函数的性质(学生)
高三第一轮复习之函数的性质
一、函数的性质归纳
1、单调性:
(1)如果函数y =f (x ) 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x ) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x ) 的单调区间。
(2)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
增函数f (x ) +增函数g (x ) 是增函数;减函数f (x ) +减函数g (x ) 是减函数;
增函数f (x ) -减函数g (x ) 是增函数;减函数f (x ) -增函数g (x ) 是减函数。
例1:已知f (x ) 在区间(-∞,+∞) 上是增函数,a 、b ∈R 且a +b ≤0,则下列不等式中正确的是( )
A .f (a ) +f (b ) ≤-f (a ) +f (b ) ] B .f (a ) +f (b ) ≤f (-a ) +f (-b )
C .f (a ) +f (b ) ≥-f (a ) +f (b ) ] D .f (a ) +f (b ) ≥f (-a ) +f (-b )
例2:f (x ) 是定义在( 0,+∞) 上的增函数,且f (
(1)求f (1)的值.
(2)若f (6)= 1,解不等式 f ( x +3 )-f (
例3:设函数f (x )=x 2+1-ax ,(a >0) ,试确定:当a 取什么值时,函数f (x ) 在0,+∞)
上为单调函数.
2、奇偶性:
(1)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函
数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;
②设f (x ) ,g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇
(2)关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 x ) = f (x ) -f (y ) y 1) <2 . x
命题1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条
件。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。
命题3 f(x)是任意函数,那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
命题4 如果函数f(x)满足:|f(x)|=|f(-x)|,那么函数f(x)是奇函数或偶函
数。
命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数。
命题6 已知函数f(x)是奇函数,且f(0)有定义,则f(0)=0。
命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数,方程f(x)=0有实根,那么方程f(x)=0的所有实根
之和为零;若f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程f(x)=0有奇数个实根。
(x +1) 2+sin x 例1:函数f (x ) =的最大值和最小值分别为M , m ,则x 2+1
M +m =__________.
例2:已知a , b 为正实数,函数f (x ) =ax 3+bx +2x 在[0,1]上的最大值为4,则f (x ) 在[-1,0]上
的最小值为 .
例3:若-π
2≤α≤π
2n +m =0,,0≤β≤π,m ∈R ,如果有α3+s i α
(π
2-β) 3+cos β+m =0,则cos(α+β) 值为( ).
A . -1 B . 0 C . 1 D . 1 2
1⎧5(x +4) 3=-4⎪(x +4) +2013例4:设x , y ∈R ,且满足⎨,则x +y = . 1⎪(y -1) 5+2013(y -1) 3=4⎩
例5:已知f (x ) =x +ax +bx -8且f (-2) =10,那么f (2) =___________;
3、周期性: 53
(1)周期函数分类
1. 常值函数y =a 是周期函数,无最小正周期。当a ≠0时是偶函数,当a =0时是既奇又
偶函数。
2. 三角函数及其复合函数:
(1)y =A sin(ωx +ϕ) 、y =A cos(ωx +ϕ) 的最小正周期T =2π。 |ω|
ωx +ϕ) 、y =A cot(ωx +ϕ) 的最小正周期T =(2)y =A tan(π。 |ω|
3. 三角函数的变换函数:如y =|sin x |、y =|cos x |,最小正周期为π;
如y =|tan x |、y =|cot x |,最小正周期为π。
4. 自定义周期函数:如y =|x |,x ∈[-1,1],周期为2
(2)根据函数的特征方程判断
1.若f (x ) =f (x +T ) ,则函数f (x ) 是周期函数,T 是它的一个周期。
2.若f (cx +a ) =f (cx +b )(a ≠b ) ,则函数 f (x ) 是周期函数,b -a 是它的一个周期。
3.若f (x +a ) =-f (x ) ,则函数f (x ) 是周期函数, 2a 是它的一个周期。
4.若f (x +a ) =k (k ≠0) ,则函数f (x ) 是周期函数,2a 是它的一个周期。 f (x )
k (k ≠0) ,则函数f (x ) 是周期函数,2a 是它的一个周期。 f (x ) 5.若f (x +a ) =-
例1:设f (x ) 是定义在R 上的奇函数,f (x +4) =-f (x ) 且f (3)=5,则
f (-21=) ______________,f (2005)=______________
例2:设f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且满足f (x +2) =1,当0≤x ≤1,f (x ) =2x ,f (x )
则f (7.5)=______________
例3:设f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且f (x -2) =f (x +2) , f (1)=2,则
f (2) +f (7=) ______________
例4:函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x +2)=1,若f (1)=-5, 则f x f (f (5))=_______________
例5:(2009年山东卷) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ,满足f (x -4) =-f (x ) ,且在区间[0,2]
上是增函数,若方程f (x ) =m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+
x 2+x 3+x 4=________.
4、对称性:
①关于点(a,b)对称;
f(a+x)+f(a-x)=2b,或写成:f(x)+f(2a-x)=2b
②关于直线对称
f(a+x)=f(a-x),f (x ) =f (2a -x ) 则函数关于x=a对称;
a +b 对称; 2
③奇偶性、周期性、对称性之间的关系
1. 函数f (x ) 是奇函数
T T (1)当函数周期为T ,则一定有对称中心(, 0) ,不一定有对称轴;如果有,则x =是24f(a+x)=f(b-x),则函数关于x=
一条对称轴;
(2)如果对称中心为(a ,0)(a ≠0) ,则2a 是一个周期;如果对称轴为x =a (a ≠0) ,则4a
是一个周期。
2. 函数f (x ) 是偶函数
(1)当函数周期为T ,则一定有对称轴x =T T ,不一定有对称中心;如果有,则(, 0) 是24
一个对称中心;
(2)如果对称中心为(a ,0)(a ≠0) ,则4a 是一个周期;如果对称轴为x =a (a ≠0) ,则2a
是一个周期。
3.四种相似形式
(1)f (x ) =f (x +2a ) ⇔T =2a
(2)f (x ) =f (-x +2a ) ⇔对称轴x =a
(3)f (x ) =-f (x +2a ) ⇔T =4a
(4)f (x ) =-f (-x +2a ) ⇔对称中心(a , 0)
例1:设f (x ) 是定义在R 上的偶函数,并且对任意的x ∈R ,都有f (1+x ) =f (1-x ) ,
当x ∈[0, 1]时,f (x ) =2x +1.(1) 当x ∈[3, 5]时,求f (x ) 的解析式;(2) 比较f (1. 5) 与
f (12. 2) 的大小.
例2:已知函数f (x ) 为定义在R 上的奇函数,且y =f (x ) 的图像关于x =1对称,则2
f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) =______________。
例3、设f (x )是定义在R 上的函数,它具有奇偶性,且f (2+x )=f (2-x ),周期为T 。则:(1)当f (x )是奇函数时,T =________;(2)当f (x )为偶函数时,T =________。
⎧f (x )+f (-x )=0例4、设定义域为R 的函数f (x )满足⎨,则f (x )=0在[-8, 8]上解的个数至少()()f x -2=f x +2⎩
是________。
例5、设y =f (x ) 为R 上的奇函数,且对于x ∈R 都有f (x +2) =-f (x ) 。(1)证明:f (x )
为周期函数;(2)证明:x =1为对称轴;(3)若当-1≤x ≤1时,f (x ) =sin x ,写出1≤x ≤5
时,f (x ) 的解析式;(4)对于(3)中的f (x ) ,若A =x f (x ) >a
取值范围。
{}非空,求实数a 的
例6、定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +3)=f (3-x ),在区间[-3, 0]上递减,设a =f (-1. 5),b =f 2),c =f (4),则( ) (A )b 例7、已知定义在R 上的函数f (x ) 满足①f (x +4) =f (x ) ;②对0≤x 1
f (x 1)
A. f (4. 5)
C. f (7)
例8. 已知函数f (x ) 是定义在R 上以3为周期的奇函数,若f (1)〉1,f (2)=
的取值范围是_________.
例9. 已知定义在2a -3,则a a +1
R 上的函数f (x ) 为奇函数,且f (3x +1) 的周期为3,若f (1) =5,则f (2007)+
f (2008)的值为______。
例10.
已知偶函数y =f (x )(x ∈R ) 满足f (x ) =f (2-x ) ,且当x ∈(-1,1]时,f (x ) =x 2,则函数y =f (x )
与y =log 7x 的图像交点个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
例11. 已知函数
f (x ) =A sin 2(ωx +ϕ)(A 〉0) 的最大值为2,其中相邻两对称轴间的距离为2,则
f (1) +f (2) + +f (100) =_____。
例12. 定义在R 上的函数f (x ) 图像关于点 -⎛3⎫, 0⎪对称且满足4⎝⎭
3f (x ) =-f (x +), f (-1) =1, f (0) 2
=-2,则f (1) +f (2) + +f (2005) 的值为( )
A. -2 B. -1 C.0 D.1
例13. 定义在
⎧log (1-x ) R 上的函数f (x ) 满足:f (x ) =⎨2
⎩f (x -1) -f (x -2)
例14、(x ≤0) ,则f (2009) =____。 (x 〉0)
设函数f (x )(x ∈R ) 为奇函数,f (1) =
A.0 B.1 C.
例15、1, f (x +2) =f (x ) +f (2), 则f (5) 等于( ) 25 D.5 2
二次函数满足f (x +1) -f (x ) =2x ,且f (0) =1,则f (x ) =_________________。
例16. 已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (-x ) =2002,求f -1(x ) +f -1(2002-x ) 的值。
5、零点:
定义:函数图像与x 轴的交点叫做零点;所以遇到此类型题一般转化为方程或数形结合问题;
x (x ≤0) ⎧⎪2例1、设函数f (x ) =⎨ ,函数y =f [f (x ) ]-1的零点个数为 个. (x >0) ⎪⎩log 2x
例2. 设a 为非零实数,偶函数f (x ) =x 2+a x -m +1(x ∈R ) 在区间(2,3)上存在唯一零点,则实数a 的取值范围是 .
例3. 若函数f (x ) =log 2(x +) -a 在区间⎢, 2⎥内有零点,则实数a 的取值范围是___. x 21⎡1⎤⎣⎦
例4. 设定义在R 上的函数f (x ) 是最小正周期为2π的偶函数,当x ∈[0, π]时,0
在[-10π, 10π]上的零点个数为 .
⎧log 2x (x >0) 例5. 已知函数f (x ) =⎨x ,且函数F (x ) =f (x ) +x -a (x ≤0) 3⎩
有且仅有两个零点,则实数a 的取值范围是 .
6、反函数;
⑴定义:只有满足x ←−−→y ,函数y =f (x ) 才有反函数. 例如:y =x 2无反函数. 函数唯一
y =f (x ) 的反函数记为x =f -1(y ) ,习惯上记为y =f -1(x ) .
注意:
⑴单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的. 因此,所有偶函数不存在反函数.
⑵如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f(x )定义域,值域分别为X 、Y . 如果y = f(x )在X 上是增(减)函数,那么反函数y =
数增减性相同. ⑷一般地,如果函数y =f (x ) 有反函数,且f (a ) =b ,那么f -1(b ) =a f -1(x ) 在Y 上一定是增(减)函数,即互为反函数的两个函-1例1:已知函数f (x ) =a x (a >0且a ≠1) 满足f (2)>f (3),若y =f -1(x ) 是y =f (x ) 的反函 数,则关于x 的不等式f -11(1-) >1的解集________________; x 例2:设
互为反函数,求
有反函数 ,且函数 的值. 与
例3: 若函数
的值.
例4、已知函数
与函数 互为反函数,求 , ,求 的反函数.
例5. 【2010年二模长宁第18题】如果函数f (x ) =|lg |2x -1||在定义域的某个子区间
(k -1, k +1) 上不存在反函数,则k 的取值范围是 ( )
3113A .[-, 2) B .(1, ] C .[-1, 2) D .(-1, -]⋃[, 2) 2222
例6.函数f (x ) =x 2-2ax +1,(x ∈[0, 1] [3, 4]),若此函数存在反函数,则实数a 的取值范围是 .
例7. 已知定义在R 上的函数y =f (x ), 存在反函数f -1(x ), 若函数f (x +1) 的反函数为f -1(x -1), 且f (0) =1, 则f (12) =________.
二、作业
见附录1、2