =

－－|sin（θ＋ϕ）|≤1.

5．（I ）过点（12）的直线l 将圆(x －2) 2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线l 的斜率k ＝____________.

解:由图形可知点

A 在圆(x -2) 2+y 2=4的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小, 只能是直线l ⊥OA ,

所以k l =-

1 ==

k OA 26．设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB

的长为则a =____________.

解：设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB

的长为(1，2) 到直线的距离等于1

=1，a =0．

⎧x +2y -3≤0

⎪

7．已知变量x ，y 满足约束条件⎨x +3y -3≥0。若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,0)处取得最大值，

⎪y -1≤0⎩

则a 的取值范围为____________.

解：画出可行域如图所示，其中B （3，0），C （1，1），D （0，1），若目标函数z =ax +y 取得最大 值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有3a >a ＋1且3a >1，解得a >

1

2

8. 已知两圆x 2+y 2=10和(x -1) 2+(y -3) 2=20相交于A , B 两点，则直线AB 的方程 ____________.

解:两圆方程作差得x +3y =0.

22

9. 与直线x +y -2=0和曲线x +y -12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________.

解：曲线化为(x -6) +(y -6) =18，其圆心到直线x +y -2=

0的距离为d =

22

=所求的最小圆

的圆心在直线y =

x (2,2).标准方程为

(x -2) 2+(y -2) 2=2。

10. 如图，A ，B 是直线l 上的两点，且AB =2A ，B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB

积S 的取值范围是 ．

解:如图，当

O 1与

O 2外切于点C 时，S 最大，此时，两圆半径为1，S 等于矩形ABO 2O 1的面积减去两扇形

面积，∴S max =2⨯1-2⨯⨯π⨯1) =2-

14

2

π

2

，随着圆半径的变化，C 可以向直线l 靠近，当C 到直线l 的距离

d →0时, S →0, ∴S ∈(0,2-]。

2

11. 设有一组圆C k :(x -k +1) 2+(y -3k ) 2=2k 4(k ∈N *) ．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．．其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）

2

π

解：圆心为（k-1，3k ）半径为2k ，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B 正确；由C 1、C 2、C 3的图像可知A 、C 不正确；若存在圆过原点（0，0），则有

(-k +1) 2+9k 2=2k 4⇒10k 2-2k +1=2k 4（k ∈N *)因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k

使上式成立，即所有圆不过原点。填B 、D.

12. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的 公共弦，AB =4．若OM =ON =3，则两圆圆心的距离MN =____________.

解：设E 为AB 的中点，则O ，E ，M ，N 四点共面，如图，∵AB =4，

所以OE =∴=，

由球的截面性质，有OM ⊥ME,ON ⊥NE ，∵OM =ON =3，所以∆MEO 与∆NEO 全等，所以MN 被OE 垂直

ME MO

=3

OE

13. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的 公共弦，AB =4，若OM =ON =3，则两圆圆心的距离MN =____________.

平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，MN=2

解：∵ON=3，球半径为4，∴小圆N

N 中弦长AB=4，于AB ，∴

ME =ONE 中， ∵

ON=3，∴ ∠EON =

作NE 垂直

π

6

，∴ ∠MON =

π

3

，∴ MN=3

x 2y 2

14．已知F 1，F 2为双曲线2-2=1(a >0，b >0且a ≠b ) 的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O

a b

为坐标原点．下面四个命题

1．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x =a 上； 2．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x =b 上； 3．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； 4．△PF 1F 2的内切圆必通过点(a ，0)． 其中真命题的代号是____________.（写出所有真命题的代号）．

解：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a ，故|F1M|－|F2M|＝2a ，而|F1M|＋|F2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故1、4正确。

x 2y 2

+=1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分

于15．如图，把椭圆

2516

F 是椭圆的一个焦点， P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，

PF +P 12F +P 3F +P 4F +P 5F +P 6F +P 7F =____________.

x 2y 2

+=1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于解：如图，把椭圆

2516

F 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知， P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，

2a ，又|P 4F 1|=a ， |PF 11|+|P 7F 1|=|PF 11|+|PF 12|=2a ，同其余两对的和也是

7a =35. ∴ PF +P +P 12F +PF 34F +P 5F +P 6F +P 7F =

x 2y 2

+=1 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知∆ABC 顶点A (-4,0) 和C (4,0)，顶点B 在椭圆

259

上，则

sin A +sin C

=____________.

sin B

sin A +sin C a +c 105

===.

sin B b 84

解：利用椭圆定义和正弦定 得 a +c =2⨯5=10,b=2*4=8,

2

2

17. 过双曲线x -y =4的右焦点F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于P 、Q 两点， 则|FP|⋅|FQ|的值为____________.

解：

F

k =tan1050=-

(2∴l :y =-(2x -代入x 2-y 2=4得

(6+x 2-+x +60+=0.

设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2). ⇒x 1+x 2=

x 1⋅x 2=

又|FP |=x 1-FQ |=x 2-

x =

-

253

∴|FP |⋅|FQ |=(1+k 2) |x 1x 2-x 1+x 2) +8|=(8+⋅|=

=+8|

x 2y 2

+=1上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 18. 设椭圆

2516

满足OM =

1

(OP +DF ) ，则|OM |=____________. 2

x 2y 2582242+=1左准线为，左焦点为（-3，0）) ，由已知M 为PF 中点，M （-, ±) ，解：椭圆，P （, ±25163333

所以|OM |=

2422(-) 2+(±) =2. 33

19. 若⊙O 1:x 2+y 2=5与⊙O 2:(x -m ) 2+y 2=20(m ∈R ) 相交于A 、B 两点，且两 圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是____________.

解: 由题知O 1(0, 0), O 2(m , 0) ，且5

m 2=(5) 2+(25) 2=25⇒m =±5，∴AB =2⋅

5⋅20

=4。 5

x 2y 2

20. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若椭圆上

a b

存在一点P 使

a c

，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. =

sin PF 1F 2sin PF 2F 1

PF 2PF 1a c

, 则由已知，得， ==

sin PF 1F 2sin PF 2F 1PF PF 1211

解:因为在∆PF 1F 2中，由正弦定得

即. 设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0则a (a +ex 0) =c (a -ex 0) 记x 0=

a (c -a ) a (e -1) a (e -1)

=>-a ，整得e 2+2e -1>0解

由椭圆的几何性质知:x 0>-a 则, 得

e (c -a ) e (e +1) e (e +1)

，故椭圆的离心率∈(0, 1) e ∈1,1)

e

-1e

c c 2a 2解法二: 由解析1知:PF 1=PF 2, PF 1+PF 2=2a 则PF 2+PF 2=2a 即PF 2=

a a c +a

2a 2

0, 所以e 2+2e -1>0, 以下同解析1. 由椭圆的几何性质知PF 2

c +a x 2y 2

21. 已知双曲aPF 1=cPF 2线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若双

a b

曲线上存在一点P 使

sin PF 1F 2a

=，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.

sin PF 2F 1c

PF 2PF 1a c

, 则由已知，得，即aPF 1=cPF 2，且知点P 在双曲线的==

sin PF 1F 2sin PF 2F 1PF PF 1211

解:在∆PF 1F 2中，∵

右支上，设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=ex 0-a 则a (a +ex 0) =c (ex 0-a ) , 解得x 0=

2

a (c +a ) a (e +1) a (e +1)

=>a ， 由双曲线的几何性质知x 0>a 则

e (c -a ) e (e -1) e (e -1)

整得e -2e -1

0, 解得1

e ∈(1, +∞) ，故椭圆的离心率e ∈(11) .

c c 2a 2

解法二: 由解析1知PF 1=PF 2, PF 1-PF 2=2a 则PF 2-PF 2=2a 即PF 2=

a a c -a

2a 2

>c -a , 既c 2-2ac -a 2c -a , 则c -a x 2y 2

+=1的焦点为F 1, F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|=_________； 22. 椭圆92

∠F 1PF 2的小大为____________.

解: ∵a 2=9, b 2=

3，∴c ==

F 1F 2=

又PF 1PF 2=1=4, PF 1+PF 2=2a =6，∴PF 2=

2，由余弦定，cos ∠F

︒︒

∴∠F 1PF 2=120，故应填2, 120.

2+4-2⨯2⨯4

22

(2

1

=-，

2

x 2y 2

23. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 1, A 2, B 1, B 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的四个

a b

顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点， 则该椭圆的离心率为____________.

解:直线A 1B 2的方程为：

x y x y +=1；直线B 1F 的方程为：+=1。二者联立解得： -a b c -b

2ac b (a +c ) x 2y 2ac b (a +c )

T (, ) , 则M (, ) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 上， a -c a -c a b a -c 2(a -c )

c 2(a +c ) 2222

+=1, c +10ac -3a =0, e +10e -3=0,

解得：e =5 22

(a -c ) 4(a -c )

24. 过抛物线y =2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则

2

p =_____________.

⎧y 2=2px

p p 2⎪2

解:由题意可知过焦点的直线方程为y =x -，联立有⎨⇒x -3px +=0，

p 24⎪y =x -

⎩2

又AB ==8⇒p =2。

x 2y 2

-=1的左焦点，A (1,4), P 是双曲线右支上的动点，则 25. 以知F 是双曲线

412

PF +PA 的最小值为____________.

21

解:注意到P 点在双曲线的两只之间, 且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a ＝4, 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5, 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A 、P 、F’三点共线时等号成立. 答案9.

x 2y 2

26. 已知F 1、F 2是椭圆C :2+2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1F 2的1⊥PF 2. 若∆PF

a b

面积为9，则b =____________.

⎧|PF 1|+|PF 2|=2a ⎪

解:依题意，有⎨|PF 1|∙|PF 2|=18, 可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。

⎪222⎩|PF 1|+|PF 2|=4c

27. 已知抛物线C :y 2=2px (p ＞0) 的准线为l ，过M

(1,0)l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM =MB ，则p =____________.

解：过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM =MB ，∴M 为中点，∴BM =∴BE =

10

AB ，

∠BAE =30，2

1

AB ，∴BM =BE ，∴M 为抛物线的焦点，∴p =2. 2

28. 已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB , 则弦AB 的中点到准线的距离为___________.

解：设BF=m,由抛物线的定义知AA 1=3m , BB 1=m , ∴∆ABC 中，AC=2m,AB=4m,k AB =3, 直线AB 方程为y =3(x -1) 与抛物线方程联立消y 得3x -10x +3=0, 所以AB 中点到准线距离为29. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于

2

x 1+x 258

+1=+1= 233

uu r uu r

点D ， 且BF =2FD ，则C 的离心率为 .

uu r uu r |OF ||BF |2

解：

∵|BF |==a , 作DD 1⊥y 轴于点D 1, 则由BF =2FD ，得==, 所以

|DD 1||BD |3

3c 33a 23c 3c 2

|DD 1|=|OF |=c , 即x D =, 由椭圆的第二定义得|FD |=e (-) =a -, 又|BF |=2|FD |, 得

222c 22a

3c 2a =

2a -, ⇒e =

a 3

x 2y 2

解析二:设椭圆方程为第一标准形式2+2=1，设D (x 2, y 2)，F 分 BD 所成的比为2，

a b 3y c -b 3⋅0-b 0+2x 2b +2y 233b 9c 21b 2x c =⇒x 2=x c =c ; y c =⇒y 2===-，代入+=

1⇒e =，1+2221+22224a 24b 22

x 0x 222

+y =1的两焦点为F 1, F 2, 点P (x 0, y 0) 满足0

|PF 1|+PF 2|的取值范围为___________，直线

x 0x

+y 0y =1与椭圆C 的公共点个数____________. 2

22

解：依题意知，点P 在椭圆内部. 画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时(|PF 1|+|PF 2|)max =2 ，当P 在椭

x 2

圆顶点处时，取到(|PF 1|+

|PF 2|)max 为1) +，故范围为

[. 因为(x 0, y 0) 在椭圆+y 2=1的内

2

x ⋅x 0

+y ⋅y 0=1上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个. 部，则直线2

23