(二阶)基于新型二阶复合导数的边缘检测算法

基于新型二阶复合导数的边缘检测算法：图像边缘是图像的重要特征，边缘检测是图像处理的重要步骤。本文将由分数阶次微摘要摘要：

分和分数阶次积分组合成的新型二阶复合导数应用于图像处理。对于二维图像的边缘检测，本文推导出一种全新的复数模板用于实现分数阶次微分。响应一起实现复合导数，在此基础上，形成了一种新的边缘检测算法。通过与经典二阶算子算子以及分数阶算子算子的定性、定量比较，验证了新算法在边缘检测方面的有效性和优越性。

关键词：图像处理；边缘检测；分数阶次微积分；算子；复数模板

中图分类号：TP391.4

An Edge Detection Algorithm Based on A Novel Second-order

Derivative

Abstract ：Edge is an important feature of images, and edge detection is an important step in image processing. In this paper, a novel second-order composite derivative, which is realized by the combination of fractional differentiation and integration, is used for image processing. For edge detection of 2D images, the paper derives a new complex mask for the implementation of fractional differentiation. Then the composite derivative is realized by the combination of the complex mask and impulse response of fractional integration. On this basis, a new edge detection algorithm is formulated. The effectiveness and superiority of the new algorithm is demonstrated through the qualitative and quantitative comparisons with the classical operator and the fractional-order operator.

Key words:Image processing, edge detection, fractional calculus, operator, complex mask 1引言

图像边缘是图像最基本的特征之一，携带了图像的大部分信息，是图像分割、纹理特征和形状特征提取等图像分析的重要基础。边缘是图像中灰度发生剧烈变化的点，即信号发生奇异变化的地方。图像边缘反映了图像局部特征的不连续性，它标志着一个区域的终结和另一个区域的开始。

边缘检测是图像分割最常用的方法，通常采用增强算法来突出边缘像素点。处在边缘上的像素点将成为一个灰度级变化的带。一般分别使用梯度向量的幅值和方向来表示灰度的变化率和方向[1]。梯度向量利用微分运算来实现。微分运算作为一种基本的数学运算，在信号的奇异性检测和提取方面有特殊的作用[2]。

边缘检测算子检查每个像素的邻域并对灰度变化率和方向进行量化，实现方法大多数是利用方向导数掩模求卷积。常用的边缘检测算子有基于一阶导数的算子[3]、算子[3]、算子[3]以及算子[4]和基于二阶导数的算子[5]及算子[6]等。对于阶跃型边缘，一阶方向导数在边缘处取得极大值，对应的二阶方向导数在边缘处呈零交叉。

经过近三百年的发展，分数阶微积分作为一个重要的数学分支已渐成体系。由于分数微积分运算具有对非线性信号处理的良好能力，已被应用到许多学科的工程计算中，特别在化学、电磁学、控制学、材料科学和力学中得到广泛关注和应用[7]。文献[8]首先将分数阶次导数运用到边缘检测中，并得出一个叫做的边缘检测算子。但仍然拘泥于求

导法则，不能改善检测精度和抗噪性之间的矛盾。

本文首先介绍传统边缘检测算子中二阶算子的实现过程与不足之处；其次介绍本文提出的边缘检测新算法，包括复合导数的概念及其实现；最后给出边缘检测新算法的二维图像验证以及定量分析。

2二阶边缘检测算子在边缘检测中，一阶导数的局部最大值对应二阶导数的零交叉点。通过寻找图像灰度的二阶导数的零交叉点就可以精确地找到边缘点。算子是一种常用的二阶导数算子，它是二阶导数的二维等效式。对于图像函数的拉普拉斯变换定义如下：

(1)

在边缘检测中通常借助4邻域或8邻域卷积模板[9]来实现，如公式(2)所示。

(2)

由于算子是各向同性的，检测结果中丢失了边缘的方向信息。另外，算子为二阶差分，二阶差分大大加强了图像中噪声的影响。

为了降低噪声的影响，和提出将高斯函数和算子结合起来，形成算子[3,6]，如公式(3)所示。

(3)

其中为高斯函数。算法首先利用高斯滤波器对图像进行平滑滤波，从而降低噪声的影响；其次利用拉普拉斯函数进行边缘增强；再将二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较大峰值作为边缘检测判据；最后确定边缘的位置。

高斯函数中的尺度参数对算法的检测效果有很大影响。取值越大，对噪声的滤波效果越好，但同时会丢失边缘信息；取值越小，平滑效果越差，留下的噪声越多。高斯平滑是绝大多数边缘检测算子的抗噪手段。本文将另辟蹊径，采用分数阶微积分进行边缘检3边缘检测新算法

文献[10]提出将分数阶次微分和分数阶次积分组合起来，实现非因果的全通导数。该导

o 数相当于一个90的相移器。本文将全通导数的概念推广至一般“复合二阶导数”，并将复

合二阶导数成功应用于边缘检测。

3.1求导算法

将图像沿两个坐标轴上的空间分布看成是时间分布，图像处理可以直接使用传递函数的概念。图像中的传统一阶导数运算可以用变换表示为。新算子中的求导分为两步：第一步：反向通过滤波，其中，负号表示这是一个积分过程，代表的共轭复数，表示积分过程在反向时间轴上运行，即先把数据先后次序反转，积分之后

[10]再把结果次序反转过来；第二步：通过分数阶微分滤波，其中且。

两步组合的结果是。复合导数的幅频增益为，其中是频率；由于

，故该复合导数的相位特性为恒前移，即实现了传统的二阶导数的相移。准确的相移保证了边缘点定位的准确。由于幅频增益最终影响的是对噪声的敏感度，可以通过调节的值来调节最终的幅频增益，进而调节算子对噪声的敏感度和边缘检测的精度。

3.2算法实现

本文中图像的方向导数通过卷积来实现。新算法中卷积实现可以分为两种。一种是直接

把分数阶次微积分的脉冲响应和待测数据进行卷积，即滤波器卷积；另一种是先把分数阶次微分离散化之后得到相应的近似模板，然后将近似模板与待测数据进行卷积，即模板卷积。本文将采用模板卷积和滤波器卷积的组合来实现图像二阶导数的计算。由于本文算法分为反向积分和正向微分两个步骤，首先利用滤波器卷积的方法实现反向积分过程，其次利用模板卷积的方法实现正向微分过程。具体实现过程将在下面详细论述。

3.2.1复数模板本文推导了一种全新的分数阶次求导模板，即模板。令表示为在增加方向上的一阶导数，记作：

同理，在减小方向上的一阶导数记作：

其中为一无穷小的数。引入算子并定义如下则

由此可得，的阶导数可表示为：还可以如下表示

其中为一无穷小的数。则相应于(10)，的阶导数可表示为：

公式(9)和(11)相加并除以2可得：

对上式采用牛顿二项式展开，可得：

由此可得在增加方向上的阶导数为：(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)

(14)同样推导过程可得在减小的方向上的阶导数为：

(15)

其中，与文献[8]类似，为提高边缘检测的选择性以及准确定位边缘，需要一个同时考虑增加方向和减小方向的非因果阶导数，定义为：

(16)

其中相应的用于计算分数阶次导数的方向卷积模板是

(17)其中设定模板长度为，模板越长计算复杂度越高。需要指出的是，由于为分数，和中的项为复数，因此本文的求导模板为复数模板。这是和现有其他求导模板的最大区别。例如，当时的。在采用复数求导模板求取梯度幅值时，必须对模板卷积运算的复数结果求模以得到幅值。方向卷积模板为

(18)

3.2.2分数阶次积分冲激响应

将分数阶次微分或积分看成是一个滤波器，则分数阶次微分或积分可以用滤波器的冲激

[8]响应来表示，在增加方向上可写成：

(19)其中，*表示卷积，表示阶微分算子的冲激响应，即

(20)同理，在减小方向上阶微分算子的冲激响应为：

(21)其中：表示微分阶次且，

表示滤波宽度，且

由公式(20)和(21)可得同时考虑增加方向和减小方向的非因果算子

为：的冲激响应(22)由于为负数，即表示一个积分过程，所以反向积分过程可以使用公式(22)来完成。

4二维图像验证

频域法对于二维图像不仅计算量大、复杂度高、计算时间长而且不够精确，本算法将利用

用模板实现正向微分过程。对文献[8]中的如下函数进行边缘检测验证：

(23)

其中：且。

经过两次卷积的结果如图(1)所示。两条实线分别为和的归一化结果，点线和虚线分别为和时模板卷积的归一化结果。由图可知，两次卷积的结果存在两个过和附近。若采用零交叉点法检测边缘，则会出现双边缘点且不是真实边缘点(真实边缘点在) 。因此与抑制之后，采用双阈值法进行边缘检测和连接[4]。

图(1)以及时两次卷积的求导结果

下面将以灰度图像对新算法进行验证。记模板长度为。

图(2)和图(3)分别为待测图像和默认阈值下算法的检测结果，图(4)和图(5)分别为算子在默认阈值和阈值为0.12下、模板长度为3、为1.3的检测结果，图(6)和图(7)为新算法默认阈值下、模板长度为3、分别1.3和1.8的检测结果，图(8)为新算法在阈值为0.12、模板长度为3和为1.3的检测结果。

从图(3)和图(6)可以看出，新算法比算法检测出更多的细节，如左边和右下角的背景、帽子上的纹理；在边缘的连续性方面，新算法也优于算法，如帽子上部边缘、右边的背景和背上的头发。比较图(4)和图(6)，新算法的检测结果同样比算子的检测结果细节更多、连续性更好。由图(7)看出，值增加，反向滤波效果减弱，非边缘细节有少许增加。比较图(6)和图(8)可以看出，设定阈值为0.12之后，非边缘细节明显减少，如左侧、帽檐右侧和右下角的背景。图(5)和图(8)的比较说明在相同条件(阈值为0.12，

) 下，算子检测出许多孤立的非边缘的点，如左侧的背景，而新

算法则没有这个问题。

图(2)

待测灰度图像

图(3)默认阈值下

算子检测结果

图(4)算子在默认阈值下，下检测结果

图(5)算子在阈值为0.12，

下检测结果

图(6)新算法在默认阈值

下检测结果

图(7)新算法在默认阈值下检测结果

图(8)新算法在阈值为0.12

5定量分析和[11,12]下检测结果提出了一种边缘检测性能品质因数公式：

(24)其中，和分别表示实际边缘个数和检测到的边缘个数，表示真实边缘与检测到的边缘的距离，为常量系数，这里取。值越大，说明边缘点的定位精度越高。

性能指标“定位”指真实边缘的错误检测和非边缘的错误检测，常用漏检率与误检率来

表示。

图(9)

待检测图图(10)待检测图的真实边缘

图(9)为定量分析中的待检测人工灰度图，图像大小为400*400。待检测图的真实边缘如图(10)所示。表(1)所示为各算法下边缘检测结果的品质因数和定位误差表（即误检率和漏检率）。从表(1)可以看出新算法的品质因数最大值为0.9817算法(0.9704)，算子(0.9505)最低。新算法下最低误检率和漏检率分别为0.2306和0.3256，明显优于算法(0.5166和0.6070) 和算子(0.7412和0.7256) 。综上分析，算法其次，算子最差。

将图(9)加入正态分布随机模拟噪声信号(均值为0，方差为0.052) 得到含噪图像。表(2)为含噪声图像在各算法下边缘检测结果的品质因数和定位误差表。可以看出，新算法下的品质因数最高、误检率和漏检率最低；算子其次；算法最差。三种算法中，新算法具有最佳的抗噪性能，算子优于算法。

表(1)各算法下边缘检测结果的品质因数与定位误差表

算法品质因数0.9704

0.9505

新算法

新算法0.98170.9816误检率0.51660.74120.23060.2311漏检率0.60700.72560.32560.3261

表(2)含噪声下各算法边缘检测结果的品质因数与定位误差表

算法品质因数

0.7641

0.9734

新算法

60.9812误检率0.87730.40770.2336漏检率0.60700.55860.3316总结相比一阶导数，算子采用二阶导数，使其对噪声更加敏感。当图像含有噪声时，检测结果会变得不准确。加入高斯函数后，算子可以有效地滤除孤立的噪声点，降低噪声的影响。但高斯滤波同样会平滑掉一些细致的边缘。在降低噪声和保留边缘信息两方面，在反向积分过程中，本算法将平滑滤波和一部分相移融合在一起，因此分数阶次积分冲激响应可以看作是一种特殊的平滑滤波法通过调节:参考文献参考文献:

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创新性说明：

1. 把分数阶次微分和分数阶次积分组合成新型二阶复合导数，在此基础上，形成一种新的边缘检测算法。

2. 推导出一种全新的复数模板用于实现分数阶次微分。该复数模板和分数阶次积分的冲激响应一起实现新型二阶复合导数。

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