晶体中的电子波

晶体中的电子波——能带和Brillouin 区

2010-05-29 11:25:45| 分类： 微电子物理 | 标签： |字号大中小 订阅

（晶体中只能存在哪些电子波？晶体电子的能量为什么出现禁带？

什么是等能面和Fermi 面？什么是Brillouin 区？）

因为晶体电子处于周期性势场中，所以其状态很复杂：波函数具有Bloch 函数的形式，能量具有能带的形式。这里就从近自由电子概念出发来说明一下晶体电子的运动状态以及能带和禁带的产生原理。

（1）电子波的干涉：

为了简单，假定晶体电子是完全自由的（如金属电子），则其波函数是行波——平面波：

ψk (x,t) = A exp(jkx)·exp(-jωt) = A exp[j(kx-ωt)]

式中的波矢k=2π/λ，ω=E/?，E=(?k)2/2m*；并不是所有的行波都能够在晶体中传播，只有波长λ（或者波矢k ）满足晶体边界条件（例如周期性边界条件）的那些电子波才能存在于晶体中（数目有限，k 起着晶体电子的量子数的作用中）。

但是在晶体中传播的行波，不管是电子波还是光波，都将会受到晶面的反射，而且在一定的条件下，入射波和反射波还有可能产生干涉。

见图1，对于沿着x 方向传播的一个电子波：

ψk (x) = A exp(jkx)

在每一个原子处将受到反射；若反射波A ’、B ’和C ’之间的波程差是n λ（n=1,2,3,4,…），则它们将相互加强，并产生一个沿着相反方向传播的全反射波。对于反射波A ’和B ’，波B ’比波A ’多传播了2a 的距离，则其间的波程差为2a ，因此A ’和B ’相互加强的条件是：

2a = nλ，即k = nπ/a

于是，每一个满足该条件的波长λ（或波矢k ）的电子波，被各个原子面（晶面间距为a ）所产生的反射波都将相互加强、而产生一个反向传播的全反射波ψ-k (x)：

ψ-k (x) = A exp(-jkx)

这个全反射波也将要受到各个原子面的反射、并加强，从而，这种电子波的不断反射，即造成在晶体中只存在两种分别是向前和向后传播的行波形式的电子波，并且这两种传播方向相反的电子波又相互干涉，最后就形成了两种不能在晶体中传播的驻波——稳定状态：

ψc (x) = A exp(jkx) + A exp(-jkx) = Ac cos(nπx/a)

ψs (x) = A exp(jkx)-A exp(-jkx) = As sin(nπx/a)

显然，这两个驻波都是晶体Schr?dinger 方程的解。

总之，波矢为k=nπ/a的电子波因为要受到晶面反射而形成驻波，则不能在晶体中传播；只有那些k ≠n π/a的电子，作为行波而不会受到反射，才能在晶体中传播。

值得注意，在晶体中k=nπ/a的电子波——两个驻波所表征的电子状态的能量将有所不同。见图2，ψc (x)状态的几率密度|ψc (x)|2的分布在原子实处为最大值，而ψs (x)状态的几率密度|ψs (x)|2的分布在原子实之间处为最大值。因为电子的静电势能与离原子实的距离r 成反比（-q 2/4πεo r ），即电子越靠近原子实，静电势能就越低，所以在原子实处几率密度最大的状态（ψc (x)状态）即对应于静电势能E c 较低的状态，而在原子实处几率密度最小的状态（ψs (x)状态）即对应于静电势能E s 较高的状态，即有E s >Ec 。这就是说，对于k = nπ/a的电子，具有高低不同的两个可能的能量值，在其间没有允许的能量，即晶体电子的能量在k = nπ/a处发生了分裂，亦即产生了能隙——禁带。

（2）能隙宽度：

晶体电子的禁带宽度也就是E s 与E c 的能量差，即E g =Es -E c 。

若V(x)是晶体电子在x 处的静电势能，则ψc (x)状态和ψs (x)状态的电子势能分别为V c 和V s ：

V c = (1/L)∫V(x) |ψc (x)|2 dx =-V n （积分限：0~L）

V s = (1/L)∫V(x) |ψs (x)|2 dx = +Vn （积分限：0~L）

于是，ψc (x)状态和ψs (x)状态在k=nπ/a时的能量为：

E s = (?k)2/2m* + Vn

E c = (?k)2/2m*-V n

从而禁带宽度为：

E g =Es -E c = 2 Vn

（3）能带图：

在近自由电子近似下，晶体中k ≠n π/a的电子波能够传播，即电子可自由运动，这时电子能量与波矢k 的关系是抛物线。而对于k=nπ/a的电子，能量不连续，即偏离了抛物线；不过实际上是在k=nπ/a附近就已经偏离了抛物线。所以，在k 空间中描绘出E ～k 关系，即为图3所示，这就是常见的能带图。价电子所处的较高能量的能带称为价带。

对于半导体，在0K 时价带是填满了的，故有时也称为满带；比价带更高的能带即称为导带；导带与价带之间的能隙称为禁带，所谓禁带宽度（E g ）也就是导带底（E c ）与价带顶（E v ）之间的能量差，即E g = Ec -E v 。

对于金属，价带与导带相互重叠，即禁带宽度为0。这时能量最高的能带是不满带，则其中的电子能够导电，故金属是导体。在0K 时，Fermi 能级以下所有状态都被价电子填满，Fermi 能级以上的能级则空着；在k 空间中，具有Fermi 能级能量的等能面称为Fermi 面。如果电子完全是自由的，则等能面为球面（因为E = (?k)2/2m*∝k 2）；否则将偏离球面。

（4）Brillouin 区概念：

对于图3所示的一维晶体的能带图，在波矢k=-π/a～π/a之间的电子波是能够在晶体中传播的；在k=-2π/a～-π/a和π/a～2π/a之间的电子波也是能够在晶体中传播的；……。这些能够传播的电子波的波矢在k 空间中的范围就是Brillouin 区。k=-π/a～π/a区域就是第一Brillouin 区；k=-2π/a～-π/a和π/a～2π/a区域就是第一Brillouin 区；……。

实际上，Brillouin 区也就是表征晶体电子状态的k 空间中一个区域，因为k 的取值是分立的（每一个状态占据一定的k 空间体积，即[∆k x ×∆k y ×∆k z ]，由测不准关系决定），而且k 的个数有限，只要一个Brillouin 区中的所有k ，即可代表所有电子的状态。因此，一个能带也就对应于一个Brillouin 区。

在一个Brillouin 区中，低能量的电子处于Brillouin 区中心附近，高能量的则处于Brillouin 区边缘附近。而Brillouin 区中心附近即相应于能带底附近，这里电子的E ～k 关系近似为抛物线，则等能面为球面，在二维k 空间中即为圆形，如图4所示；但由于Brillouin 区边缘附近相应于能带顶附近，这时电子的E ～k 关系偏离了抛物线（能量有所降低），因此等能面也不再是球面，如图4所示。这就是说，在Brillouin 区中心附近的电子可看成是自由电子，而在Brillouin 区边缘附近的电子则否。