必修二垂直证明常见模型及方法
垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；
基础篇
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）
1 等腰（等边）三角形中的中线 ○
2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○
4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。 ○
例：在正方体ABCD -A ⊥OE 1BC 11D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1, 求证：AO 1
（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC ⊥BD
变式1 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面A B C D 是矩形，已知
AB =3, AD =2, PA =2, PD =2, ∠PAB =60 ．
证明：AD ⊥PB ；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E
是AB 的中点，点F 是
BC 的中点，将△AED, △DCF 分别沿DE , DF 折起，使A , C 两
点重合于A . 求证:A D ⊥EF ；
'
A '
'
E
B
变式3如图，在三棱锥P -ABC 中，⊿PAB 是等边三角形，∠
P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC
类型二：线面垂直证明
方法○1 利用线面垂直的判断定理
例2：在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1, 求证：
AO ⊥平面BDE 1
变式1：在正方体ABCD -A ⊥平面BDC 1 1BC 11D 1中，, 求证：AC 1变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒. E
为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE =3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；
E C
AD ∥BC ，∠ABC =90°，PA ⊥平面ABCD ．PA =3，AD =2，AB =，BC =6
类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
E
例2 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面A B C D ，
AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的
中点．
（1）证明CD ⊥AE ； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
A B
D
变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，
∠ABC =60︒，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC=2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；
举一反三
1. 设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①
a ⊥M ⎫a ⊥M ⎫a //M ⎫a //b ⎫
② ③b ∥M ④⇒a //b ⇒⇒b ⊥M ⎬⎬⎬⇒b ⊥M . ⎬
b ⊥M ⎭a ⊥b ⎭a ⊥b ⎭a ⊥M ⎭
其中正确的命题是 ( )
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 2. 下列命题中正确的是 ( )
A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点. 现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P . 那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )
A. DP ⊥平面PEF B. DM ⊥平面PEF C. PM ⊥平面DEF D. PF ⊥平面DEF 4. 设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A. 过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B. 过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C. 过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D. 过a 一定可以作一个平面与b 平行
5. 如果直线l , m 与平面α, β, γ满足:l =β∩γ, l ∥α, m ⊂α和m ⊥γ, 那么必有 ( ) A. α⊥γ且l ⊥m B. α⊥γ且m ∥β C. m ∥β且l ⊥m D. α∥β且α⊥γ
6. AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )
A.1 B.2 C.
253 D. 55
7. 有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8. d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A. α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合 B. α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合 C. α与β必相交且交线m 与d 一定不平行 D. α与β不一定相交
9. 设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题
① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则
m ⊥α，
其中真命题的序号是 ( ) ．．．
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 10. 已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.
其中正确的命题是 ( )
A. ③与④ B. ①与③ C. ②与④ D. ①与②
二、思维激活
11. 如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C
′的面积是
.
第11题图
第12题图
第13题图
12. 如图所示, 在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中, 当底面四边形ABCD 满足条件 时, 有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形)
13. 如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)
三、能力提高
14. 如图所示, 三棱锥V -ABC 中, AH ⊥侧面VBC , 且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.
(1)求证:VC ⊥AB ;
(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°, 求VC 与平面ABC 所成角的大小.
15. 如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.
(1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD .
(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .
16. 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝，PD ＝.
(1)求证：BD ⊥平面P AD .
(2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小.
第16题图
17. 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°, ∠BAC =30°, BC =1，AA 1=6，M 是CC 1
的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．
18. 如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P .
(1)求证：NP ⊥平面ABCD .
(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角. (3)求点C 到平面D ′MB 的距离.
第18题图
线面垂直习题解答
1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.
2.C 由线面垂直的性质定理可知.
3.A 折后DP ⊥PE , DP ⊥PF ，PE ⊥PF .
4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b , 则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.
5.A 依题意, m ⊥γ且m ⊂α, 则必有α⊥γ, 又因为l =β∩γ则有l ⊂γ, 而m ⊥γ则l ⊥m , 故选A.
6.D 过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =
AC 2+BC 2=5，
CD =
AC ⋅BC 2
=， AB 43=. 55
∴PD =PC 2+CD 2=+
7.D 由定理及性质知三个命题均正确.
8.A 显然α与β不平行.
9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.
10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m
cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . 2
２
∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB =a 2+4， 又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2．
11.
323⋅a =cm 2． 42
12. 在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等) 时, 有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形).
S △A ′B ′C ′=
点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一, 要求思维应灵活.
13. VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE , 又AH ⊥平面VBC ,
∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影, ∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB , VC ⊥BE ,
∴VC ⊥平面ABE , 在平面ABE 上, 作ED ⊥AB , 又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC .
∴AB ⊥CD , ∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角， ∴∠EDC =30°, ∵AB ⊥平面VCD ,
∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .
∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角, 又VC ⊥AB , VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE , ∴VC ⊥DE ,
∴∠CED =90°, 故∠ECD=60°,
∴VC 与面ABC 所成角为60°.
15. 证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ， 则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝
11
CD ＝AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. 22
∴MN ∥AE .
∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB .
又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .
(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.
∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD . 又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD .
16. 如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×1
2
＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，
∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，
即AD ⊥BD . 在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝，BD ＝，∴PB 2
＝PD 2
+BD 2
，故得PD ⊥BD . 又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD .
(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD . 作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角. ∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝⨯32=32
. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝，在Rt △PEF 中，
3
tan ∠PFE ＝PE EF =2=
4
. 故二面角P —BC —A 的大小为arctan
3
4
. 第15题图解
第16题图解
17. 连结AC 1，∵
AC
=MC 1
62
=2=
CC 1
. C 1A 1
∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1， ∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，
∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1, 又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .
点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而
AC 1⊥A 1M 一定会成立．
18.(1)证明：在正方形ABCD 中， ∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝
1
BC ， 2
∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD .
(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，
∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知 ∠MCD ＝arctan
1
，即为所求二面角的大小. 2
a 262
a ，设所(3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝，等腰△MBD ′面积S 2＝
24
求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.
∵三棱锥D ′—BCM 体积为S 1⋅D D '=∴h =
131
S 2h ， 3
S 1⋅a 6
=a . S 23