全反射现象的简析

全反射现象的简析

董歌子

物理与电子信息学院 物理学专业 学号：070514052

指导老师：马宝红

摘 要：全反射情形下,入射波将反射回原媒质中。但由电磁场理论,入射波并不是简单地全部返回原媒质,而是要在第二种媒质中存在---折射波。正是这个折射波的存在,反射波的相位和偏振态呈现其特性。在系统分析全反射现象的物理本质的基础上，对全反射情形下电磁波的行进、能量的分配、反射波的相位变化及相应的特点进行了研究，并将结果应用在介质平板波导的导引模推导中。

关键词：全反射；反射波；折射波；相位；导引模

Introduction refraction-such phenomenon

Dong Ge-zi

College of Physics and Electronic Information Physics No: 070514052

Tutor: Ma Bao-hong

Abstract: Under the circumstances of the total reflection, the reflection wave will be reflected back to the original medium. However, due to the electromagnetic field theory, the reflection wave is not simply full return to the original medium, but exists in the second medium- the refraction wave. It is just the existence of the refraction wave that the reflection wave phase and polarization present specific property. On the basis of the physical nature of the total refraction phenomenon is systematically analyzed, meanwhile, the traveling of electromagnetic wave 、distribution of the energy and the phase changing of the reflection wave are also studied under the circumstances of the total reflection . The results of the paper can be applied in the guidance made of the mold plate waveguide.

Key words: total reflection; reflection wave; refraction wave; the phase; guidance mode

目 录

摘要 ..................................................................... 1 1 引言 ................................................................... 3 2 全反射简述 ............................................................. 3 2.1 全反射现象 ........................................................... 3 2.2 全反射的物理本质 ..................................................... 4 3 全反射情形下的电磁波能量 ............................................... 6 3.1 全反射的菲涅耳公式表达 ............................................... 6 3.2 全反射的能流 ......................................................... 7 4 全反射的波动分析 ....................................................... 8 4.1 反射波的特性 ......................................................... 8 4.2 折射波的特性 ........................................................ 10 5 总结 .................................................................. 11 参考文献 ................................................................ 11

1 引言

对于全反射，即光波从光密媒介n1射到光疏媒介n2，若入射角大于临界角，入射光全被反射回光密媒介，这种情形叫全反射。现行的高等学校光学教材都对此问题有过论述，由于编写教材的需要，对全反射现象没有进行系统而全面的阐述，如北京大学赵凯华教授和钟华教授所著的《光学》，华东师范大学姚启钧教授所著的《光学教程》, 浙江大学梁铨教授所著《物理光学》等1。在现代光学的研究中，全反射现象已经被广泛地应用于电磁波波导的探究中，在光学分支纤维光学和集成光学中也利用全反射来传导光能2。因此，对全反射情形下的电磁波研究也是非常重要的。本文将从同学们在学习教材过程中，对全反射现象学习不能满足同学们的要求着手，对全反射现象进行比较全面的系统的认识，并就全反射在电磁波波导中的传播进行一些简要的探究。

2 全反射

2.1 全反射现象

如图1,电磁波射到两种各向同性媒质的交界面上时,会发生反射和折射现象。

入射面为xz，交界面为xy,Es、Es 和Es的正向沿着y轴的正向

图 1 电磁波传播示意图

'

'

''

设入射波为单色平面波,记为:

EE0sE0pexpjkr (2.1.1)

'"入射面为xz，交界面为xy，ES、ES 和ES的正向沿着y轴的正向。由电磁场理论，

如果分界面是无限大的平面，反射波和折射波的电场也应是同一频率的单色平面波[3]

E'E'0sE'0pexpjk'r (2.1.2)

E''E''0sE''0pexpjk''r (2.1.3)



式(2.1.1)、(2.1.2)、(2.1.3)中k、k′和k″分别是入射波、反射波和折射波的传播矢量。

根据电磁场的边界条件可得反射和折射定律，反射角满足：

' (2.1.4)

折射角θ″满足:

sink''v1n2

 (2.1.5) kv2n1sin''

进而确定k′和k″的方向和大小。

当n2n1，令nn1

2

1，则(2.1.5)式可写成nsinsin''，'',存在一个临

1

界入射角carcsin，对应着 ''，当c时，sin''nsin1，''无实数解,

2n

发生全反射现象[1-8]。 2.2 全反射的物理本质

假设平面光波EAexpikr沿着入射面xoz投射到折射率分别为n1和n2

的两媒介的分界面xoy上，其中n1n2，入射角、反射角、折射角分别为α、β、γ，入射波、反射波、折射波的波矢分别为k1、k2 、k3。如图2所示

图2 电磁波在界面上的传播示意图

将E 分解为垂直于入射面的分量Es和平行于入射面的分量E1p、E1s的正向沿着y方向, Ep的正向如图2中所示，设入射波振幅的P、S分量分别为Ap、As,反射波的为Rp、Rs,透射波（折射波）的为Tp、Ts，则其相应表达式为[4]:

E1PApexpi(k1xcosk1sinzwt)

入射波:  (2.2.1)

E

1SAsexpi(k1xcosk1sinzwt)

E/1PRpexpi(k2xsinxk2sinzwt)

反射波:  (2.2.2) 

E/1SRexpi(kxsinxkcoszwt)

s22

E2PTpexpi(k3xsinxk3coszwt)



折射波:  (2.2.3)

E2STexpi(k3xsinxk3coszwt)

s

在均匀的各向同性非铁磁性介质中,反射比定义为:

J反R

 

J入A

透射比定义为：

2

(2.2.4)

J透n2cosT  (2.2.5) 2J入n1cosA

设入射光振动矢量E与入射面夹角为，入射光振幅为R，透射光振幅为T，则：

22

APAcos AsAsin AASAP

2

RRS2RP2 TS2TP2 (2.2.6)

将(2.2.6)代入(2.2.4)，得反射比为[5]：

R

A

2

RP2RS2



A2

2

2

RPRs22cossinAPAs

22

PcosSsin

(2.2.7)

同理，将(2.2.6)代入(2.2.5)，得透射比为：



n2cosTn1cosA

22



n2cosTP

2

TS

2

2

n1cosA



Pcos2Ssin2 (2.2.8)

又据菲涅尔公式：

RP RS

TP

tanAP tansinAS sin2sincos

AP

sincos TS

2sincos

AS (2.2.9)

sin对于自然光，其振动可视为两个互相垂直的分量P、S组成，而在一个周期内[5]，

sin2





sin2d





1

 cos22





cos2d





1

(2.2.10) 2

而自然光的随时间无规则迅速变化，其振动是在较长时间内（光学仪器响应时间内）的平均值，故可将(2.2.10)代入(2.2.9)，并考虑到满足临界角时iC,90，则



得：1,0.此即全反射现象的物理本质。

3 全反射情形下的电磁波能量

3.1 全反射的菲涅尔公式表达

在全反射情形下只要考虑式cosθ″= - jn2sin21，菲涅耳公式也成立，并可整理为:

E/0sncoscos//

E0Sncoscos//



ncosjncosj

nsin1n2sin21

2

2

(3.1.1)

E/0pcos



cos E0p

cos

cos

ncos//ncos//jnjn

nsin1

2

2

(3.1.2)

n2sin21

化简(3.1.1)、(3.1.2)两式得:

E

/0s

E0Sej

/

/

s

(3.1.3) (3.1.4)

E/0pE0pej

其中:

p

sin/s

tan

21cos/s

/s

n2sin21

(3.1.5)

ncos

nn2sin21

(3.1.6) tan

2cos

/p

3.2 全反射的能流

由电磁波理论,入射到两种媒质分界面单位面积上的电磁波平均能流密度:

s

12

n1E02cos0

如果不考虑吸收、散射等其它形式的能量损耗，则由(2.1.4)、(3.1.3)和(3.1.4)式从分界面单位面积上反射的平均能流密度:

s/



1212

n1E/02cos/0

n1(E/0s2E/0p2)cos/ (3.2.1) 0

s

即入射到分界面上的平均能流全部反射回媒质1中。

根据平面电磁场的磁场关系 : B对于图2所示情形的折射波，将

nE （3.2.2）

E2PTPexp(k3fz)expi(k3n12sinxwt) E2STSexp(k3fz)expi(k3n12sinxwt)

代入（3.2.2），有：

BE2Sf

iEjE2ssink （3.2.3）

2

2

2

2

2P

2

2

相应的磁场分量为：

2fE2SHyHXE

22p

2n12sinE2S （3.2.4） Hz由（3.2.4）可见，E2p和Hy同向，ES与HZ同相，而E2S则与HX反相。

根据平均能流密度公式[8]： S1ReEH （3.2.5）

2

将（3.2.4）代入（3.2.5），则得：

S

X



1

ReE2PHZ(E2Psin)HY2

1

Re(E2Psin)HXHX(E2Pcos)2

SYSZ

1

ReHY(E2Pcos)HXE2S (3.2.6) 2

又将(3.1.1)及(3.2.4)代入(3.2.6)中,则得: S

X



12

nsinT2

12

2

2

exp(2k3fz)

Sy0，Sz0 (3.2.7) 上式说明了全反射时, 在第二媒质的传播过程中, x方向的平均能流呈指数衰减,y、z方向平均能流为0。 因而,在第二媒质中的传播可近似认为没有能量损失。

4 全反射的波动分析

4.1 反射波的特性

由(3.1.3)、(3.1.4)式E0'S、E0'P分别超前E0S、E0P,即反射波的两偏振态相位有跃变。

根据E0'S、E0'P相位跃变的结果,作为例子推导对称介质平板波导的导引模式,从而说明在全反射条件下不是任意入射角的波都能在波导中传播的。图3为一厚度为d的介质平板的波导截面,由几何光学入射线上A、B两点应分别与反射线上C、D两点同相,考虑到C、D两点发生的两次全反射所引起的不同偏振态的相位跃变,可推导导引模的本征值方程。

图 3 平板波导内波的传播

(1)TE模

根据A、B两点分别与C、D两点同相,可得波程差满足:

n1(CDAB)2/2N (4.1.1)

其中N为整数。由图3,并把(3.1.5)式代入(4.1.1)式:



dd n(dtan)sink4arctantan



1

n2sin21

2N

ncos

两边取正切,并整理得偶TE模的本征值方程[6]

n1kdcos

tan

2

n2sin21

(4.1.2)

ncos

奇TE模的本征值方程

n1kdcos

cos

2

n2sin21

(4.1.3)

ncos

(2)TM模

同理将(3.1.6)式代入(4.1.1)式可得偶奇TM模的本征值方程分别如下[7]:

n1kdcosnn2sin21

tan (4.1.4) 

2cos

n1kdcosnn2sin21

 cos (4.1.5) 2cos(4.1.2)–(4.1.5)式分别给出了求解导引模的本征值方程,它们均是超越方程。解之可得有限个θ值满足方程,即存在有限个波传播方向的导引模。这与求解电磁场方程所得结果是一样的,但此处却要直观、简便得多。

由(3.1.3)、(3.1.4)式E0'S、E0'P分别超前E0S、E0P,但两者的相变不同,即 tan

/P/S

2cosn2sin21 (4.1.6)

nsin2

'

显然,只有n2sin21(入射角等于临界角)和θ=π/2时, P=S',这时若入射波为线

偏振波,反射波的线偏振性将被保持;当入射角大于临界角,且满足(4.1.2)–(4.1.5)式给出的导引模式时,这时由于反射波的两个垂直偏振有一定的相位差,它们将缓慢地相互脱离同步状态而变成椭圆偏振波。在多模波导中,所有模式的偏振变化都将使图像更为复杂。

4.2 折射波的特性

上面我们探讨了全反射时反射波的特性，如果想要进一步了解全反射，就应该了解全反射时折射波的特性。为此，下面来讨论发生全反射时的折射波特性。由式

EtE0e

t

jk2(xcostycostzcos

t

)

知，折射波可以表示为

EtE0e

又知

t

jk2(xsintzcost)

sint

1

sini 2

2

cost1sin2i

代入上式，得

t

EE0e

t

jk2x

1

sini2

e

jk2z

1

1

sin2i2

(4.2.1)

可见，当ic时，因

1

sin2isin2i/sin2c1，所以式(4.2.1)中第二个指数应取2

z

方向，即

[9]

负指数，以保证折射波的传播方向偏向正

EtE0e

t

jk2x

1

sini2

e

jk2z1

1

sin2i2

(4.2.2)

当ic时，

1

sin2i1，式(4.1.1)中第二个指数为1，则折射波为[9] 2

t

jk2x

t

EE0e

1

sini2

E0ejk2x (4.2.3)

t

t2，可见，折射波为沿着正x方向传播的波，这一结果也是预料之中，因ic时，所以折射波的传播方向为正x方向。

当ic时，

1

sin2i1，式(4.2.1) 中第二个指数中的根号因子为虚数，即 2

1sin2ij1sin2i1 22

代入式(4.2.1) 中，得

EtE0etjk2x1sini2ek2z1sin2i12

显然，式中第二个指数应取负指数，否则当z时，Et。因此，当入射角ic时，折射波为 EE0ettk2z1sin2i12ejk2x1sini2 (4.2.4) 此式表明，折射波沿正x方向传播，但其振幅沿正z方向按指数规律衰减，因此，折射波是向正x方向传播的非均匀平面波。

由于此时能量主要集中在边界表面附近，这种非均匀平面波称为表面波。由式(4.2.4) 可见，比值12愈大或入射角i愈大，振幅沿正z方向衰减愈快。有一种光导

纤维即是由两种介电常数不同的介质层形成的，其内部芯线的介电常数大于外层介电常数。当光束以大于临界角的入射角度自芯线内部向边界投射时，即可发生全反射，光波局限在芯线内部传播，因此，必须加装金属外壳给予电磁屏蔽，这就形成光缆。

上述结果表明，即使发生全反射时，折射波仍然存在，但是折射波的传播方向沿着边界。因此，发生全反射后，没有能量再越过边界，折射波的能量理解为是在建立场的过程中越过边界的。

5 总结

本文对光波在两种介质表面发生反射和折射过程中的相位的变化进行了较为详尽的分析，由于光波是一种电磁波，故重点从电磁传播理论推导得出了折射波的特性，得出了光在两种介质分界面上反射和折射时，入射波、反射波和折射波之间的比例关系，它既反映了有关分量间的大小关系，也反映了其相位关系。

随着科技的进步，人们对电磁波（光波）在介质界面上反射和折射研究的进一步加深，折射波的特性在今后的研究过程中会更为广泛地应用。在应用过程中，折射波的特性会变得更加完善，在人类的科技进步进程中将会发挥着更加重要的作用。 参考文献

11

[1] 桑田. 关于全反射现象的探讨[J]. 黔南师范民族学院学报. 2003, (03): 01-03.

[2] 刘宇飞. 菲涅尔公式应用小议[J]. 洛阳师范学院报. 2010, (03): 01-03.

[3] 王莉. 全反射情形下的电磁波. 天津商学院 2003, (03) : 01-03.

[4] 劳兰. 考森D.R. 电磁场与电磁波. 陈成钧译[M].北京:人民教育出版社,1980: 363-371.

[5] 郑钧. 电磁场与电磁波. 赵姚同,黎滨洪译[M]. 上海: 上海交通大学出版社, 1984: 311-317.

[6] 张之翔. 电磁波在全反射时的相位变化[J]. 大学物理, 1990(6): 7-10.

[7] 郭硕鸿. 电动力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2003: 187-190.

[8] R.W.狄区本. 光学II. 程路译[M]. 北京: 高等教育出版社, 1980: 325-327.

[9] 唐昌建, 刘濮鲲. 介质分界面上电磁波传播特性的一个理论问题研究[J]. 大学物理, 1994(12): 6-8.

[10] 杨儒贵. 电磁场与电磁波[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003: 209-211.

12