超越方程的一般解法
超越方程的一般解法
林文业
湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239
摘要: 一般的超越方程经过变换, 都可以化为如此形式
x =f (x )+a
邻域U
, 例如
x =e x +a , x =sin x +x 2+a , 其中a 为实数, 如果函数f (x )在x 0的某个δ
穷阶不为零的连续导数, 那么超越方程可以求解, 并且具有解的一般形式。
关键词: 一般的超越方程;无穷阶不为零的导数;解的一般形式。 一. 解法基本定理 定理: 如果函数
(x 0, δ)内存在无
f (x )在x 0
的某个
δ邻域U
(x 0, δ)内存在无穷阶不为零的连续导数, 且
x 0、x0+x 1、⋯、x0+x 1+⋯+x m +⋯⋯∈U (x 0, δ), 那么级数
x 0+f (x 0)+[f (x 0+x 1)-f (x 0)]+[f (x 0+x 1+x 2)-f (x 0+x 1)]+⋯+[f (x 0+x 1+⋯+x m -1)-f (x 0+x 1+⋯+x m -2)]+⋯⋯
在U
(x 0, δ)上一致收敛。
证明: 由于函数
f (x )在x 0的某个δ
邻域U
(x 0, δ)内存在无穷阶不为零的连续导数, 且
x 0、x0+x 1、⋯、x0+x 1+⋯+x m +⋯⋯∈U (x 0, δ), 因而根据泰勒展开有
f ''(x 0)2f (m )(x 0)m f (x 0+x 1)=f (x 0)+f '(x 0)x 1+x 1+⋯+x 1+⋯⋯
2!m !
f ''(x 0+x 1)2f (m )(x 0+x 1)m
f (x 0+x 1+x 2)=f (x 0+x 1)+f '(x 0+x 1)x 2+x 2+⋯+x 2+⋯⋯
2!m !
………………………………………………………………………………………………………………………
f ''(x 0+x 1+⋯+x m -1)2f (m )(x 0+x 1+⋯+x m -1)m
f (x 0+x 1+⋯+x m )=f (x 0+x 1+⋯+x m -1)+f '(x 0+x 1+⋯+x m -1)x m +x m +⋯+x m +⋯⋯
2!m !
……………………………………………………………………………………………………………………… 显然下列级数在U
(x 0, δ)上一致收敛
f ''(x 0)2f (m )(x 0)m
f (x 0+x 1)-f (x 0)=f '(x 0)x 1+x +⋯+x 1+⋯⋯
2!1m !
f ''(x 0+x 1)2f (m )(x 0+x 1)m
f (x 0+x 1+x 2)-f (x 0+x 1)=f '(x 0+x 1)x 2+x 2+⋯+x 2+⋯⋯
2!m !
………………………………………………………………………………………………………………………
f ''(x 0+x 1+⋯+x m -1)2f (m )(x 0+x 1+⋯+x m -1)m
f (x 0+x 1+⋯+x m )-f (x 0+x 1+⋯+x m -1)=f '(x 0+x 1+⋯+x m -1)x m +x m +⋯+x m +⋯⋯
2!m !
……………………………………………………………………………………………………………………… 因此级数
x 0+f (x 0)+[f (x 0+x 1)-f (x 0)]+[f (x 0+x 1+x 2)-f (x 0+x 1)]+⋯+[f (x 0+x 1+⋯+x m -1)-f (x 0+x 1+⋯+x m -2)]+⋯⋯
在U
(x 0, δ)上一致收敛。证毕。
x =f (x )+a (1)
二. 超越方程的一般解法
一般的超越方程经过变换, 都可以化为如此形式 其中a 为实数, 函数
f (x )在x 0的某个δ
邻域U
(x 0, δ)内存在无穷阶不为零的连续导数。
假设超越方程(1)有如下级数解
=x 0+f (x 0)+[f (x 0+x 1)-f (x 0)]+[f (x 0+x 1+x 2)-f (x 0+x 1)]+⋯+[f (x 0+x 1+⋯+x m -1)-f (x 0+x 1+⋯+x m -2)]+⋯⋯
其中x m =[f (x 0+x 1+⋯+x m -1)-f (x 0+x 1+⋯+x m -2)], x 0、x0+x 1、⋯、x0+x 1+⋯+x m +⋯⋯∈U (x 0, δ)
把(2)代入(1)的左边得
x =x 0+x 1+x 2+x 3+⋯+x m +⋯⋯
(2)
x 0+f (x 0)+[f (x 0+x 1)-f (x 0)]+[f (x 0+x 1+x 2)-f (x 0+x 1)]+⋯+[f (x 0+x 1+⋯+x m -1)-f (x 0+x 1+⋯+x m -2)]+⋯⋯=x 0+f (x 0+x 1+⋯+x m -1+⋯⋯)=x 0+f (x )
对照(1)的右边, 可见x 0
=a 时,(2)是(1)的解。
因此超越方程(1)的一个解为
=x 0+f (x 0)+[f (x 0+x 1)-f (x 0)]+[f (x 0+x 1+x 2)-f (x 0+x 1)]+⋯+[f (x 0+x 1+⋯+x m -1)-f (x 0+x 1+⋯+x m -2)]+⋯⋯
其中x 0
x =x 0+x 1+x 2+x 3+⋯+x m +⋯⋯
=a , x m =[f (x 0+x 1+⋯+x m -1)-f (x 0+x 1+⋯+x m -2)]
f ''(x 0+x 1+⋯+x m -1)2f (m )(x 0+x 1+⋯+x m -1)m f (x 0+x 1+⋯+x m )-f (x 0+x 1+⋯+x m -1)=f '(x 0+x 1+⋯+x m -1)x m +x m +⋯+x m +⋯⋯
2!m !
求超越方程(1)的另一个解。设g 根据泰勒展开有
(x )=f (x )+a -x , x =s 为超越方程(1)的一个已知解。
g ''(s )g (m )(s )2
(x -s )+⋯+(x -s )m +⋯⋯ g (x )=g (s +x -s )=g (s )+g '(s )(x -s )+2!m !
由于x =s 为超越方程(1)的一个已知解, 因而超越方程
g (x )-g (s )g ''(s )g (m )(s )(x -s )+⋯+(x -s )m -1+⋯⋯=0 =g '(s )+
x -s 2!m !
(m )
⎡g '''(s )(s )(x -s )m -2+⋯⋯⎤+s -2!g '(s ) 2!g 2
即x =-()x -s +⋯+⎥g ''s ⎢!m !g ''s ⎣3⎦
与超越方程(1)有同解, 通过同样的方法可求得超越方程(1)的另一个解为
=x 0+p (x 0)+[p (x 0+x 1)-p (x 0)]+[p (x 0+x 1+x 2)-p (x 0+x 1)]+⋯+[p (x 0+x 1+⋯+x m -1)-p (x 0+x 1+⋯+x m -2)]+⋯⋯
x =x 0+x 1+x 2+x 3+⋯+x m +⋯⋯
(m )'(s )'''⎡2!g ()(s )(x -s )m -2+⋯⋯⎤ 2!g s g 2
其中x 0=s -, p (x )=-()x -s +⋯+⎥g ''s g ''s ⎢!m !⎣3⎦
x m =[p (x 0+x 1+⋯+x m -1)-p (x 0+x 1+⋯+x m -2)]
p ''(x 0+x 1+⋯+x m -1)2p (m )(x 0+x 1+⋯+x m -1)m p (x 0+x 1+⋯+x m )-p (x 0+x 1+⋯+x m -1)=p '(x 0+x 1+⋯+x m -1)x m +x m +⋯+x m +⋯⋯
2!m !
假设超越方程(1)有k 个解, 通过同样的方法可求得超越方程(1)的另外k 三. 超越方程求解具体例子
求解超越方程
-2个解。
x =e x +a 其中a 为实数 (3)
由《常系数齐次线性微分方程两种级数解的内在关系》可知超越方程(3)最多只有两个解。 显然函数e 在x 0的某个δ邻域U 解为
x
(x 0, δ)内存在无穷阶不为零的连续导数, 因此超越方程(3)的一个
⎤1(m +1)a e x 0+x 12e x 0+x 1m ⎛2a 13a ⎫⎡x 0+x 1
1=a +e + e +e +⋯+e +⋯⋯⎪+⎢e x 2+x 2+⋯+x 2+⋯⋯⎥
2!m !2!m !⎝⎭⎣⎦
a
⎡(x 0+x 1+⋯+x m -1)⎤e (x 0+x 1+⋯+x m -1)2e (x 0+x 1+⋯+x m -1)m
+⋯+⎢e x m +x m +⋯+x m +⋯⋯⎥+⋯⋯
2!m !⎣⎦
其中x m +1
=e
(x 0+x 1+⋯+x m -1)
e (x 0+x 1+⋯+x m -1)2e (x 0+x 1+⋯+x m -1)m
x m +x m +⋯+x m +⋯⋯
2!m !
设g
(x )=e x +a -x , 1为超越方程(3)的一个已知解, 那么超越方程(3)的另一个解为
2=x 0+p (x 0)+[p (x 0+x 1)-p (x 0)]+[p (x 0+x 1+x 2)-p (x 0+x 1)]+⋯+[p (x 0+x 1+⋯+x m -1)-p (x 0+x 1+⋯+x m -2)]+⋯⋯
(m )
'(1)'''⎡2!g ()(1)(x -)m -2+⋯⋯⎤ 2!g g 21其中x 0=1-, p (x )=-()x -+⋯+11⎥g ''1g ''1⎢3!m !⎣⎦
x m =[p (x 0+x 1+⋯+x m -1)-p (x 0+x 1+⋯+x m -2)]
p ''(x 0+x 1+⋯+x m -1)2p (m )(x 0+x 1+⋯+x m -1)m
p (x 0+x 1+⋯+x m )-p (x 0+x 1+⋯+x m -1)=p '(x 0+x 1+⋯+x m -1)x m +x m +⋯+x m +⋯⋯
2!m !
参考文献
1. 华北师范大学数学系编《常微分方程》、刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》。 2. 2000年《湛江师范学报. 增刊》。
作者简介: 林文业, 广东省信宜镇隆人,1989年毕业于中山大学力学系, 现湛江公路局工作。